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1、第十五章 动能定理,第一节 刚体平面运动的基本概念,一、功的概念和计算,第一节 刚体平面运动的基本概念,一、功的概念和计算,力F在微段ds上所作的功为常力功，称为元功，用dW表示，即 dW = Fcosds = Fds 式中： 是力与质点速度方向（运动方向）的夹角。 F力F在轨迹切线上的投影。,第一节 刚体平面运动的基本概念,二、 几种常见的力的功,由于运动轨迹是曲线，因此，取运动过程中任意微段ds来研究，ds很小，可以看成是直线，它和重力G的夹角为，则在此微段ds，重力G所作的元功为dW=Gcosds，从图中看出dh = dscos，所以，dW=Gdh，重力G从位置M1到M2的过程中所作的功
2、为：,第一节 刚体平面运动的基本概念,二、 几种常见的力的功,第一节 刚体平面运动的基本概念,二、 几种常见的力的功,第一节 刚体平面运动的基本概念,三、常见力的功为零的情况,由于刚体内两个质点相互作用，此两个力大小相等、方向相反，假定两质点间距不变，此作用力与反作用力的位移必相等。其中一力的功为正值，另一力的功为负值，这一对力作的功的代数和为零。刚体内任一对质点内力作的功之和都等于零。因此，刚体内所有内力的功的和等于零。,第一节 刚体平面运动的基本概念,三、常见力的功为零的情况,不可伸长的柔性约束内力的功为零。具有光滑面接触、光滑铰链、光滑轴承约束的构件，由于这些约束力垂直于其作用点的位移，
3、故约束力的功为零。符合这种条件的约束成为理想约束。,第一节 刚体平面运动的基本概念,三、常见力的功为零的情况,如图所示重力为G=20kN的重物块，在力F作用下沿倾角=30的斜面匀速上升。设重物块与斜面间的动摩擦因数=0.5，是求重物块移动距离S=5m时，作用于重物块上所有力所作的功以及合力的功。,例15.1,第一节 刚体平面运动的基本概念,三、常见力的功为零的情况,解题,(1)选取重物块作为研究对象。重物块上作用有主动力F、重力G、法向约束力FN、动滑动摩擦力F，画其受力图，列出平衡方程：,第一节 刚体平面运动的基本概念,三、常见力的功为零的情况,解题,第一节 刚体平面运动的基本概念,三、常见
4、力的功为零的情况,解题,第一节 刚体平面运动的基本概念,三、常见力的功为零的情况,例15.2,如图所示的机构有OA感和弹簧组成，OA杆的长为l，重力为G，弹簧的刚性系数为k，原长为1.414l，OA杆位于垂直位置，当OA杆受到常力矩m的作用，试计算OA杆从垂直位置绕O铰链转动到水平位置时，各个力所作的功以及合力的功。,第一节 刚体平面运动的基本概念,三、常见力的功为零的情况,解题,(1)选取OA杆作为研究对象。OA感受到的力有重力G、弹簧力Fk、常力矩m以及铰链O的约束力FOX，FOY作用。OA杆在垂直位置的受力图；OA杆在水平位置的受力图如图所示。,第一节 刚体平面运动的基本概念,三、常见力
5、的功为零的情况,解题,(2)计算作用于OA杆上所有力所作的功。 重力G的功。总务下降的高度h = l/2，得 弹簧力Fk的功。在垂直位置1 = l1-l0 = 0，水平位置2 = l2-l0 = 2l-1.414l = 0.586l，得,第一节 刚体平面运动的基本概念,三、常见力的功为零的情况,解题,常力矩m的功。OA杆从垂直位置绕O铰链转动到水平位置时=/2 铰链O的约束力FOX，FOY的功等于零，因为铰链支座无位移，这种理想约束的约束力的功为零。 (3)计算合力功。合理的功为,第二节 动能的概念及其计算,一、质点的动能,在力学中，把质点的质量与其速度平方乘积的一半称为质点的动能，以E表示，
6、即 动能是由于物体运动而具有的能量，是瞬时量，是与速度方向无关的正标量，具有与功相同的量纲，单位也是J。,第二节 动能的概念及其计算,二、质点系的动能,第二节 动能的概念及其计算,二、质点系的动能,设刚体饶轴Z转动，瞬时角速度为，如图所示，刚体内任一质点A的质量为mi，速度为vi，质点至转轴的距离为ri，因为vi = ri，则刚体在该瞬时的动能为,第二节 动能的概念及其计算,二、质点系的动能,链传动机构如图所示。大链轮的半径为R，对其转轴的转动惯量为J2，小链轮的半径为r，对其转动轴的转动惯量为J1，链条的质量为M，运动时链条的速度为v。试计算整个系统的动能。,例15.3,第二节 动能的概念及
7、其计算,二、质点系的动能,解题,先求链条的动能。可把链条看成由很多质点组成的，链条上各质点速度大小相等。虽然链条上个质点速度方向不相同，但因动能与速度方向无关，故链条的动能为,第二节 动能的概念及其计算,二、质点系的动能,第二节 动能的概念及其计算,二、质点系的动能,如图所示的均质滚动在水平面上滚动而不滑动，轮的半径为R，轮的重力为G，滚动中心的速度为vC。求滚轮的动能。,例15.4,第二节 动能的概念及其计算,二、质点系的动能,均质滚动轮作平面运动。因滚动轮在水平面上只滚动不滑动，故接触点Cp为瞬时速度中心，有=vc/R，均质滚轮对质心C的转动惯量为GR2/2g，代入式,解题,第三节 动能定
8、理,一、质点的动能定理,第三节 动能定理,二、平动刚体的动能定理,第三节 动能定理,三、定轴转动刚体的动能定理,上式表明：转矩M对刚体所作的功M等于转动刚体动能的增量。这个结论称为转动刚体的动能定理。该定理虽然是在匀变速转动的条件下引出的，但对非匀变速转动的刚体仍然适应。,第三节 动能定理,三、定轴转动刚体的动能定理,第三节 动能定理,三、定轴转动刚体的动能定理,如图所示绞车机构，初始时静止，电动机的驱动力矩M带动轴I转动，并经由齿轮带动轴II及卷筒转动，卷筒上缠绕不计重量的绳索将重物G向上提升：已知，轴I、轴II的转动惯量各为J1，和J2。卷筒半径为R，两齿轮的半径比i = r2/r1。试求
9、重物上升的加速度a。,例15.5,第三节 动能定理,三、定轴转动刚体的动能定理,解题,(1)选取研究对象。选取轴部分、轴部分及重物G组成的系统为研究对象。 (2)计算系统的动能。系统是从静止开始运动的，初始动能E0=0，设重物上升h时，其速度为v，轴鼓轮的角速度为 = v/R，轴齿轮的角速度为1=r2 2/r1=iv/R，则此时系统的动能E1为,第三节 动能定理,三、定轴转动刚体的动能定理,解题,(3)计算作用在系统上的功。重物G上升h时，鼓轮的转角大小2= h/R，齿轮I转角大小 。系统上的力只有重力G及转矩M作的功，作用在系统上的力的功为,第三节 动能定理,三、定轴转动刚体的动能定理,解题
10、,(4)列系统的质点系动能定理方程，求解未质量。根据动能定理方程式得 为了求重物的加速度a，可以把上式中的h看作变量，并求两端对时间t的导数，有,第三节 动能定理,三、定轴转动刚体的动能定理,例15.6,如图所示的均质等截面杆，重力为G，长为l，其A端点为固定铰链支承，B端点悬挂于绳索上，使杆位于水平位置。试计算当绳索剪断后，杆AB转到垂直位置时的角速度以及铰链A的约束力。,第三节 动能定理,三、定轴转动刚体的动能定理,解题,第三节 动能定理,三、定轴转动刚体的动能定理,解题,第三节 动能定理,三、定轴转动刚体的动能定理,解题,方向与法向加速度的方向相反，加在质心上；对形式上的平衡力系，列出平
11、衡方程,第四节 功率、效率的概念,一、功率,为了说明力作的功的快慢程度，需要引进功率的概念。力在单位时间内所作的功，称为功率，以P表示。它是衡量机器工作能力的一个重要指标。功率愈大，说明在给定的时间内所作的功多。如果力作的功的快慢是均匀的，设一个力在时间间隔t内作的功W为，则功率为,第四节 功率、效率的概念,一、功率,当一个力作的功的快慢不均匀时，上式只能表示平均功率。如在dt时间内力的元功是dW，则力的瞬时功率P为 即功率就是力所作的功随时间的变化率。,第四节 功率、效率的概念,一、功率,由于力的元功可表示为dW FdS，得 上式表明，力的功率等于力在速度方向的投影与速度的乘积。 力矩的功率
12、等于力矩与刚体转动角速度的乘积。力偶的功率也可以用上式计算，这时式中的M为力偶矩。 式表示功率、转速和力矩三者间的关系，在圆截面轴扭转中我们给出的就是这个关系式，在计算机械传动时经常用刀，应用时要注意式中的单位。,第四节 功率、效率的概念,二、 机械效率,工作机被原动机带动而工作时，由于相对运动的各部件间存在有摩擦阻力等原因，必然要损耗一部分功率，只能利用部分输入功率从事有效的工作，这部分功率称为有用功率；因摩擦等有害阻力所损耗的功率称为无用功率。 当机器稳定运动时，输入功率等于有用功率与无用功率之和。即，规定：机器的有用功率P1与输入功率P0之比值称为机械效率，用表示,第四节 功率、效率的概念,二、 机械效率,已知：龙门刨床在切削工作时作匀速运动，它的工作行程S = 3.6m，行进时间为t = 4.8s，此时切削力F = 31kN ，机械效率 = 78%，试求驱动刨床工作台所需电动机的功率。,例15.6,第四节 功率、效率的概念,二、 机械效率,解题,第四节 功率、效率的概念,二、 机械效率,例15.8,C6120A车床的主轴转速n = 42r/min时，其主切削力FZ = 14.3kN，工件直径d = 115mm。电动机到主轴的机械效率 = 76%。试求此时电动机的功率为多少？,第四节 功率、效率的概念,二、 机械效率,解题,
