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1、工 程 力 学,2019/7/10,2,第14章 动力学方程,一、牛顿三定律 牛顿第一定律（Newton first law）,14.1 质点运动微分方程,质点（particle）如不受外力作用，则将保持其原来静止的或匀速直线运动的状态。,（1）质点或物体具有保持其运动状态不变的特性，这种特性称为惯性（inertia）。,（2）力是改变质点或物体运动状态的外部原因。,惯性运动,2019/7/10,3,牛顿第二定律（Newton second law） 牛顿第二定律的表述,质点受到力作用时，所获得的加速度的大小与合力的大小成正比，与质点的质量成反比；加速度的方向与合力的方向相同。,或,（1）力和
2、加速度是瞬时关系,动力学基本方程,（2）质量(mass) m是物体的固有属性，是物体惯性大小的度量。,重量是物体所受重力(gravity) G 的大小,2019/7/10,4,牛顿第二定律适用条件,重量是物体所受重力(gravity) G 的大小,重力加速度,与纬度有关,与海拔高度有关,北纬45海平面上，国际计量委员会在实验基础上规定的标准重力加速度之值为：g=9.80665m/s2。,（1）惯性参考系,动力学基本方程适用的坐标系,固结于地面,相对于地面匀速直线运动,（2）单个质点,（3）宏观物体,微观物体：量子力学,（4）速度远低于光速,近于光速：相对论力学,古典力学,2019/7/10,5
3、,牛顿第三定律（Newton third law）,两物体间的作用力和反作用力，总是大小相等、方向相反、并沿同一作用线分别作用在两个物体上。,静力学：,作用与反作用公理,适用于：,平衡物体,运动物体,相互接触的物体,不直接接触的物体,2019/7/10,6,二、质点运动微分方程 直角坐标形式,自然坐标形式,2019/7/10,7,三、动力学两类问题 第一类问题 已知质点的运动，求作用于质点的力 微分法（运动方程或速度方程求导数） 第二类问题 已知作用于质点的力，求质点的运动 积分法：一次积分得速度 再次积分得位置,积分常数由初始条件确定,初始条件,=,质点开始运动时的位置,质点开始运动时的速度
4、,2019/7/10,8,例14.1 电梯携带重量为G的重物以匀加速度a上升，试求电梯地板受到的压力FN。 解,重物为研究对象，第一类问题。,受力如图,a0，超重,地板所受到的压力，大小等于FN,a0，失重,a=-g，零压力,2019/7/10,9,例14.2 桥式吊车在平面内受力，小车连同重G的重物沿桥架（横梁）以匀速v0向右运动。当小车因故紧急制动时，重物将向右摆动，已知钢绳长为l，求紧急制动时钢绳的最大拉力。 解,重物为研究对象,重物作减速运动，制动瞬时，钢绳拉力最大：,增大绳长,减小速度,拉力减小,2019/7/10,10,进一步讨论：,周期,假设物体（质点）作微小摆动，则,初速度,单
5、摆,2019/7/10,11,例14.3 质量为m的质点在黏性液体中自由下落，如图所示。所受阻力R与速度v成正比，若以c表示粘滞阻尼系数，则有R=cv。已知初始时质点在介质表面上被无除速释放，试求质点的运动方程和速度方程。 解,微分方程的通解为齐次通解加非齐次特解,质点为研究对象,任意常数A、B由初始条件确定。,速度为,2019/7/10,12,初始条件确定A、B ：,运动方程和速度方程分别为：,极限速度v=mg/c，质点最终以等速下沉。,极限速度与物体的质量、大小、形状有关，可据此分离大小粒径不同的混合物。,2019/7/10,13,14.2 质心运动定理,一、质心运动定理 质心坐标 质点系
6、中，质量为m1、m2、mn的质点其位置矢量分别为r1、r2、rn，质心的位置矢量为,即,质点系总质量m=mi,2019/7/10,14,质点系中每个质点承受来自质点系内的力F(e)和质点系外的力F(i), 对于第i个质点，应用牛顿第二定律,对整个质点系，就有,所以,质心运动定理推导,质点系内的作用与反作用成对出现，=0,质心加速度,2019/7/10,15,质心运动定理 文字表述：质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系上所有外力的矢量和（主矢量） 投影形式,质心坐标的计算,位置矢量,直角坐标,2019/7/10,16,二、质心运动守恒 条件 外力主矢为零 结论 ac=0, vc=常矢量
7、=质心作惯性运动 初始静止，质心保持不动=质心运动守恒 特例 外力在某一方向的投影恒为零时，该方向上质心运动守恒,2019/7/10,17,例14.4 电机定子质量m1，转子质量m2，转子旋转轴通过定子质心O1，转子质心O2有一偏心矩r，其角速度为，如图所示。电机用地脚螺栓固定在基础上，试求螺栓受到的合力。 解,系统质心坐标,图示坐标系，各质点质心坐标为,2019/7/10,18,质心加速度,由质心运动定理,得到,Nx使螺栓受剪,Ny0，螺栓不受力,Ny0，螺栓承担拉力,2019/7/10,19,例14.5 浮动起重机质量m1=20000kg，吊起m2=2000kg的重物，如图所示。求当吊杆A
8、B由与铅锤线成60角的位置转到与铅锤线成30角的位置时起重机的水平位移。AB=8m，略去吊杆重力和水的阻力，系统初始时静止于水面。 解,外力系沿铅锤方向，水平方向质心守恒。重物右移，起重机必定左移（设为s）,初始质心坐标,2019/7/10,20,初始质心坐标,最后质心坐标,水平方向质心守恒，要求xc= xc0 ，即,解得,2019/7/10,21,14.3 刚体定轴转动微分方程,一、定轴转动基本方程,质点mi距离转轴z为ri，有切向力和法向力作用,刚体以外的力,刚体内部质点之间的作用力,等式两端同乘以ri,2019/7/10,22,对连续体,0,内部作用力成对出现,转动惯量,转动惯量与角角速
9、度的乘积等于作用于刚体上所有外力对转轴力矩的代数和。它仍然有两类问题,2019/7/10,23,二、转动惯量 转动惯量的概念 不仅与刚体质量的大小有关，而且与刚体质量分布有关 是刚体转动惯性的度量 基本单位：kg.m2 转动惯量的计算 均质柱体或圆轮 常见均质体见相关手册 平行轴定理,z轴过质心，z轴平行于z轴，两轴相距a,2019/7/10,24,回转半径 假想将刚体的质量集中于一点 集中质量点到转轴的距离称为回转半径,增大转动惯量的措施 质量大，质量远离转轴 飞轮是其典型的案例 转动惯量大，贮藏动能大，运转平稳,转动惯量小，角速度变化大。仪表指针需要高的灵敏度，质量靠近转轴，即内大外小的针
10、尖形。,2019/7/10,25,例14.6 求长度为l的均质杆对过质心C和杆端O且垂直于杆长的轴的转动惯量。 解：,对Oz 轴的转动惯量,对Cz 轴的转动惯量,2019/7/10,26,三、刚体定轴转动方程的应用 已知转动规律求力矩 已知角加速度，直接计算力矩 已知转角、角速度，微分运算 已知外力矩求转动规律 积分运算 初始条件确定积分常数,类似于质点的运动,方程只适合于单个刚体,对于多个固定转轴的物体系统而言，可将各物体拆开，分别研究，写出相应方程，并联立求解。,2019/7/10,27,例14.7 重量为G的连杆绕通过固定轴心O的水平轴z作微幅摆动，测得周期为T，且已知尺寸a、b，求连杆对O和O1轴的转动惯量。 解,（1）摆动周期T,微幅摆动，sin,2019/7/10,28,微分方程的通解为,摆动周期为,（2）转动惯量,对O轴,对O1轴,2019/7/10,29,14.4 刚体平面运动微分方程,质心为基点 随质心平移：质心运动定理 绕质心转动：定轴转动微分方程 运动方程 基本方程,微分方程,2019/7/10,30,例14.8 求图示均质圆轮的轮心加速度（纯滚动） 解,圆轮作平面运动,或,基本方程,The End,
