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1、 矩阵在初等几何中的应用摘 要矩阵不仅是线性代数的一个重要研究对象,而且也是数学中一个极其重要的应用广泛的概念.本文应用矩阵的知识来探讨初等数学中的某些问题.例如,反射与旋转,伸缩与平移,投影与推移等等.通过一些例子归纳总结了矩阵方法的一些优点.最后简述了矩阵在其他一些数学学科的应用.关键词矩阵 初等几何 应用引言线性代数是大学最重要的基础课程之一. 在线性代数中,矩阵是一个主要研究对象,不但在线性方程组中运用到矩阵,还有其他各种各样的问题也都提出了矩阵的概念,并且这些问题的研究常常反应为有关矩阵的某些方面的研究,表面上完全没有联系的问题,归结成矩阵问题以后都是相同的1.一般而言,所谓矩阵方法
2、是指使用矩阵观点来看待问题,并用矩阵的语言描述并分析相关问题,最终解决问题2.在高中学过的一些内容如反射旋转和伸缩平移等等,本文将用矩阵的方法来分析这些初等几何问题,并给出相关例子.最后用矩阵的方法来解决一些具体生活实例. 一、矩阵在初等几何中的简单应用在初等几何中有一些简单的变换可以用矩阵来表示,例如：反射、旋转、伸缩、投影、推移等等.（一）反射将平面上任何一点变换到以直线为对称轴的对称点,则称此变换为平面的反射变换. 从中学的知识中知道,若以轴为对称轴,将点反射为点.（如图1）若用函数来表示此变换,点为函数内的点,则可表示为：,如果用矩阵乘法来表示,则此变换又可表示为：,此处的点以表示.
3、图1例 若将任意一点以轴为对称轴进行反射,分别用函数和矩阵的方法来表示. 若以轴为对称轴进行反射呢?解 以轴为对称轴时,若用函数方法来表示,设为函数中的点,则可表示为：,若用矩阵的方法来表示,则可表示为：,其中点以表示. 以轴为对称轴时,用函数的方法来表示,设为函数中的点,则可表示为：,若用矩阵的方法来表示,则可表示为：,其中点以表示. （二）旋转 将平面上任何一点绕原点旋转一个固定角,变换到另一点,此变换称为平面上的一个旋转变换.如果将原来的点坐标设为,旋转一个角以后,将所得的点的坐标设为.（如图2）图2而新旧坐标的关系如下： 将点变换到,好比是点不动而将坐标轴旋转一样.因此,也就是,. 如
4、果应用矩阵表示为,这里的点表示为,点表示为.如果用函数表示则为：,；用矩阵乘法则表示为：,.在这样的旋转变换下,所有的几何图形也都不会变形,只是位置变化而已.例2 令为将平面上任何一点绕原点旋转的旋转变换,设直线方程为,求直线经变换下得到的另一条直线的方程式.解 因为该变换是将直线上的点绕原点旋转,通过上面的分析可以将该旋转变换用矩阵表示为. 则我们可以取：上的任意两点和,则有；.因此过及两点. 通过两点式可以得到方程式为,即.例3 已知圆锥曲线方程为.经旋转后得到另一个曲线.求曲线的方程式.解 由题意得到=,故上面的旋转分析可得,.因此新方程式为. 化简为或.（三）伸缩 推移 投影若将平面上
5、任何一点变换成,此处、为两个正数,则此变换为伸缩变换.如果用函数来表示此变换则有：.假设现在存在一个变换为：,此变换将任何一点转换成,即横坐标放大两倍但纵坐标保持不变,这种变换又称为伸展.所表示的变换是将图形沿轴正方向放大两倍.（如图3）图3类似存在变换：,此变换将任何一点转换成,即横坐标不变但纵坐标缩小一半,这种变换又称为收缩.所表示的变换是将图形沿轴正方向缩短为原来的一半.若将平面上任何一点变换成,此处为一常数,则此变换称为一个推移变换.设存在变换为：,则所表示的变换为一推移变换.这一变换会将一个长方形区域向右推移成一个平行四边形区域.（如图4） 图4 若将平面上任何一点投影到一直线上,则
6、将此变换称为投影.设变换：,即为点投到轴上的投影变换,而所得的点即为投影后得到的点.同理存在变换：,即为点投到轴上的投影变换,而所得的点即为投影后得到的点.而点投到直线：上的投影则可以用变换来表示：.二、矩阵在一些复杂几何难题中的应用 在一些复杂的几何难题中,用其他办法会显得繁琐,而用线性代数的相关方法就可以使问题得到简便地解决.例4 一条马路上有8个车站（设起始站为,按次序设末站为）.今有一辆可载客11人的中巴由驶向,沿途各站可自由上下乘客.试证:在此8站中至少有两对(四个不同的）车站、,使得既没有乘客在站上而在站下(在前）,也没有乘客在站上而在站下(在之前）.证明 考虑汽车从驶向时车上的载
7、客情况,这时从前面站上车到后面站下车的乘客都在车上.我们用一个四阶矩阵来表示乘客的上下车情况,则有. 若有乘客从（=1,2,3,4）上而到（=5,6,7,8）下,记为,否则.若,则表示从站上来的乘客有人要从站下的,表示从站上来的乘客没有人要在站下来.由于中巴最多载客11人,故中其值为1的元素的个数不超过11个,亦即中的个数不少于5个,54,则他们不可能位于同一行,也不可能位于同一列上.因此至少有两个“0”位于不同行不同列上.则至少有两对(四个不同的）车站、,使得既没有乘客在站上而在站下(在前）,也没有乘客在站上而在站下(在之前）.例5 已知边长为4的正方形纸板被画成16块等大小的边长为1的小正
8、方形.其中最左上角和最右下角被剪去,则还剩下如图5所示的14个正方块.试证：无论如何剪裁,均不可能刚好裁成7块同大小的矩形（长为2宽为1）.图5证明 如图5的14个正方形,我们分别用来表示,其中,表示小正方形所在的行,表示小正方形所在的列,如果非零表示该小正方形存在.则且,其余元素非零,在此用一个四阶矩阵代表上表的情况,则. 由于长为2宽为1的矩形是由两个相连的小正方形组成,则仅有下面两种情况:（1）可由同行相连的和组成;（2）可由同列的相连的两行和组成.考虑两种情况下两元素的下标和,（1）为,（2）为,均为奇数,则若能让能够剪裁成7块同大小的长为2宽为1的矩形,其下标和应该仍为奇数.而中非零
9、的14个元素下标和为：是偶数.故无论如何剪裁均不可能刚好裁成7块同大小的长为2宽为1的矩形.例6 某省对城乡人口流动做年度调查,发现每年农村居民的移居城镇,而城镇居民的流入农村.假如城乡总人口保持不变,并且人口流动的这种趋势继续下去,那么最终该省的城镇人口与农村人口的分布是否会趋于一个“稳定状态”?解 设该省人口总数为,令第年城镇人口为,农村人口为,则一年以后设城镇人口为，农村人口为，且，.写成矩阵形式为.则两年以后有,十年以后有,那么年以后有.事实上,它给出了一个差分方程,现在来解这个差分方程. 首先,年之后的分布,即可化简为.注意到 .则最终在总人口不变的情况下城镇人口与农村人口的分布会趋
10、于一个“稳定状态”. 上面几个例子用初等数学的方法并不容易解决,而用矩阵的方法则显得简便易懂.三、矩阵在其他方面的应用矩阵的应用牵涉无尽,比如纯粹数学的泛函分析、群表示论、线性微分差分方程、运筹学的线性规划、图论以及概率论中的多元分析等,可以说矩阵在数学的各个方面都有精彩的表现3,4.下面举一个用矩阵求解线性方程组的例子.例7 解该线性方程组 解 .，故原方程组有惟一解，. 在初等数学中解这个线性方程组会用消元法，这里用矩阵表示出该线性方程组，再利用矩阵的转换来解出这个线性方程组.结束语随着科学的发展,我们不仅要研究单个变量之间的关系,还要进一步研究多个变量之间的关系,各种实际问题在很多情况下
11、可以线性化,而由于计算机的发展,线性化了的问题又可以计算出来,矩阵正是解决这些问题的有力工具5. 矩阵所体现的几何观念与代数方法之间的联系,从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等,对于强化人们的数学训练,增益科学智能是非常重要的.参考文献1 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数.第三版.北京:高等教育出版社,2007.162-1622 王林生.关于线性代数的核心内容,方法和能力.湖北大学成人教育学院学报,2005,23(2).75-803 李治,孙逊.线性代数方法在概率论问题中的渗透.科教文汇,2008,(3).197-1974 张圣梅.线性代数方法在初
12、等数学中的应用.数学通报,2007,46(10).56-565 焦琳.浅议线性代数教学中的应用问题.科技资讯,2006.126-127Matrix in Elementary GeometryXia ChunyuAbstract Matrix is not only an important object of study in linear algebra, but also a very important concept widely used in mathematics. By use the knowledge of matrix, this paper discusses som
13、e elementary geometry problems, such as reflection and rotation, expansions and compressions, projection and so on. Moreover, it is introduced some application of matrix in this paper. Finally, it outlines the application of matrix in other mathematical disciplines.Key words matrix, elementary geometry, application
