《新编经济应用数学 线 概 数 第五版 4.1.2 Word 教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新编经济应用数学 线 概 数 第五版 4.1.2 Word 教案（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.1.2 随机变量及其分布教学目的：理解概率分布律、概率密度函数、分布函数的定义及性质，了解分布函数的求法，掌握正态分布标准化方法，会通过查标准正态分布表求解一些实际应用的概率问题。 内 容：1、随机变量的概念2、离散型随机变量及其概率分布 3、连续型随机变量及其概率分布 4、几种常见的随机变量的概率分布（二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布及正态分布） 5、随机变量函数的分布教学重点：分布函数的概念及性质、正态分布及计算教学难点：分布函数、概率密度函数，随机变量函数的分布教 具：多媒体课件教学方法：启发式教学、精讲多练教学过程：1、引入新课：为了深入地研究随机现象，需要把随机试验的结果数
2、量化，从而引出了随机变量的概念。由研究的规律性随机变量，而引出随机变量的概率分布。2、教学内容：一、随机变量的概念在许多问题中，随机事件与实数间存在客观联系。在10个产品中有8个正品，2个次品。从中任取3个，其中次品数可用一个变量表示，记作，则。在一次射击中“命中的环数”这一随机现象的可能结果是“中0环”，“中1环” “中10环”，我们可以用变量来表示这些出现的“命中环数”： =0 表示事件“命中0环” =1 表示事件“命中1环”=2 表示事件“命中2环” 10 表示事件“命中10环” 一般地，可以用表示事件“命中环 定义1 在随机试验中，每个随机事件都唯一地对应着一个数，把这些数用表示，则是
3、随实验结果而变化的量，称为随机变量，简记为。 根据随机变量的取值情况，可以把随机变量分成两类：离散型随机变量和非离散型随机变量。 离散型随机变量就是可取值可以一一列举出来的随机变量。非离散型随机变量的范围很广，情况比较复杂。其中最重要的，也是在实际中常遇到的是连续型随机变量。本课程中只讨论离散型和连续型随机变量。二、离散型随机变量定义2 如果随机变量只取有限个或可列多个可能值，同时以确定的概率取这些不同的值，则称为离散型随机变量。离散型随机变量的所有取值与其对应的概率间的关系，称为离散型随机变量的概率分布，或称为概率函数。离散型随机变量的概率分布的表示法：（1）解析法：随机变量取各个值的概率为
4、 。 （2）列表法： 这个表称为随机变量的概率分布表。 （3）图示法：借助于直角坐标系，将离散型随机变量的概率分布用图表示。 由概率的性质不难知道，任何一个随机变量的概率分布都具有以下两条性质：(1) 非负性： (2) 完备性： 【例1】 一批产品的废品率为5%，从中任意选取一个进行试验，用随机变量来描述这一试验，试写出的概率分布。解：用表示废品个数，可能的取值为0，1。表示产品为合格品，表示产品为废品， ，则的概率分布也可以表示为：010.950.05【例2】 某产品有一、二、三个等级另外还有废品。其中一、二、三等所占比例及废品率分别为60%、10%、20%及10%，任取一个产品检查质量，用
5、随机变量描述这一试验，写出的概率分布。解： 表示产品为废品，表示产品为等品，。则的概率分布也可以表示为：01230.10.60.10.2【例3】 用随机变量描述投掷一枚骰子的试验。解： 用表示投掷一枚骰子出现的点数。则有则的概率分布也可以表示为：123456【例4】 从一大批产品中逐个取出检查，直到查出一件次品为止，设产品的次品率为，求所需抽查次数的概率分布。解：设所需抽查次数，必须满足前次未查出次品，在第次查出次品。由于产品数量大，可认为各次抽查相对独立，且每次查出次品的概率为，查出不是次品的概率为，于是三、连续型随机变量定义3 对于随机变量，若存在非负可积函数 ，使得对任意实数，都有则称为
6、连续型随机变量。其中，函数叫做概率密度函数（简称概率密度），的图象叫做概率密度曲线。 概率密度函数有如下性质：根据定积分的几何意义可知，随机变量取值落在区间内的概率等于由直线，曲线以及X轴围成的曲边梯形的面积；与轴之间的面积为1。如下图所示。不难看出，对任意实数，于是有 【例5】 某电子计算机在发生故障前正常运行的时间（单位：小时）是一个连续型随机变量，概率密度为问：这个计算机在发生故障前能正常运行50至150小时的概率是多少？运行时间少于100小时的概率是多少？解：由于，即有求积分可得从而 计算机在发生故障前能正常运行50至150小时的概率为 四、分布函数分布函数能够将离散型随机变量与连续型
7、随机变量概率分布的描述统一起来。 定义4 设是一个随机变量，为任意实数，函数称为的分布函数。 注意：该定义的几何意义为：分布函数在处的函数值在几何上表示随机变量取值落在区间上的概率。对于离散型随机变量，由概率分布，得对于连续型随机变量，设概率密度为，得分布函数具有下面性质： （1）； （2）为不减函数； （3）； （4）特别地，【例6】 有一个袋子装有5各相同的球，分别标有号码1、2、3、4、5，从中任取3个，令表示三个球中的最大号码，试求下列结果：（1）的概率分布；（2）求的分布函数及图形（3）（4）（5）解：由题意，的值只能取3、4、5， ，,（1）的概率分布为：3150.10.30.6（
8、2）由于（），的分布函数为即分布函数的图形如下图所示：（3）（4）（5）=0【例7】 设在上服从均匀分布,（1） 求的分布函数；（2） 画出的密度函数及分布函数的图形；（3） 求解：的概率密度函数为 当时,当时,当时, （2）及的图形如下图所示： （3）五、几种常见的随机变量的概率分布1、两点分布(0-1)分布)定义5 随机变量只能取两个值0或1，其概率函数为 （或则称服从两点分布，也叫分布（p为参数）。其概率分布表为01两点分布又叫贝努里分布，【例8】一批产品共计100件，其中有5件次品。从这批产品中任取一件，以描述其是否为次品，即求的概率分布。解：因为，故的概率分布为01、二项分布()定义
9、6 如果一个随机试验可以在相同的条件下重复进行次，每次试验的结果互不影响，且一次试验只可能出现两种结果，在每次试验中，事件出现的概率都不变，并且，。称这种试验为重贝努里试验（简称贝努里试验）。在重贝努里试验中，事件恰好发生次概率为其中因为恰好为二项式的展开式中的第项，故我们称随机变量服从参数为的二项分布，记作。特别地，当时，二项分布即为两点分布。【例9】 某厂每天用水量保持正常的概率为，求最近6天内用水量正常的天数的分布。解：设表示6天内用水量正常的天数，服从二项分布，可能的取值为0、1、2、3、4、5、6，有，同理，【例10】 某大楼有两部电梯，每部电梯因故障不能使用的概率均为0.02，设同
10、时不能使用的电梯数为，求的概率分布。解：因为，所以的概率分布表为：0120.96040.03920.00043、泊松分布（）定义7 如果随机变量的概率函数为： 则称为服从参数为的泊松分布，记作，为参数。当充分大，充分小时，可用（一般要求）的泊松分布代替二项分布，即【例11】 设螺丝钉的废品率是0.01，螺丝钉每100多个装一盒，问在盒中应装多少个螺丝钉才能使其中“合格品数”的概率不小于0.95。解：设是应装的螺丝钉数，用表示各螺丝钉中的废品数。则“合格品数”等价于（），因此 且 由泊松分布，得由于必是较小的正整数，所以，即有查泊松分布表得：当时，当时，当时，结论：在盒中应装103个螺丝钉才能使
11、其中“合格品数”的概率不小于0.95。【例12】 某银行营业部对其现金出纳员的要求首付款的差错率不能超过，试求在5000次首付款中，出纳员有两次或两次以上出错的概率。解：设表示在5000次首付款中，出纳员的出错次数，则，记则利用泊松近似计算法，所求概率为= 4、均匀分布（定义8 若随机变量的概率密度为 （为常数）则称随机变量服从在区间上的均匀分布。若随机变量服从在区间上的均匀分布，则对于任意子区间，有上式说明落在在子区间上的概率等于子区间长度与整个区间长度之比，而与子区间在中的位置无关。【例13】 经过对某种外销产品的统计得知，其国际市场需求量最少是2000单位，最多是5000单位，而在200
12、0到5000之间无任何明显的变化特征。现组织2800单位的货源，问不能满足需求的概率是多少？解：设为该种产品的国际市场需求量，依题意是服从上的均匀分布，则有则不能满足需求的概率为5、指数分布（）定义9 若随机变量的概率密度函数为 为常数）则称服从参数为的指数分布，记作。【例14】 某商店经销的灯泡的使用寿命的概率分布由其概率密度函数 （，单位：小时）。试求（1） 灯泡在1000小时内失效的概率；（2） 使用寿命在10002000小时之间的概率；（3） 这种灯泡使用2000小时以上的概率。解：（1）故灯泡在1000小时内失效的概率为0.18（2） 故使用寿命在10002000小时之间的概率为0.
13、15。（3）故这种灯泡使用2000小时以上的概率为0.67。6、正态分布（）定义10 如果连续型随机变量的概率密度函数为 则称服从参数为的正态分布（或高斯分布），记作，这时称为正态随机变量。 定义11 当时，正态分布的密度函数，此时连续型随机变量服从标准正态分布，记作。对于，在直角坐标系内的图形呈钟形，最大值点在；曲线关于直线对称；在处有拐点；当时，曲线以轴为渐近线；大时，曲线平缓，小时，曲线陡峭。对于 ，最大值点在处；如下图所示： 正态分布在概率统计的理论与应用中占有特别重要的地位，如测量一批产品的长度或强度等质量指标所产生的误差，都可以看作或近似看作服从正态分布。标准正态分布的分布函数记为，其密度函数记为，标准正态分布的概率计算公式如下：（1）（2）（3）（4）（5）【例15】设，求；解： 一般正态分布的概率计算公式：当时, 则有于是【例16】 设解： 【例17】 参加录用工人考试的考生为2000名，拟录取前300
