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1、新编工程数学（第四版）课件 编著：赵文茹 王国廷 辽宁工程技术大学职业技术学院,大连理工大学出版社出版 2009.12,第一篇 线性代数,第一章 行列式 1.1 行列式的定义,1.1.1 二阶行列式 在中学数学里知道二元线性方程组，它的一般形式为,(1-1-1) 用消元法消去,，得到,同理消去,，得到,当,时，方程组(1-1-1)的解为,分母是由方程组中未知数的四个系数确定的，为了便于理解和记忆，引入二阶行列式的定义。,定义1 把符号,称为二阶行列式，由四个数排成两行两列（横排称行，竖排称列），它表示算式,，,即,(1-1-2),其中，,称为二阶行列式的元素，下标,是行列式的,的行指标 表示在
2、第 行；下标,是行列式的列指标，表示在第,列。,表明这一元素处在第,行第,列位置。二阶行,列式共有,个元素。我们把,到,用实线连接，称该实线为主对角线,到,用虚线连接，称该虚线为副对角线。于是二阶行列式的,值便是主对角线上两个元素之积减去副对角线上两个元素之积所得,的差，其计算规律遵循如图1-1所示的对角线法则。,图1-1,(1-1-2)右端的式子又称为二阶行列式的展开式。当所有的,都是数时，行列式的值是一个具提的数值，若其中有字母出现，则行列式的值是一个代数式。通常用字母表示行列式。 利用二阶行列式的概念，方程组(1-1-1)中 的分子也可以用二阶行列式表示，,若记,拿末，方程组(1-1-1
3、)的解可表示为,因为,是由方程组(1-1-1)中未知量的四个系数确定的二阶行列式，,故称,为方程组 (1-1-1)的系数行列式。而 分别是 的第1、2,列元素换成常数项所得到的行列式。,【例1】 计算下列行列式,（1）,（2）,解 (1）,=,（2）,=,【例2】 求解二元线性方程组,解 将方程组化为标准型,由于,因此方程组的解为,1.1.2 三阶行列式,与二阶行列式类似，引入三阶行列式定义。,定义2 把符号,称为三阶行列 式。它由,个元素,排成三行三列，它代表的是,这样一个算式，即,(1-1-3),(1-1-3)右端的式子称为三阶行列式的展开式。,由（1-1-3）式可见，三阶行列式共含6项，
4、每项均为选自不同行、不同列的三个元素的乘积再冠以正负号，其计算规律遵循如图12所示的对角线法则：图中每条实线（共三条）所连接的三个数的乘积前面加正号，每条虚线（共三条）所连接的三个数的乘积前面加负号，这六项的和就是三阶行列式的值。,图12,行列式值的实质就是不同行、不同列的元素乘积的代数和。,【例3】用对角线法则计算行列式,解,1.1.3,阶行列式,1.余子式和代数余子式,对角线法则只适用于二阶行列式和三阶行列式。为了研究四阶和四阶以上的更高阶行列式，我们先来考察二阶行列式和三阶行列式的关系。,由式（1-1-2）和式（1-1-3）可以得出,（1-1-4）,由此可见，三阶行列式等于它第一行每个元
5、素分别与一个二阶行列式的乘积的代数和（也称按第一行展开）。为了进一步了解这三个二阶行列式与原来三阶行列式的关系，我们引入余子式和代数余子式的概念。,在三阶行列式,中，把元素,所在的第,行和第,列划去后，剩下的元素保持原来相对位置,不变而构成的二阶行列式称为元素,的余子式，记作,。,例如在三阶行列式,中，元素,的余子式是在,中划去第一行和第一列后所,构成的二阶行列式,元素,的余子式是在,中划去第一行和第三列后,所构成的二阶行列式,。,若记,则,叫做元素,的代数余子,。,。,式。,例如,中元素,的代数余子式为,又如行列式,中元素-1的代数余子式为,应用余子式和代数余子式的概念，,式（1-1-4）可
6、以写成,由式（1-1-5）可以看出，,三阶行列式,的值等于第一行元素与其对应的代数余子式乘积之和。式（1-1-5）称为三阶行列式按第一行展开的展开式。我们已经定义了二阶、三阶行列式，又用二阶行列式定义了三阶行列式。按照这一规律，我们可用三阶行列式定义四阶行列式。依此类推，在已定义了阶行列式后，便可定义阶行列式。,2.,阶行列式,定义3 把符号,称为,阶行列式，由,个数,排成,行,列，,其中,表示位于,阶行列式,第,第,列的元素。,。,行、,列式阶行代表的是一个算式，具体为,当,时，,当,时，将行列式按第一行展开得,（1-1-6）,对于,阶行列式元素,的代数余子式,的定义与三阶行列式元素的,代数
7、余子式的定义相同。,阶行列式元素,的代数余子式,是,阶行列式。,例如上面的,阶行列式,中，,元素,的代数余子式为,【例4】计算四阶行列式,解 由定义3将行列 式按第一行展开,通过上面例题看出，行列式第一行的零元素越多，按第一行展开时计算就越简单。,【例5】 计算下三角行列式,解 由,阶行列式定义，依次将行列式按第一行展开，得到,把行列式,叫上三角行列式。,习题1.1,1计算下列行列式：,（1）,（2）,（3）,（4）,2证明：,3解线性方程组：,（2）,4解下列方程,（1）,（2）,5写出下列行列式中元素,的余子式及代数余子式，并计算该行列式的值。,6设,是行列式,中元素,的代数余子式，计算,
8、。,1.2 行列式的性质与计算,1.2.1 行列式的性质,设,阶行列式,将,的行换为同序号的列,（即将第,行换成第,列）后，得到新行列式,称为,的转置行列式。,行列式有如下性质：,性质1 行列式与它的转置行列式的值相等，即,。,例如二阶行列式,可见，,。,这个性质说明了行列式中行列地位的对称性。由于转置不改变行列式的值，因此对于行列式，凡是对于行成立的性质对于列也成立。,性质2 行列式的任意两行（列）互换，行列式的值仅改变符号。,例如，二阶行列式,将第1列与第2列互换得,通常情况下，我们用,表示行列式的第,行，,用,表示行列式的第,列，,交换,两行，,记作,，,交换,两列，记作,。,推论1 若
9、行列式某两行（列）对应元素相同，则行列式的值等于零。,证明 把行列式中对应元素相同的这两行（列）互换，据性质2有,，故,性质3 行列式中某一行（列）的所有元素乘以同一个数,等于用数,乘以行列式。,例如,把,的第1行各元素同乘以数,有,表示以数,乘以第,行各元素，,表示以数,乘以第,列各元素。,推论2 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。,【例1】 计算行列式,解,推论3 若行列式中某一行（列）的所有元素为零，则此行列式的值为零。性质4 若行列式中有两行（列）对应元素成比例，则此行列式的值为零。由推论2和推论1可以得此证明。,性质5 若行列式的某一行（列）的所有元素都
10、是两个数之和，则此行列式等于两个行列式的和，且这两个行列式除了这一行（列）以外，其余元素与原行列式的对应元素相同。,例如,【例2】 计算,解,=0+0=0,性质6 把行列式某一行（列）的各元素乘以同一个数后加到另一行（列）对应元素上去，行列式的值不变。,数,乘行列式中第,行（列）,加到第,行（列）上，记作,以三阶行列式为例，有,此性质可由性质5和性质4证得。,【例3】 计算行列式,解 应用性质6，有,=,将行列式化为三角行列式是行列式计算中常用的方法。,性质7 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对,应 的,代数余子式乘积之,或,和，即,上面两式分别称为,按第,行和,第,列展开，性质,7
11、也叫做,把行列式按任一行（列）展开定理。,【例4】 计算行列式,解 按第3行展开，得,利用性质7计算行列式时，可以选取零较多的那一行,（列）展开，,使行列式逐步降阶，从而,简化运算。,性质8 行列式某一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素,余子式乘积之和等于零，即,或,1.2.2 行列式的计算,我们可以对行列式的计算做如下总结,1计算二阶、三阶行列式时可用对角线法则（注意,对角线法则只适,用于二、三阶行列式）。,2,阶行列式的计算常用以下几种方法：,（1）按某行（列）展开, 如 例4。 （2）根据行列式的情况，利用行列,式的性质把行列式化为上,（下）,三角行列式，如例3。,（3）用行列式性质
12、，使行列式某行（列）只有一个非零元素，再利,用展开定理使行列式,降阶，可以简化计算，此种,方法也叫降阶法。,在利用行列式的性质将行列式简化时，不要拘泥于某种形式，要根据,行列式中元素的特点综合运用各种方法，,化为（2）或（3）的形式,求行列式,的,值。,【例5】 计算四阶行列式,解 用行列式的性质把某一行（列）的元素化为只有一个为非零,然后按此行(列)展开。,【例6】 计算行列式,解 该行列式的特点是每一行元素的和都等于同一个数6，于是把各列都加到第一列上去，提出公因子，再化为三角形行列式。,【例7】 计算行列式,解,此行列式称为四阶范德蒙行列式。按同样方法可求出 阶范德蒙行列式的值。（留给读
13、者自己做）。,习题1.2,1利用行列式的性质计算下列行列式,(1),(2),(3),(4),(5),2解方程,3.证明,(1),(2),1.3 克莱姆法则,现在我们来解决本章开始提出的问题。,设含有,个未知数,个线性方程组成的,元线性方程组为,（1-3-1）,它的系数,构成的行列式,称为线性方程组(1-3-1)的系数行列式。,当,时，,方程组(1-3-1)称为齐次线性方程组。,当,不全为零时，,方程组(1-3-1)称为非齐次线性方程组。,与二元线性方程组类似，(1-3-1)的解有如下定理。,定理1（克莱姆法则）如果线性方程组(1-3-1)的系数行列式,，,则它有唯一解,即,，其中,是将系数行列
14、式,中的第,列元素,对应地换为常数项,，而其余各列不变,阶行列式，即,所得到的,证明略。,【例】 求解线性方程组,解 因为系数行列式,根据克莱姆法则，该线性方程组有唯一解。下面分别计算行列式,所以,克莱姆法则揭示了线性方程组的解与它的系数和常数项之间的关系。,注意：用克莱姆法则解,元线性方程组的前提条件：,（1）线性方程组中方程的个数与未知量个数相等；,（2）方程组的系数行列式,对于齐次线性方程组,(1-3-2),显然,是（1-3-2）的解，此解称为零解。如果存在一,组不全为零的数是方程组（1-3-2）的解，则称其为齐次线性方程组（1-3-2）的非零解。,根据克莱姆法则有如下结论：,定理2 如
15、果齐次线性方程组(1-3-2)的系数行列式,，则其,只有零解；反之，如果齐次线性方程组(1-3-2)有非零解，则它的系数行列式,【例】,取何值时，齐次线性方程组,有非零解？,解 因为方程组的系数行列式,由定理2知，若此齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式,，即,解得,或,容易验证，当,或,时，齐次线性方程组确有非零解。,习题1.3,1用克莱姆法则解下列线性方程组；,2,取何值时，齐次线性方程组,（1）只有零解；（2）有非零解？,3已知抛物线,经过三点,，,求此抛物线方程。,本章学习指导,一、教学基本要求,1理解行列式的概念，了解几种特殊的行列式。,2掌握行列式的性质,能利用行列式的性质计算行列式。,3理解余子式、代数余子式的概念，能将行列式按行（或列）展开 。,4掌握克莱姆法则的条件、结论，并且能够应用其克莱姆法则解决相应的方程组问题。,二、考点提示,1行列式的性质。,2行列式的计算：,（1）化简行列式；,（2）判别行列式是否为零；,（3）利用按行（或列）展开行列式；,（4）利用性质6和性质7使计算简化。,3克莱姆法则,（1）克莱姆法则的条件和结论。,（2）解相应的方程组。,三、疑难解析,1.计算,阶行列式有哪些常用方法?,答,阶行列式的计算是本章的一个难点,如果直接使用行列式的定义不易求,解,常用的方法有化上（或下）三角形法、降阶法
