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1、第3章 有限变形3.1 有限变形这时说的变形，除连续性条件外，没有其余任何条件。小变形：小位移，小转动，小应变，有限变形：大位移，大转动，大应变对于一个微小六面体：小变形下变为一个平行六面体 有限变形下仍变为一个平行六面体这一条件不变变形几何学方面来研究变形四个问题：1） 记录2） 什么办法来描述3） 怎么度量4） 有没有办法将变形分解3.2 物体的构形和坐标系时刻初始构形现时构形物体：连续介质，变形前用代表，变形后物体用代表：物体，物质点的集合,被始构形(material configuration)；：变形后的物体,现时构形(spatial configuration)，：物质点：空间点，
2、物质点在空间所占的位置。初始坐标系 现时坐标系 构形：每一瞬时与物质点对应的空间点的集合。瞬时，初始构形 ：初始构形，点的坐标（）：现时构形，（瞬时的构形），点的坐标（）全部采用直角坐标系3.3 描写物体运动和变形的方法1 Lagrange描述法用物质坐标作自变量（描述物体的运动和变形）研究物质点在不同时刻所对应的空间点（着眼点：跟踪物质点运动状况）2 Euler描述法用空间坐标作自变量（描述物体的运动和变形）研究空间点处对不同时刻流径这一空间的物质点（着眼点：跟踪在一个空间点上，不同时刻对应的物质点）（前者跟踪同一个人，不同晚上睡不同的床位，后者跟踪同一张床，不同晚上由不同的人去睡）位移点：
3、 （其中不随时间而变，也与无关）速度和加速度：分两种表述方法1） Lagrange法2） Euler法：（研究流体的流动等）流场物质导数=局部导数+迁移导数3.4 变形梯度变形前（方向、长度）变形后（方向、长度）有限变形：记录（构形），描述，度量（本节研究）物体的有限变形的研究，离不开一点的领域，或取一个线元。变形前线元：变形后线元：经历了一个长度的变化和方向的变化（它们的量都可能是很大的）1） Lagrange法：物质坐标自变量点：点：求： 表示和的关系（可见的重要性）称为物质变形梯度张量（称为“物质”的理由是物质坐标下的）。即 变形前后线元之间的关系（包含了长度和方向） （*）下面验证是一
4、个二阶张量类似即 为二阶张量，关系到两个坐标系，称为两点张量。对应于一个线性变换，（从（*）式看），包含了方向和长度的变换。由此可见，包含了全部的有限变形信息。（所以称为变形“梯度”）（各种不同的写法）2） Euler法：用空间坐标自变量，作参变量。点（与对应的物质点）：点（与对应的物质点）：（知道现在线元，倒回去查原来的线元）对应于一个由的线性变换。空间变形梯度张量：（以空间坐标为自变量）其实，与互逆，所以以定义。3.5 变形张量回顾变形梯度张量：包含了全部信息变形张量只研究其长度改变的信息（不包含方向改变）1） Lagrange描述法：作为自变量变形前的长度变形后的长度上述应该是已知的，可
5、求出的。则变形张量（称为Green变形张量） 为正定的（）为对称张量。已知变形梯度张量可求出变形张量。通过可直接算出长度的变化（优点）。2） Euler描述法：作为自变量变形后的长度： （作为已知的）变形前的长度：Cauchy变形张量通过变形梯度张量可求出变形张量。3.6 变形梯度张量的极分解变形梯度张量。（若）是一个可逆张量，即存在，则可写为： 或 右极分解 左极分解上述分解存在且唯一的，是正常正交张量，表示转动，所以记为，和是对称、正定张量。1右极分解的证明若 成立，且为正交张量，为对称正定张量。则 又 为正定的，对称轴，由可找到，且为正定、对称的。又 为正交张量。2右极分解的唯一性设 ，
6、由此可推得 3 左右极分解中的是相同的。 又 上式为一右极分解，因为右极分解是唯一的，则同时由上式可得：右伸长张量：左伸长张量和是相似张量。则 3.7 Lagrange标架和Euler标架通过这两个标架的学习了解的几何意义。 相当于一个变换。变形后线元；变形前线元1右极分解将先进行变换，再进行变换。正定对称二阶张量，对称张量，存在三个互相垂直的主方向，（）（正定）对应有三个主值（非负）Lagrange标架：作为基矢第一步：也按Lagrange标架分解。第二步： 即 又 则： （变换后仍为矢量）正交张量：有体内积性质，即，有为单位矢量，正交变换后的仍为单位矢量，但方向改变，且仍为三个互为正交的。
7、三个相垂直的方向Euler标架根据前面两步可知： 右伸长张量，转动张量。左极分解第一步：（保内性质）（长度不变，但投影到Euler标架上）第二步： 令Euler标架是的三个主方向，以作为基矢。设 则 和主方向不同，主值相等。（和是相似张量）两个极分解是同样的结果，只是伸长与转动的顺序不同。Lagrange标架：主方向 Euler标架：的主方向 既不固定在空间，也不固定在物体上，由变形来确定的标架。与是分别固定在空间与物体上的。3.8 有限变形的应变张量 已学过不是应变张量。小变形的应变张量应变定义：Hill研究上述定义有三个含义：的递增函数（变形增加，则应变增加）时，应变=0应变对的导数=1
8、（时）根据上述三条，推广Hill应变张量（有限变形）：为标架中的主应变，主应变是的函数。条件：a）是的递增函数b）时，c），当理由，当是小变形时，可与原来的理论相通。Seth应变张量： 取任意数满足Hill条件。Green应变张量：工程应变张量：对数应变张量：推广）Swainger应变张量；Almansi应变张量：有限变形中，应变的定义并不明确，都可用，到底用哪一个好？3.9 Green应变张量和Almansi应变张量线元长度公式Lagrange描述法：Euler描述法：1 Green应变张量：（也叫做Lagrange应变张量）采用Lagrange描述法。 Green应变张量分量2Almans
9、i应变张量（也叫做Euler应变张量）采用Euler描述法 Almansi应变张量分量3.10 用位移表示的Green应变张量和Almamsi应变张量位移矢：Lagrange描述法令物质坐标系和空间坐标系之间的转移张量则 故 对 求导：两边乘：同样，可得对于微小变形： 两者没有区别，一般用Lagrange描述法是一对称应变张量，有6个应变分量（三个线应变，三个角应变）在有限变形中，应变张量也是对称的，也有6个应变分量，但不是直接对应3个线应变和3个角应变，要通过一定的计算才能得出对应值。（参考：B.B.诺沃日洛夫：非线性弹性力学基础）3.11变形协调方程给定应变张量分量：或在线弹性理论中，有生
10、文南方程（6个协调方程）在有限变形中：变形协调方程：Green变形张量：又则：两边乘以，有即：定义：第二类Christoffel符号则：再求一次偏导数：则：又 在欧几里德空间中，应有：则：简记为： 称为变形协调条件（充分必要的）称为第二类RiemannChristoffel张量（4阶张量）第一类RiemannChristoffel张量： 也是变形协调的充分必要条件。81个协调方程中只有6个是独立的（为什么只有6个，其具有对称性）的对称性质：，3.12 体元与面元的变化三方向变形前的线元分别为：变形前体积变形后体积变形前体积：变形后体积：令 则：，（以前设：正定，可逆，这里得证）。面积变化原始面积矢 （变形前）其中任一线元，其高与面积构成初始体积现时面积矢（变形后）其中任一线元，其高与面积矢构成变形后体积则： 有： Nanson公式或：回顾：引伸：变形几何问题：问题：是弹性变形还是塑性变形？小变形：有限变形中：可否进行上述分解？有文献：E.H.Lee(1969),ASME,Trans Seienca E.JAM Vo.36提到：弹性变形是小变形，塑性变形是有限变形时，上述分解可用，但目前分析不清。
