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1、新编经济应用数学（微分学 积分学）第五版课题函数（2学时）时间 年 月 日教学目的要求1、 复习集合、区间、邻域等概念及运算性质。2、 在复习函数概念的基础上，使学生牢记函数的性质。3、 理解反函数定义，会求反函数。重点理解函数的概念。难点掌握函数的性质。教学方法手段讲授为主，数形结合。主要内容时间分配一、 函数的概念 30分钟1、 函数的概念2、 函数的图形3、 函数的常用表示法4、 函数的分类二、 函数关系的建立 15分钟三、 函数特性 30分钟1、 有界性2、 单调性3、 奇偶性4、 周期性四、反函数 15分钟作业备注90.1.1函数预备知识：一、集合1、集合的概念具有某种特定性质的事物
2、的总体称为集合。构成这个集合的事物称为该集合的元素。通常用大写英文字母表示集合，用小写英文字母表示集合的元素。若元素是集合的元素，则记为，读作属于；若元素不是集合的元素，则记为，读作不属于；2、集合的分类由无限个元素构成的集合称为无限集；由有限个元素构成的集合称为有限集。3、集合的表示列举法即在 中按任意顺序、不遗漏、不重复地列出集合的所有元素。描述法 若是具有某种特征的元素的全体所构成的集合，则可记为4、集合之间的关系若集合的元素都是集合的元素，即若，必有，则称是的子集，记为或，读作包含于或包含。若，且，则称集合和相等，记为。由所研究的所有事物构成的集合称为全集，记为。不包含任何元素的集合称
3、为空集，记为。规定 空集为任何集合的子集。5、集合的基本运算设和是两个集合，由和的所有元素构成的集合，称为与的并，记为，即。设和是两个集合，由和的所有公共元素构成的集合，称为与的交，记为，即。设和是两个集合，由属于而不属于的所有元素构成的集合，称为与的差，记为，即。全集中所有不属于的元素构成的集合，称为的余集或补集，记为，即。6、集合的基本运算规律：交换律结合律【例1】下面是几个集合的例子：2007年在吉林地区出生的人构成一个集合（有限集）方程的根构成一个集合（有限集）全体奇数构成一个集合（无限集）抛物线上的所有点构成一个集合（无限集）【例2】由方程的根构成一个集合，可记为【例3】方程的根构成
4、一个集合全体奇数构成一个集合【例4】设则。【例5】常用的数集：自然数集 整数集 有理数集 实数集数集间关系分配律对偶律二、区间1、 区间的概念介于某两个实数之间的全体实数称为区间。这两个实数称为区间的端点。两端点间的距离（线段的长度）称为区间的长度。2、 区间的分类有限区间设、为两个实数，且，数集称为开区间，记为，即。类似地，有闭区间和半开半闭区间：，无限区间 ，特别地，全体实数的集合也可表示为无限区间。三、 邻域设与是两个实数，且，数集称为点的邻域，记为。其中，点叫做该邻域的中心，叫做该邻域的半径。若把邻域的中心去掉，所得到的邻域称为点的去心的邻域，记为，即。教学内容：一、 函数的概念1、
5、函数的概念设和是两个变量，是一个给定的非空数集。如果对于每个数，变量按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称是的函数，记作。其中，称为自变量，称为因变量，数集称为这个函数的定义域，也记为，即。对，按照对应法则，总有确定的值（记为）与之对应，称为函数在点处的函数值。因变量与自变量的这种相依关系通常称为函数关系。当自变量遍取的所有数值时，对应的函数值的全体构成的集合称为函数的值域，记为或，即。注：函数的定义域与对应法则称为函数的两个要素。两个函数相等的充分必要条件是它们的定义域和对应法则均相同。【例6】判断下面函数是否相同，解 不同，对应法则不同。不同，定义域不同。【例7】已知，求。解 【例8】求
6、下列函数的定义域： 解 解得，即定义域为解得，即解得，即2、 函数的图形对函数，若取自变量为横坐标，因变量为纵坐标，则在平面直角坐标系中就确定了一个点，当遍取定义域的每一个数值时，平面上的点集，称为函数的图形。若自变量在定义域内任取一个数值，对应的函数值总是只有一个，这种函数称为单值函数，否则称为多值函数。3、 函数的常用表示法表格法 自变量的值与对应的函数值列成表格的方法。图像法 在坐标系中用图形来表示函数关系的方法。公式法（解析法）自变量和因变量之间的关系用数学表达式（又称为解析表达式）来表示的方法。4、 函数的分类根据函数的解析表达式的形式不同，函数也可分为显函数 函数由的解析表达式直接
7、表示。隐函数 函数的自变量与因变量的对应关系由方程来确定。分段函数 函数在其定义域的不同范围内，具有不同的解析表达式。【例9】绝对值函数定义域，值域【例10】符号函数定义域，值域【例11】取整函数，其中，表示不超过的最大整数。 二、 函数关系的建立为解决实际应用问题，首先要将该问题量化，从而建立起该问题的数学模型，即建立函数关系。要把实际问题中变量之间的函数关系正确抽象出来，首先应分析哪些是常量，那些是变量，然后确定选取哪个为自变量，哪个为因变量，最后根据题意建立它们之间的函数关系，同时给出函数的定义域。 三、 函数特性1、 函数的有界性设函数的定义域为，数集，若存在一个正数，使得对一切，恒有
8、，则称函数在上有界。或称是上的有界函数。每一个具有上述性质的正数，都是该函数的界。若具有上述性质的正数不存在，则称在上无界，或称是上的无界函数。2、 函数的单调性设函数的定义域为。如果对于区间上任意两点及，当，恒有，则称函数在区间上是单调增加函数，如果对于区间上任意两点及，当，恒有，则称函数在区间上是单调减少函数。3、 函数的奇偶性设函数的定义域关于原点对称。若，恒有，则称为偶函数；若，恒有，则称为奇函数。4、 函数的周期性设函数的定义域为，如果存在常数，使得对一切，有，且，则称为周期函数，称为的周期。注：通常周期函数的周期是指其最小正周期。但并非每个函数都有最小正周期。【例12】判断函数的奇
9、偶性解 因所以为奇函数四、 反函数设函数的定义域为，值域为。对于值域中的任一数值，在定义域上至少可以确定一个数值与对应，且满足关系式。如果把作为自变量，作为函数，则由上述关系式可确定一个新函数（或），这个新函数称为函数的反函数。反函数的定义域为，值域为。相对于反函数，函数称为直接函数。注：即使是单值函数，其反函数也不一定是单值的。但如果在上不仅单值，而且单调，则其反函数在上是单值的。习惯上，总是用表示自变量，表示因变量，因此，的反函数常改写为（或）。在同一个坐标平面内，直接函数和反函数的图形关于直线是对称的。【例13】求函数的反函数。解 由解得即得到所求反函数小结：1、理解函数的概念。2、会建立函数模型。3、掌握函数性质。
