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1、考点规范练考点规范练 50 分类加法计数原理与分步乘法计数分类加法计数原理与分步乘法计数 原理原理 基础巩固组基础巩固组 1.某人去有四个门的商场购物,若进出商场不同门,则不同的进出方案有( ) A.256 种B.81 种C.16 种D.12 种 2.(2017 浙江舟山质检)有 4 件不同颜色的衬衣,3 件不同花样的裙子,另有 2 套不同样式的连衣裙.“五 一”节需选择一套服装参加歌舞演出,则不同的选择方式种数为( ) A.24B.14C.10D.9 3. 如图,用 6 种不同的颜色把图中 A,B,C,D 四块区域分开涂色,若相邻区域不能涂同一种颜色,则不同涂 法的种数为( ) A.400B
2、.460C.480D.496 4.已知集合 P=x,1,Q=y,1,2,其中 x,y1,2,3,9,且 PQ.把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作 为一个点的坐标,则这样的点的个数是( ) A.9B.14C.15D.21 5.如果一条直线与一个平面平行,那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中,由两 个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( ) A.60B.48C.36D.24 6.在平面直角坐标系内,点 P(a,b)的坐标满足 ab,且 a,b 都是集合1,2,3,4,5,6中的元素.又点 P 到原 点的距离|OP|5,则这样的点 P 的个数为
3、 . 7.(2017 浙江杭州调研)已知集合 M=1,2,3,4,集合 A,B 为集合 M 的非空子集,若对xA,yB,xy 恒成立,则称(A,B)为集合 M 的一个“子集对”,则集合 M 的“子集对”共有 个. 8.已知集合 M=1,2,3,N=1,2,3,4,定义函数 f:MN.若点 A(1,f(1),B(2,f(2),C(3,f(3),ABC 的外接圆 圆心为 D,且=(R),则满足条件的函数 f(x)有 个. + 能力提升组能力提升组 9.已知 a,b0,1,2,9,若满足|a-b|1,则称 a,b“心有灵犀”.则 a,b“心有灵犀”的情形的种数为( ) A.9B.16C.20D.28
4、 10.从集合1,2,3,4,10中,选出 5 个数组成子集,使得这 5 个数中任意两个数的和都不等于 11,则这 样的子集有( ) A.32 个B.34 个C.36 个D.38 个 11. 如图所示,一个地区分为 5 个行政区域,现给该地区的地图涂色,要求相邻区域不得使用同一种颜色, 现有 4 种颜色可供选择,则涂色方法共有的种数为( ) A.72B.46C.60D.78 12. 某区域的道路示意图(每个小正方形的边表示道路,且长都相等)如图,那么从 A 到 B 的最短路线有( ) A.84 条B.42 条C.39 条D.33 条 13.若从 1,2,3,14 这 14 个整数中同时取三个数
5、,其中任何两数之差的绝对值不小于 3,则不同的取 法有( ) A.1 320 种B.720 种C.220 种D.120 种 14. 一个旅游景区的游览线路如图所示,某人从点 P 处进,点 Q 处出,沿图中线路游览 A,B,C 三个景点及 沿途风景,则不重复(除交汇点 O 外)的不同游览线路有 种. 15.若自然数 n 使得作竖式加法 n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称 n 为“良数”.例如:32 是“良数”,因 为 32+33+34 不产生进位现象;23 不是“良数”,因为 23+24+25 产生进位现象.那么小于 1 000 的“良数” 的个数为 . 16.如果自然数 a 的各
6、位数字之和等于 8,那么我们称 a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一 列 a1,a2,a3,若 an=2 015,则 n 为 . 17.某电视台连续播放 6 个广告,其中有 3 个不同的商业广告、2 个不同的宣传广告、1 个公益广告, 要求最后播放的不能是商业广告,且宣传广告与公益广告不能连续播放,两个宣传广告也不能连续播 放,求有多少种不同的播放方式? 18.(2017 浙江名校联考改编)回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数,如 22,121,3 443,94 249 等.显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33,99.3 位回文数有 90 个:101,111,12
7、1,191,202,999. (1)4 位回文数有几个? (2)(2n+1)(nN*)位回文数有几个? 答案： 1.D 进商场的方案有 4 种,则出商场的方案有 3 种,由分步乘法计数原理知,不同的 进出方案有 43=12(种).故选 D. 2.B 第一类:一件衬衣,一件裙子搭配一套服装有 43=12(种)方式. 第二类:选 2 套连衣裙中的一套服装有 2 种选法. 所以由分类加法计数原理,共有 12+2=14(种)选择方式. 3.C 从 A 开始,有 6 种方法,B 有 5 种,C 有 4 种,D,A 若同色有 1 种,D,A 若不同色有 3 种,则有 654(1+3)=480 种不同涂法.
8、 4.B P=x,1,Q=y,1,2,且 PQ,xy,1,2. 当 x=2 时,y=3,4,5,6,7,8,9,共有 7 种情况; 当 x=y 时,x=3,4,5,6,7,8,9,共有 7 种情况. 故共有 7+7=14 种情况.即这样的点的个数为 14. 5.B 长方体的 6 个表面构成的“平行线面组”个数为 66=36,另含 4 个顶点的 6 个 面(非表面)构成的“平行线面组”个数为 62=12,故符合条件的“平行线面组”的个数是 36+12=48. 6.20 依题意可知: 当 a=1 时,b=5,6,两种情况; 当 a=2 时,b=5,6,两种情况; 当 a=3 时,b=4,5,6,三
9、种情况; 当 a=4 时,b=3,5,6,三种情况; 当 a=5 或 6 时,b 各有五种情况. 所以共有 2+2+3+3+5+5=20 种情况. 7.17 当 A=1时,B 有(23-1)种情况;当 A=2时,B 有(22-1)种情况;当 A=3时,B 有 1 种情况;当 A=1,2时,B 有(22-1)种情况;当 A=1,3,2,3,1,2,3时,B 均有 1 种情况,所 以满足题意的“子集对”共有 7+3+1+3+3=17(个). 8.12 由 A,B,C 三点坐标及=(R),知ABC 是等腰三角形,且 BA=BC,必 + 有 f(1)=f(3),f(1)f(2). 当 f(1)=f(3
10、)=1 时,f(2)=2,3,4,有 3 种情况;当 f(1)=f(3)=2 时,f(2)=1,3,4,有 3 种情况;当 f(1)=f(3)=3 时,f(2)=1,2,4,有 3 种情况;当 f(1)=f(3)=4 时,f(2)=1,2,3,有 3 种情况.因而满足 条件的函数 f(x)共有 12 个. 9.D 当 a 为 0 时,b 只能取 0,1 两个数;当 a 为 9 时,b 只能取 8,9 两个数;当 a 为其他 数时,b 都可以取 3 个数.故共有 28 种情形. 10.A 将和等于 11 的两个数放在一组:1 和 10,2 和 9,3 和 8,4 和 7,5 和 6.从一个小 组
11、中取一个数的取法有=2 种,则这样的子集共有 22222=32(个).故选 A. 1 2 11.A 因为区域 1 与其他 4 个区域都相邻,首先考虑区域 1,有 4 种涂法,然后再按区 域 2,4 同色和不同色,分为两类: 第 1 类,区域 2,4 同色,有 3 种涂法,此时区域 3,5 均有 2 种涂法,共有 4322=48 种涂法; 第 2 类,区域 2,4 不同色,先涂区域 2,有 3 种涂法,再涂区域 4,有 2 种涂法,此时区域 3,5 都只有 1 种涂法,共有 43211=24 种涂法. 根据分类加法计数原理,共有 48+24=72 种满足条件的涂色方法. 12.C 要使从 A 到
12、 B 的路线最短,则只能向右或向上走,共走 9 个小正方形的边长, 如图,按 ADB 走有条;按 AEB 走有条;按 AFB 走只有 1 条,总共有 3 6 1 6 1 3 +1=39(条). 3 6+ 1 6 1 3 13.D 分类讨论:三个数中最小的数为 1 的总共有 8+7+6+2+1=36(种); 三个数中最小的数为 2 的总共有 7+6+5+2+1=28(种); 三个数中最小的数为 3 的总共有 6+5+4+3+2+1=21(种); 三个数中最小的数为 4 的总共有 5+4+3+2+1=15(种); 三个数中最小的数为 5 的总共有 4+3+2+1=10(种); 三个数中最小的数为
13、6 的总共有 3+2+1=6(种); 三个数中最小的数为 7 的总共有 2+1=3(种); 三个数中最小的数为 8 的总共有 1(种). 故总共有 36+28+21+15+10+6+3+1=120(种). 14.48 从点 P 处进入结点 O 以后,游览每一个景点所走环形路线都有 2 个入口(或 2 个出口),若先游览完 A 景点,再进入另外两个景点,最后从点 Q 处出有(4+4)2=16 种 不同的方法;同理,若先游览 B 景点,有 16 种不同的方法;若先游览 C 景点,有 16 种不同 的方法.因而所求的不同游览线路有 316=48(种). 15.48 一位数的“良数”有 0,1,2,共
14、 3 个. 两位数的“良数”十位可以是 1,2,3,故两位数的“良数”有 10,11,12,20,21,22,30,31,32, 共 9 个. 三位数的“良数”百位为 1,2,3,十位为 0 的,个位可以是 0,1,2,共 33=9(个);百位为 1,2,3,十位不是 0 时,后两位可以看作是两位数的“良数”,则共有 39=27(个). 根据分类加法计数原理,小于 1 000 的“良数”共有 48 个. 16.83 由题意,“吉祥数”为一位数时,只有 8 一个; “吉祥数”为两位数时,有 17,26,35,44,53,62,71,80,共 8 个; “吉祥数”为三位数时,(0,0,8)有 1
15、个,(0,1,7)有 4 个,(0,2,6)有 4 个,(0,3,5)有 4 个,(0,4,4) 有 2 个,(1,1,6)有 3 个,(1,2,5)有 6 个,(1,3,4)有 6 个,(2,2,4)有 3 个,(2,3,3)有 3 个,共 1+43+2+33+62=36(个); “吉祥数”为四位数且小于等于 2 015 时,(0,0,1,7)有 3 个,(0,0,2,6)有 1 个,(0,1,1,6)有 6 个,(0,1,2,5)有 7 个,(0,1,3,4)有 6 个,(1,1,1,5)有 3 个,(1,1,2,4)有 6 个,(1,1,3,3)有 3 个, (1,2,2,3)有 3 个
16、,共有 34+63+1+7=38(个). 故小于等于 2 015 的“吉祥数”一共有 1+8+36+38=83(个),即 a83=2 015,n=83. 17.解 用 1,2,3,4,5,6 表示广告的播放顺序,则完成这件事有三类方法. 第 1 类:宣传广告与公益广告的播放顺序是 2,4,6,分 6 步完成这件事,共有 332211=36 种不同的播放方式; 第 2 类:宣传广告与公益广告的播放顺序是 1,4,6,分 6 步完成这件事,共有 332211=36 种不同的播放方式; 第 3 类:宣传广告与公益广告的播放顺序是 1,3,6,同样分 6 步完成这件事,共有 332211=36 种不同的播放方式. 由分类
