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1、高等数学（少学时）教案数学史话在一切理论成就中，未必再有什么象世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了如果在某个地方我们看到了人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是在这里恩格斯积分的起源中国古代数学家对面积、体积问题进行过大量研究，其中一些工作可以被看作积分思想的萌芽公元263年，魏晋间杰出数学家刘徽为九章算术作注，在关于面积、体积的多处注文中体现了初步的积分思想14世纪20年代至40年代，牛津大学默顿学院（Merton College）的一批逻辑学家和自然哲学家在研究所谓“形态幅度”时，得到一个重要结果：如果一个物体在给定的一段时间内进行匀加速运动，那么它经过的总距离s等于它在这
2、段时间内以初速度v0和末速度vt的平均速度（既在这一段时间的中点的瞬时速度）进行匀速运动所经过的距离14世纪中叶，法国学者奥而斯姆（N.Oresme,约1323-1382）应用他的均匀变化率概念和图解表示法给出了上述例题的几何证明他的证明虽然在近代意义下不太严格，但基本思想与后来的定积分相当接近17世纪上半叶，欧洲一些数学家继承并发展了历史上的“不可分量”方法以处理面积、体积问题，成为积分方法的直接先导意大利数学家卡瓦列里的用新的方法推进连续体的不可分量几何学（1635）标志着求积方法的一个重要进展在这部著作中，卡瓦列里提出了一个较为一般的求积方法大约在1637年，法国数学家费马（P.de F
3、ermat,1601-1665）完成了一篇手稿求最大值和最小值的方法在积分概念与方法的早期发展中，这一工作占有极其重要的地位费马不仅成功地克服了卡瓦列里不可分量方法的致命弱点，而且几乎采用了近代定积分的全部过程1666年10月，牛顿完成了他在微积分学方面的开创性论文流数短论，在这篇短文中，牛顿不仅讨论了如何借助反微分来解决积分问题，即微积分基本定理，而且明确指出反微分“总能做出可以解决的一切问题”与牛顿的积分概念不同，莱布尼兹的积分的曲线下面积的分割求和或者说是微分的无穷和，也就是今天所说的定积分明确地将积分等同于高为y、宽为dx的一些无穷小矩形之和1686年莱布尼兹发表了他的第一篇积分学论文
4、深奥的几何与不可分量及无限的分析，这篇论文论述了积分与微分或切线问题的互逆关系，正是在这篇论文中，积分号“”第一次出现于印刷出版物上后来获得普遍的接受并沿用至今定积分是组成积分学的另一基本部分，它与不定积分在概念上有根本的区别又有密切的联系定积分在工程和科学技术领域内有着广泛的应用本章将从实际例题出发引出定积分概念，然后讨论定积分的性质、计算方法及定积分在几何、物理等方面的应用5.1 定积分的概念与性质5.1.1 两个实例1.曲边梯形的面积在直角坐标系下，由闭区间上的连续曲线（，直线（即轴）所围成的平面图形叫作曲边梯形（如图5-1）在轴上区间内的线段叫作曲边梯形的底下面讨论曲边梯形面积的计算问
5、题在初等数学中，我们知道矩形面积底高，将曲边梯形和矩形作比较，区别在于：矩形的四边是直的，而曲边梯形有一边是曲的这样就导致曲边梯形的高是随的变化而变化的，计算其面积就有难度但由于曲线是连续的，所以，当点在区间上变化很小时，则相应的高也就变化不大基于这种想法，可以用一组垂直于x轴的直线将曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，然后对每一个小曲边梯形都作一个相应的小矩形，用小矩形的面积来代替小曲边梯形的面积这样用这些矩形的面积和就可以近似地代替曲边梯形的面积显然，分割得越细，近似程度就越好，当这种分割无限加细，即把区间 无限细分，使每个小区间长度趋于零，则所有小矩形的面积之和的极限就是曲边梯形的面积根据以
6、上分析，我们可按如下步骤计算曲边梯形 图52的面积，如图5-2所示（1）分割：任取分点把区间分成n个小区间小区间段的长度图图过每个分点作轴的垂线，把曲边梯形AabB分成n个小曲边梯形，每个小曲边梯形的面积记为（2）近似代替：在每个小区间内任取一点，以为高， 为底作小矩形，用此小矩形的面积来近似代替小曲边梯形的面积，即（3）求和：把这n个小矩形的面积加起来，就得到曲边梯形的面积S的近似值，即 记为 （4）取极限：若用表示所有小区间长度的最大者，当时，和式的极限就是曲边梯形的面积，即可见曲边梯形的面积是一个和式的极限2.变速直线运动的路程设一物体作直线运动，已知速度是时间的连续函数，求在时间间隔上
7、物体所经过的路程 我们知道，对于匀速直线运动，有公式：路程速度时间现在速度不是常量，因此，不能直接使用这个公式计算路程然而物体运动的速度变化是连续的，在很短的时间内，速度变化很小，可近似于匀速因此，完全可以用类似于求曲边梯形面积的方法来计算路程（1）分割：任取分点把区间分成n个小时间段第个小区间段的长度物体在该时间段内经过的路程记为（2）近似代替：在每个小时间段上任取一时刻，并以 时刻的速度代替时间段上的各时刻的速度，得到在时间内经过的路程的近似值，即 （3）求和：把这n个小时间段经过的路程相加，就得到变速直线运动路程的近似值，即记为 .（4）取极限：若用表示所有小区间长度的最大者，当时，和式
8、的极限就是曲边梯形的面积，即 可见变速直线运动的路程也一个和式的极限5.1.2 定积分定义 定义 设函数为区间上有的有界函数任意取分点将区间分成n个小区间，其长度记为，在每个小区间上，任取一点，得相应的函数值，作乘积，把所有这些乘积加起来，得和式,记，当时，如果上述和式的极限存在，则称函数在区间 上可积，并将此极限值称为函数在上的定积分记作 ，即其中称为被积函数，称为被积表达式，叫做积分变量，为积分区间，为积分下限，为积分上限符号读作函数从到的定积分根据定积分的定义，上面两个例子都可以表示为定积分：（1）曲边梯形的面积S是曲边函数在区间上的定积分，即；（2）变速直线运动的路程S是速度函数在时间
9、间隔上的定积分，即.关于定积分的定义，作以下几点说明：（1）定积分值是一个常数，它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的符号无关，即（2）可以证明，闭区间上连续函数或只有有限个第一类间断点的函数是可积的（3）该定义是在积分下限小于积分上限的情况下给出的，如果时，规定： 5.1.3 定积分的几何意义 1.当时，定积分在几何上表示曲线与直及轴所围成的曲边梯形的面积（图5-1） 2.当时，定积分在几何上表示曲线与直线及轴所围成的曲边梯形的面积的负值（图5-3）3.若函数 在 上有正有负时，定积分 在几何上表示曲线与直线及轴所围成的各种图形面积的代数和，在轴上方的图形面积取正值，在轴下方的图形面积
10、取负值（图5-4）图图5.1.4定积分的基本性质性质1 常数因子可以提到积分号外面来，即 性质2 两个函数的代数和的定积分等于定积分的代数和，即性质3 如果被积函数（K为任意常数），则特别地，当=1时 性质4 （积分对区间的可加性）如果积分区间被分成两个小区间 及，则性质5 若在上有，则 这个性质说明，若比较两定积分的大小，只要比较被积函数的大小即可性质6 （估值定理）若M和m分别是函数在上的最大值和最小值，则性质7 （定积分中值定理）如果在区间内连续，则在内至少存在一点，使得 它的几何解释是；一条连续曲线在上曲边梯形面积等于以区间长度为底，中一点的函数值为高的矩形面积，如图5-5所示 利用几
11、何意义说明性质图5-5【例1】利用定积分的性质，比较与积分值的大小.解 在区间上，满足不等示，0因此，由定积分的性质5，得 【例2】估计下列定积分的值：（1） （2）解（1）因为49，所以23，从而有 56由性质6知 5(9-4)6(9-4)即2530（2） 首先，求在区间上的最大值和最小值，为此，求，令，得驻点比较驻点，区间端点的函数值得最小值最大值由性质6知小结：定积分的概念和性质5.2牛顿莱布尼兹公式在上节我们给出了定积分的定义，那么怎样计算定积分呢？因为定积分定义为和式的极限，如果用定义来计算，往往是非常复杂的，有时甚至无法计算因此，我们必须寻求计算定积分的简单而有效的方法这就是牛顿莱布尼兹公式或称微积分的基本公式5.2.1变上限定积分定义 设函数在区间上连续，为上的任意一点，则积分存在，将称为变上限定积分，它是上限变量的函数记作，即 变上限定积分有下面的重要性质定理1 若函数在区间上连续，则变上限定积分 在区间上可导，并且它的导数等于被积函数，即 定理1告诉我们，变上限定积分是函数在区间上的一个原函数，这就肯定了连续函数的原函数总是存在的，所以，上述定理也称为原函数存在定理【例1】求下列函数的导数：（1） （2）（3） （4）解 （1）根据定理1，得 （2）根据定理1，得 （3）积分上限是，它是的函数，所以，变上
