《工程数学 教学课件 ppt 作者 周忠荣 等编著第3章 线性方程组》由会员分享，可在线阅读，更多相关《工程数学 教学课件 ppt 作者 周忠荣 等编著第3章 线性方程组（123页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,1,第3章 线性方程组,本章主要内容 解方程组的高斯约当消元法；线性方程组的相容性定理 n维向量的概念与线性运算；向量组的线性相关性；向量组的秩 齐次线性方程组的解的性质和结构；非齐次线性方程组的解的性质和结构,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,2,第3章 线性方程组（续一）,本章以矩阵为工具讨论一般线性方程组的解的情况（包括系数行列式等于零的情况和方程组中未知量的个数和方程的个数不相同的情况），并回答以下3个问题： （1）用什么方法判定线性方程组是否有解？ （2）在有解的情况下，解是否惟一？ （3）在解不惟一时，解的结构如
2、何？,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,3,第3章 线性方程组（续二）,非齐次线性方程组的一般形式是 (3-1) 齐次线性方程组的一般形式是 (3-2),2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,4,第3章 线性方程组（续三）,利用矩阵，可以把线性方程组(3-1)和(3-2)分别表示为 AX=b (3-3) 和 AX=O (3-4) 式中 ， ，,系数矩阵,未知数矩阵,常数矩阵,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,5,第3章 线性方程组（续四）,矩阵 ，即 称为线性方程组(3-1)的增广矩阵。 显然，线性方程组(3-1)完全由它的增广矩阵决定。,20
3、19/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,6,第3章 线性方程组（续五）,方程组(3-3)与方程组(3-1)等价。方程组(3-4)与方程组(3-2)等价。以后为了叙述的方便，可能采用方程组的不同表示方式。 如果方程组(3-4)与方程组(3-3)的系数矩阵相同，则称方程组(3-4)是方程组(3-3)对应的齐次方程组。 系数矩阵和增广矩阵在判定线性方程组解的情况时起决定性作用。,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,7,3.1 高斯约当消元法,定义3-1 若两个线性方程组解的集合相同，则称这两个方程组为同解方程组。 定理3-1 对线性方程组(3-3)进行初等行变换得到的新方程组
4、与方程组(3-3)同解。 证明 显然，只要对方程组(3-3)作一次初等行变换的情况进行证明就可以了。 对方程组(3-3)作一次初等行变换相当于用相应的初等矩阵R左乘方程组的两端，即 RAXRb (a),2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,8,3.1 （续一）,续证 若X0是方程组(3-3)的解，则AX0b。据此得 RAX0Rb 即X0也是方程组(a)的解。 若X0是方程组(a)的解，则RAX0Rb。又因为初等矩阵R是可逆矩阵，则有 R1RAX0R1Rb 即AX0b，从而X0也是方程组(3-3)的解。 综上所述，定理3-1得证。,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编
5、,9,3.1 （续二）,高斯约当消元法 例3-1 解线性方程组 解,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,10,3.1 （续三）,续解 于是，原方程组的解是：,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,11,3.1 （续四）,例3-2 解线性方程组 解,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,12,3.1 （续五）,续解 与最后得到的阶梯形矩阵所对应的方程组为 原方程组无解。,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,13,3.1 （续六）,例3-3 解线性方程组 解,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,14,3.1 （续七）,续解
6、 这个阶梯矩阵所对应的方程组为 将该方程组中的x3移到等号右边解得：,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,15,3.1 （续八）,显然，未知数x3任意取一个值，代入上页表达式就可以求得相应的x1，x2的值。这样得到的x1，x2，x3的一组值就是原方程组的一组解。 由于x3可以任意取值，故原方程组有无穷多组解。上页表达式右端的未知数x3 称为自由未知量，实际上，本题也可以选x1（或x2）为自由未知量。 某些方程组，自由未知量可以有多个。,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,16,3.1 （续九）,在方程组有无穷多组解时，用自由未知量表达的解通常称为该方程组的一般解
7、。 前面介绍的三个例题分别代表了线性方程组有惟一一组解、无解和有无穷多组解三种情况。 例3-2是这样一类方程组的代表：方程组中存在与其他方程矛盾的方程。,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,17,3.1 （续十）,例3-3是这样一类方程组的代表：方程组中没有矛盾方程，但可能存在多余的方程，且独立的方程个数小于未知量的个数。 在某些方程组中，可能同时存在矛盾方程和多余方程。,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,18,3.1 （续十一）,解线性方程组的具体步骤。 (1) 用初等行变换将由所有系数和常数组成的增广矩阵变为阶梯形矩阵（或简化的阶梯形矩阵）； (2) 写出
8、阶梯形矩阵对应的线性方程组；,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,19,3.1 （续十二）,(3) 如果该阶梯形矩阵对应的线性方程组有惟一一组解，则从最后一个方程开始求解（对例3-1而言，就是从解答的第2个矩阵开始写出对应的线性方程组求解），或者对该阶梯形矩阵继续进行初等行变换，将其化成简化的阶梯形矩阵，然后直接写出该方程组的解（如例3-1的解答）；如果该阶梯形矩阵对应的线性方程组无解（如例3-2），则到此结束；如果该阶梯形矩阵对应的线性方程组有无穷多组解（如例3-3），则将选定自由未知量移到等号的右边，然后求解。,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,20,3.
9、1 （续十三）,例3-4 解线性方程组 解,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,21,3.1 （续十四）,续解 与最后得到的阶梯形矩阵所对应的方程组为,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,22,3.1 （续十五）,关于自由未知量，需要作两点说明： （1） 自 由 未 知 量 可能只有一个（如例3-3），也可能有多个（如例3-4）。 （2）一般情况下，自由未知量可以任取，特殊情况下，某些未知量不能选作自由未知量（如例3-4的x1和x4和例3-5的x1）。 这样的方法选择自由未知量肯定是对的：选最后的阶梯形矩阵中各个非零行的第一个非零元素以外的列对应的未知量作为自由
10、未知量。,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,23,3.1 （续十六）,一般的线性方程组可能有惟一一组解，也可能有无穷多组解，也可能无解。 线性方程组有没有解、解的多少不是简单地取决于方程的个数和未知量的个数。 线性方程组解的情况究竟取决于什么呢？3.2节将给出完整的结论。,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,24,3.2 线性方程组解的判定,无论线性方程组是否有惟一一组解、有无穷多组解或无解,都可以用高斯约当消元法解答，都是把方程组的增广矩阵都用初等行变换将其变为阶梯形矩阵（或简化的阶梯形矩阵，下同）。 因此，方程组的解的不同情况恰好在对应的阶梯形矩阵中反映出
11、来。从上节几个例题的解答过程可以得到以下结论。,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,25,3.2 （续一）,(1)不必考虑阶梯形矩阵中可能存在的零行，因为零行不提供解的任何信息（对应多余方程）； (2)如果阶梯形矩阵最后一个非零行的第一个元素在最后一列，则对应的线性方程组无解（反映该方程是矛盾方程）；,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,26,3.2 （续二）,(3)如果阶梯形矩阵最后一个非零行的第一个元素不在最后一列，且非零行的行数与方程的未知量的个数相等，则对应的线性方程组有惟一一组解； (4)如果阶梯形矩阵最后一个非零行的第一个元素不在最后一列，且非零行的
12、行数小于方程的未知量的个数，则对应的线性方程组有无穷多组解。,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,27,3.2 （续三）,定义3-2 若线性方程组(3-1)有解，称此方程组为相容的，否则称此方程组为不相容的。 系数矩阵的秩与增广矩阵的秩可以用来判断一个方程组是否相容，并进而反映线性方程组解的情况。 定理3-2 线性方程组(3-3)相容的充分必要条件是r(A)r( )。,2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,28,3.2 （续四）,证明 必要性 设方程组(3-3)相容，并令(k1, k2, kn)T为方程组(3-3)的一个解，则有,2019/7/10,第3章 线性方
13、程组 周忠荣 编,29,3.2 （续五）,续证 即矩阵(A,0)可由矩阵 经初等行变换得到，从而 r( )r(A,0) (a) 另一方面，零行的存在与否不影响矩阵的秩，从而 r(A)r(A,0) (b) 由式(a)和式(b)得 r(A)r( ),2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,30,3.2 （续六）,续证 充分性 首先，若r(A)r( )n，则在 中至少有一个n阶子式不等于零，而所有n1阶子式都等于零。所以方程组(3-3)的增广矩阵 经有限次初等行变换得到的标准形矩阵一定具有如下形式： (c),2019/7/10,第3章 线性方程组 周忠荣 编,31,3.2 （续七）,续证 这表明，方程组(c)有惟一一组解 x1d1，x2d2
