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1、第二十章 位移法及应用,知识目标： 熟悉等截面直杆的转角位移方程的意义及位移、内力的正负号规定 掌握位移法求解一般梁和刚架的内力计算方法 理解位移法基本未知量含义 理解位移法的基本概念 能力目标： 能熟练应用形常数和载常数求解基本方程的系数 能熟练地绘制超静定梁和刚架在荷载作用下的弯矩图 能正确确定位移法基本未知量、列出位移法基本方程，并理解其物理意义 能正确理解位移法通过离散-整合解决问题的基本思路,第二十章,第一节 位移法适用范围及基本概念,第一节 位移法适用范围及基本概念,位移法是以结构的独立结点位移作为基本未知量，以力的平衡条件来建立位移法的基本方程，求解基本未知量，进而求出结构全部内
2、力的一种计算方法。 位移法基本未知量的个数与结构的超静定次数无关，既适用于分析超静定结构，也适用于分析静定结构。本章主要介绍用位移法计算由等截面直杆组成的连续梁和刚架。 在位移法的计算中通常做以下几个假设： （1）结构的变形是微小的； （2）忽略杆件的轴向变形和剪切变形，各杆端之间的轴向长度在变形后保持不变； （3）结点线位移的弧线用垂直于直杆的切线来代替。,第二节 位移法基本未知量和基本体系的确定,位移法的基本未知量是结点的位移，包括结点的独立角位移和独立的结点相对线位移。通常用Zi表示。用位移法分析结构时，首先应确定基本未知量。,一、结点独立角位移的确定,结构中结点独立角位移的数量，等于刚
3、结点和组合结点（也称半刚结点）的数量之和。,二、结点独立线位移的确定,三、位移法的基本体系,基本未知量确定后，在结构的结点角位移处增设控制转角的附加约束刚臂，在独立的结点线位移处增加控制线位移的附加约束链杆支座，使结构的各杆成为互相独立的单杆体系，称为原结构的位移法基本结构。基本结构在各结点位移、荷载（有时还可能有温度变化、支座移动等）作用下的体系称为位移法基本体系。,三、位移法的基本体系,如图20-4（a）所示的刚架，根据上述确定基本未知量的方法可知，结点A有一转角位移Z1，结点A和B将发生一相同的水平线位移Z2。我们在刚结点A处附加一刚臂，以阻止A点的转动。在结点B处附加水平链杆支座，以阻
4、止结点A和B的水平线位移，就可得到如图20-4（b）所示基本结构。再把荷载作用于其上，并分别令附加约束处产生与原结构相同的位移Z1和Z2，其中附加刚臂上“ ”表示角位移，附加链杆支座上“ ” 表示线位移。这样就得到原结构的基本体系，如图20-4（c）所示。,图20-4,四、举例,【例20-1】试建立图20-5（a）所示刚架的基本体系。,解：该体系有一个刚结点A，即A结点有一个角位移，AB杆上A、B两点将发生一相同的水平位移。所以在刚结点A处附加一刚臂，以阻止A点的转动，在结点B处附加一水平链杆支座，以阻止结点A、B的水平线位移。再把荷载作用在其上，并分别令附加约束产生与原结构相同的位移Z1、Z
5、2 。这样就得到如图20-5（b）所示的基本体系。,图20-5,四、举例,【例20-5】试建立图20-9 (a)所示静定梁的基本体系。,解：图20-9(a)中B、D为半刚结点，所以有两个角位移。全盘铰结化后，须在C处增加一链杆支座才能保持几何不变。因此有一结点线位移。在结点B、D处附加刚臂阻止B、D两点转角位移，在结点C处附加竖向链杆支座，阻止C点线位移Z1、Z2、Z3，这样就得到如图20-9(b)所示的基本体系。,图20-9,四、举例,【例20-6】试建立图20-10（a）所示刚架的基本体系。,解：该刚架有两个刚结点B、C，所以有两个角位移。全盘铰结化后有 3 个自由度。在结点A、C、D处附
6、加链杆支座以阻止该处的线位移，在结点B、C处附加刚臂以阻止该处角位移。令附加约束处产生与原结构相同的位移Z1、Z2、Z3 、Z4、Z5，就得到如图20-10 (b)的基本体系。,图20-10,第三节 等截面直杆转角位移方程,位移法基本未知量和基本结构确定后，结构被离散为若干单跨超静定梁，进一步求解基本未知量时，需要依据杆端内力与杆端位移和荷载的关系，这种关系式称为等截面直杆的转角位移方程。 对相关量值的正负号规定如下： （1）杆端转角以顺时针方向转动为正；杆端相对线位移以相对于原位置顺时针方向转动为正。 （2）杆端弯矩分两种情况：对杆件的杆端以顺时针方向为正；对结点或支座的弯矩则以逆时针方向为
7、正。 （3）杆端剪力仍以使杆件微段顺时针方向转动为正。,一、两端固定的等截面直杆,二、一端固定一端铰支的等截面直杆,一端固定另一端为铰支座的等截面直杆，在荷载和杆端位移共同作用下的情况如图20-12所示，其杆端弯矩的一般表达式为： MAB=3iA-3i/l+MABF (20-6) MBA=0,图20-12,三、一端固定一端滑动的等截面直杆,第四节 位移法典型方程,第四节 位移法典型方程,对于具有n个基本未知量的结构，可建立n个位移法方程：,上式（20-11）即为位移法方程的一般形式，不论结构是什么形式，位移法方程的形式是不变的，故式（20-11）常称为位移法典型方程。,第四节 位移法典型方程,
8、式（20-11）中rii 称为主系数，它表示基本结构仅在附加约束i发生单位位移时，即Zi=1时，在附加约束上产生的约束反力； rij (ij)称为副系数，它表示基本结构仅在附加约束j发生单位位移时，即Zj=1时，在附加约束i上产生的约束反力，根据反力互等定理有rijrji；RiP 称为自由项，它表示在基本结构上仅有荷载作用时，在附加约束上产生的的约束反力。它们的正负号规定为：凡与所属附加约束所设位移方向一致的为正。显然，主系数恒为正，副系数和自由项可为正、为负或为零。 求解这个方程组可解得全部基本未知量，然后由式（20-12）计算出杆端弯矩，绘出弯矩图，进而绘出剪力图和轴力图。,(20-12)
9、,第五节 位移法的应用,根据以上分析可归纳出位移法的解题步骤如下： （1）确定基本未知量，建立位移法基本结构（体系）； （2）写出位移法基本方程； （3）计算系数和自由项； （4）解方程求出基本未知量； （5）绘制内力图； （6）校核。（在位移法中，只进行平衡条件的校核。） 下面我们举例说明用位移法解超静定梁和超静定刚架。,一、仅有结点独立角位移的结构,【例20-7】用位移法计算图20-15（a）所示连续梁，并绘制其弯矩图。,一、仅有结点独立角位移的结构,图20-15,一、仅有结点独立角位移的结构,【例20-8】用位移法分析图20-16 （a）所示刚架，并绘制其弯矩图。,解：（1）确定刚结点B
10、的转角Z1为基本未知量。 （2）增加刚臂约束，建立位移法基本体系如图20-16（b）所示。 （3）写出位移法基本方程：r11Z1+R1P=0 （4）设EI/4=i 。绘制 图如图20-16（c）、（d）所示，由结点平衡求得系数和自由项： r11= 11 i ，R1P=66kNm （5）基本未知量：Z1=R1P /r11=6/i （6）由 得杆端弯矩： MBA=66kNm ， MBC=18kNm ， MBD=48kNm ，MDB=24kNm 绘出结构弯矩图如图20-16（e）所示。 （7）校核：在图20-16（e）中，取出B结点，如图20-16（f），由MB=0得：MBA+ MBC+ MBD=6
11、6 kNm 18 kNm48 kNm =0 可知计算无误。,一、仅有结点独立角位移的结构,图20-16,二、仅有结点独立线位移的结构,【例20-9】用位移法分析图20-17（a）所示结构，并绘制其内力图。,解：（1）由于横梁刚度EI趋于无穷大，不能弯曲、伸缩，故AB杆的B端只有侧移，且与CD杆的C端侧移相等。因此确定结点线位移为基本未知量Z1。 （2） 增加附加支杆，形成位移法基本体系如图20-17(b)。 （3） 建立位移法基本方程：r11Z1+R1P=0 （4） 设EI/l=i。 绘制 图如图20-17（c）、（d）所示。为求出系数r11，从图20-17（c）图上取横梁为隔离体，如图20-
12、17（e）所示，竖柱截面的剪力可根据 图算得，也可根据式（20-2）、（20-5）算得。 由X=0得：r11=12i/l2+3i/ l 2=15i/l2 为求出自由项R1P从图20-17(d)中取出横梁为隔离体，如图20-16（f）所示，竖柱剪力求法同上。 由X=0得：R1P=1.5ql （5）基本未知量为Z1=R1P /r11=0.1ql3/i,二、仅有结点独立线位移的结构,（6）求出杆端弯矩、杆端剪力，并绘弯矩图如图20-17（g）所示和剪力图如图20-17（h）所示。 由 得杆端弯矩： MAB=41ql2/60 ， MBA= 31ql2/60 ， MDC=3ql2/10 ， MCD= 0
13、 杆端剪力可由 求得（也可式（20-2）、（20-5）求得）： FSAB=17ql/10 ， FSBA=7ql/10 ，FSCD=3ql/10 （7）校核（略）。,二、仅有结点独立线位移的结构,图20-17,三、既有独立结点角位移又有独立线位移的结构,【例20-10】用位移法计算图20-18 （a）所示结构，并绘制其弯矩图。,解：（1）经判定可知：结点B的转角位移Z1和结点B、C共同的结点线位移Z2为用位移法计算该结构时的基本未知量。 （2） 建立位移法基本体系如图20-18（b）所示。 （3）写出位移法基本方程为：,（4）分别绘出 图，如图20-18（c）、（d）、（e）所示。分别取结点B及
14、BC杆为隔离体，根据隔离体的平衡条件可得：r11=7i， r12=r21=-i， r22=5i/12，R1P=30kNm，R2P= -50kN （5）解方程得Z1 =19.565 / i （kN m） ，Z2=166.957/i （kNm2） （6）按 绘制弯矩图，如图20-18（f） 所示。 （7）校核（略）,三、既有独立结点角位移又有独立线位移的结构,图20-18,本 章 小 结 ：,本章主要介绍了位移法的基本概念、等截面直杆的转角位移方程、位移和内力的正负号规定、位移法求解一般梁和刚架的内力计算方法。,1.位移法的基本思路是：以结构的独立结点位移作为基本未知量，以力的平衡条件来建立位移法的基本方程，求解基本未知量，进而求出结构全部内力。 2.位移法中，基本未知量是结点的位移，包括结点的独立角位移和独立的结点相对线位移。通常用Zi表示。 3.所谓等截面直杆的转角位移方程就是杆端内力与杆端位移、荷载之间的关系式 。 4.位移法的解题步骤如下： （1）确定基本未知量，建立位移法基本结构（体系）； （2）写出位移法基本方程； （3）计算系数和自由项； （4）解方程求出基本未知量； （5）绘制内力图； （6）校核。（在位移法中，只进行平衡条件的校核。）,T h a n k Y o u !,
