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1、第十三章 压杆稳定1 基本概念及知识要点1.1 基本概念理想受压直杆、理想受压直杆稳定性 、屈曲、 临界压力。1.2 临界压力细长压杆（大柔度杆）用欧拉公式计算临界压力（或应力）；中柔度杆用经验公式计算临界压力（或应力）；小柔度杆发生强度破坏。1.3 稳定计算为了保证受压构件不发生稳定失效，需要建立如下稳定条件，进行稳定计算： 稳定条件2 重点与难点及解析方法2.1临界压力临界压力与压杆的材料、截面尺寸、约束、长度有关，即和压杆的柔度有关。因此，计算临界压力之前应首先确定构件的柔度，由柔度值确定是用欧拉公式、经验公式还是强度公式计算临界压力。2.2稳定计算压杆的稳定计算是材料力学中的重要内容，
2、是本课程学习的重点。利用稳定条件可进行稳定校核，设计压杆截面尺寸，确定许用外载荷。稳定计算要求掌握安全系数法。解析方法：稳定计算一般涉及两方面计算，即压杆临界压力计算和工作压力计算。临界压力根据柔度由相应的公式计算，工作压力根据压杆受力分析，应用平衡方程获得。3典型问题解析3.1 临界压力例题13.1材料、受力和约束相同，截面形式不同的四压杆如图图131所示，面积均为3.2103mm2，截面尺寸分别为(1)、b=40mm、(2)、a=56.5mm、(3)、d=63.8mm 、(4)、D=89.3mm,d=62.5mm。若已知材料的E=200GPa，s=235MPa，cr=3041.12，p=1
3、00，s=61.4，试计算各杆的临界荷载。3mF2bbad0.7dD图131解压杆的临界压力，取决于压杆的柔度。应根据各压杆的柔度，由相应的公式计算压杆的临界压力。(1)、两端固定的矩形截面压杆，当b=40mm时 P 此压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力(2)、两端固定的正方形截面压杆，当a=56.5mm时所以sP 此压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力cr2=304-1.122=304-1.1292=200.9MPa(3)、两端固定的实心圆形截面压杆，当d=63.8mm时sP 此压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力(4)、两端固定的空心圆形截面压杆，当D=89.3mm，d=62
4、.5mm时s 此压杆为短粗杆，压杆首先发生强度破坏，其临界应力解题指导：1计算压杆的临界压力时，需要综合考虑压杆的材料、约束、长度、惯性半径，即需要首先计算压杆的柔度，根据柔度值，代入相应的公式计算压杆的临界压力。当 P 时 压杆为大柔度杆，用欧拉公式计算其临界应力；sP时 压杆为中柔度杆，用经验公式计算其临界应力；s 时 压杆为短粗杆，压杆将首先发生强度破坏。2由此例题可见，惯性半径越大,柔度越小,承载能力越强。例题13.2矩形截面杆如图132所示，杆两端用销钉连接，在正视图中，连接处允许压杆绕销钉在铅垂面转动，两端约束可简化为两端铰支。在俯视图中，连接处不允许压杆在水平面内发生转动，两端约
5、束视为两端固定。已知杆长L=2.3m 截面尺寸b=40mm h=60mm 材料的E=205GPa P=132 s=61，试求此杆的临界压力Fcr。FPFPFPFP图132解1若在正视图内失稳（铅垂方向）：1 , 2若在俯视图内失稳（水平面内）：0.5 , 所以，压杆在正视图失稳。3计算压杆的临界压力Fcr 用欧拉公式计算其临界应力解题指导：对于这类问题，需首先计算两个方向的柔度，判断压杆首先沿哪个方向失稳。例题13.3图13-3所示立柱长L=6m，由两根10号槽钢组成，试问a多大时立柱的临界荷载Fcr最大，并求其值。已知: 材料E=200GPa，P=200MPa。zyy0az0FP图133解1
6、惯性矩查型钢表可知，由两根10号槽钢组成的组合截面对形心主惯性轴的惯性矩分别为:当a值较小时，Iyz，压杆失稳时，以y轴为中性轴弯曲；当a值较大时，Iz y，压杆失稳时，以z轴为中性轴弯曲；2当立柱的临界荷载最高，压杆对z轴和y轴应有相等的稳定性。即：即3最大临界荷载Fcr 压杆的柔度iy=iz =i由于所以，P 压杆为大柔度杆用欧拉公式计算临界压力例题13.4所示工字钢直杆在温度t1 = 20时安装，此时杆不受力，已知杆长l = 6m，材料的P=132 , E = 200GPa，线膨胀系数=12.510-6 /。试问当温度升高到多少度时杆将失稳。FBFA图13-4解随着温度的升高，直杆在杆端
7、受到压力FAFB，当两端压力达到压杆的临界压力即：FAFBFcr时，压杆将失稳。1. 杆的工作压力由静不定结构的变形协调条件2压杆的临界压力P 压杆为大柔度杆。用欧拉公式计算临界压力3压杆失稳时，需要升高的温度值由 FAFBFcr3.2 稳定计算例题135： 钢杆AB如图135所示，已知的杆的长度lAB=80cm, ，经验公式，nst=2，试校核AB杆。图135解1杆AB的工作压力：分析梁CBD的受力，据其平衡方程可得FAB=159kN2杆AB的临界压力：压杆的柔度 用经验公式计算压杆的临界应力： 压杆的临界压力Fcr=crA=270kN3计算压杆的工作安全系数，进行稳定校核由压杆的稳定条件
8、所以，AB杆不安全。解题指导：请读者思考：若校核整个结构，如何求解？ 若由AB杆确定整个结构的许用外载荷，如何求解？例题13.6：材料相同的钢杆AB、AC，直径均为d=80cm, ，经验公式，nst=5，E=210GPa，试求许用外载荷FP。图136FP解1确定杆AB、AC的工作压力：由节点A的受力及平衡方程可得FAB=0.5 FP FAC=0.866 FP2计算由AB杆稳定条件确定的许用外载荷：AB杆的柔度 用欧拉公式计算压杆的临界应力：由压杆稳定条件 则许用外载荷FP139.2kN3计算由AC杆稳定条件确定的许用外载荷AB杆的柔度 用欧拉公式计算压杆的临界应力：由压杆稳定条件则许用外载荷F
9、P240.6kN4确定整个结构的许用载荷由稳定计算结果可知，结构的许用载荷为FP=139.2kN解题指导：对于这类题目，所确定的载荷要确保整个结构所有受压杆件匀不失稳。由于杆AB、AC所受压力和柔度均不相同，需要首先分别求出由两杆确定的各自许用外荷载，然后取其中较小的一个，做为整个结构的许用外载荷。例题13.7：两端为球铰的压杆，由两根等边角钢铆接而成，型钢的外形尺如图137所示。已知铆钉孔直径为23mm，压杆长度l=2.4m，所受外力FP800kN ，nst=1.48， ，经验公式，材料的许用应力=160MPa，试校核压杆是否安全。FPl图137解图137所示压杆有两种可能的失效形式：失稳：
10、整个压杆由直线形式的平衡变为曲线形式的平衡，局部截面尺寸变化对弯曲变形影响很小，个别截面上铆钉开孔对整个压杆的稳定性影响可忽略不计。因此，在压杆稳定计算中，采用未开铆钉孔时的压杆横截面尺寸（相应的面积称为“毛面积”，用A表示）；强度失效，在铆钉开孔截面，截面尺寸的削弱，会导致截面上的正应力增大，超过材料的许用应力。因此需要校核铆钉开孔处横截面上的正应力强度。在计算中要用开孔后的截面尺寸（其面积称为“净面积”，用A0表示）。综上所述，需要首先分别校核压杆的整体稳定和铆钉开孔处正应力强度，才能判断出压杆是否安全。1稳定校核 压杆失稳时，二等边角钢将作为一整体发生屈曲，并绕组合截面惯性矩最小的形心主
11、轴（z轴）转动其中Iz1、iz1和A1分别为单根角钢对z轴的惯性矩、惯性半径和横截面面积，可由型钢表中查得。 所以，用经验公式计算压杆的临界应力：代入稳定条件，进行稳定校核所以压杆稳定。2强度校核：组合截面在铆钉孔处因开孔而削弱，削弱后的净面积为：A0=228.910-420.0230.012=5.2810-3m2该截面上的正应力压杆强度安全3由上述稳定计算和强度计算可知，压杆安全。解题指导：1压杆稳定计算用毛面积，强度计算用净面积。2请读者思考：如果两根槽钢只在两端连接，这时上述稳定计算和强度计算会不会发生变化? 例题13.8 图138所示正方形桁架结构，由五根圆截面钢杆组成，连接处均为铰链
12、，各杆直径均为d40 mm，a1 m。材料的p=110，s=60，E200 GPa，经验公式为 ，nst1.8。试求结构的许可载荷。 图138解1计算各杆的受力值分别以节点A、B为研究对象，应用平面汇交力系平衡方程，同时考虑结构的对称性，可计算和确定出各杆的受力分别为FDB = FP（拉）由上述计算结果可知，杆AB、AD、BC、CD为压杆，应考虑的失效形式为失稳，需要进行稳定计算；杆BD为拉杆，应考虑的失效形式为强度失效，需进行强度计算。2稳定计算对于AB等压杆 用经验公式计算压杆的临界应力：由稳定条件3. 强度计算对于拉杆BD，FN = FDB = FP，由强度条件可得4结构的许可载荷由上述稳定计算和强度计算结果可知，结构的许用载荷为（a）例题13.9材料相同的梁及柱如图13-9（a）所示，竖杆为两根63635等边角钢（连结成一整体），承受均布载荷q = 24 kN/m，材料的许用应力=160MPa，E = 200 GPa，P=132, ，经验公式 ，nst2.8。试校核该结构。FRCFRCFAFBxAEDCBxMCMDME（b）（c）A图1391由C点的变形协调条件，计算多余未知力原结构
