§6.3二元一次不等式组.与简单的线性规划问题

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1、第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)二元一次不等式表示平面区域: 在平面直角坐标系中,平面内所有的点被直线Ax+By+C=0分成三类: 满足Ax+By+C_0的点; 满足Ax+By+C_0的点; 满足Ax+By+C_0的点.,=,(2)二元一次不等式表示平面区域的判断方法: 直线l:Ax+By+C=0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分,当点在 直线l的同一侧时,点的坐标使式子Ax+By+C的值具有_的符号,当 点在直线l的两侧时,点的坐标使Ax+By+C的值具有_的符号.,相同,相反,(3)线性规划中的基本概念:,不等式(组

2、),不等式(组),解析式,一次,可行解,最大值或最小值,最大值,最小值,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界,特殊点定域: 直线定界:不等式中无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线; 特殊点定域:若直线不过原点,特殊点常选原点;若直线过原点,则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.,(2)利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域: 对于Ax+By+C0或Ax+By+C0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方; 当B(Ax+By+C)0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方. (3)最优解和可行解的关系: 最优解必定是可行解,但可行

3、解不一定是最优解.最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个.,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:特殊点法,平移法. (2)数学思想:数形结合思想. (3)记忆口诀:线定界,点定域,一画二移三求.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)不等式Ax+By+C0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方.( ) (2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域.( ) (3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( ) (4)目标函数z=ax+by(b0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.( ),【解析】(1)错误,不等式Ax+By+C0表示的

4、平面区域不一定在直线Ax+By+C=0的上方,因为(Ax+By+C)B0不一定成立. (2)错误,当二元一次不等式组中的不等式所表示的区域没有公共部分时,就无法表示平面上的一个区域. (3)正确,当线性目标函数转化成的直线和某个边界重合时,最优解无穷多.,(4)错误,目标函数z=ax+by(b0)中, 是直线ax+by-z=0在y轴上的截距. 答案:(1) (2) (3) (4),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修5P86T3改编)不等式组 表示的平面区域是( ),【解析】选C.x-3y+60表示直线x-3y+6=0左上方部分,x-y+20表示直线x-y+2=0及其右下方部分. 故不

5、等式组表示的平面区域为选项C所示部分.,(2)(必修5P93习题3.3A组T2改编)已知x,y满足 则z=-3x+y的最大值为 . 【解析】由题意画出平面区域为:,当直线-3x+y=0经过点A时,z取得最大值. 由 可得 即点A(1,3). 所以zmax=-3x+y=-31+3=0. 答案:0,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2014新课标全国卷)设x,y满足约束条件 则z=2x-y的最大值为( ) A.10 B.8 C.3 D.2 【解析】选B.画出可行域,可知可行域为三角形,经比较斜率,可知目标函数z=2x-y在两条直线x-3y+1=0与x+y-7=0的交点(5,2)处,取得最大值

6、z=8.故选B.,(2)(2014天津高考)设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=x+2y的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】选B.作出可行域如图,结合图象可知,当目标函数通过点(1,1)时,z取得最小值3.,(3)(2014湖南高考)若变量x,y满足约束条件 且z=2x+y的最小值为-6,则k= . 【解析】如图,画出可行域,l0:2x+y=0,当l0:2x+y=0运动到过点A(k,k)时,目标函数取得最小值-6,所以2k+k=-6,k=-2. 答案:-2,考点1 平面区域面积的问题 【典例1】(1)(2015北京模拟)在平面直角坐标系xOy中,不等式组 表示图形的面

7、积等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(2015扬州模拟)已知不等式组 表示的平面区域 为D,若直线y=kx+1将区域D分成面积相等的两部分,则实数k的值是 .,【解题提示】(1)作出不等式组对应的平面区域,根据平面区域的图形即可计算对应的面积. (2)画出不等式组表示的平面区域,直线y=kx+1过定点(0,1),利用面积相等确定直线经过的区域边界上的点,然后代入求k值.,【规范解答】(1)选B.不等式组对应的平面区域如图,对应的区域为正方形ABCD, 其中A(0,1),D(1,0), 边长AD= 则正方形的面积S= =2, 故选B.,(2)区域D如图中的阴影部分所示,直线y=k

8、x+1经过定点C(0,1),如果其把区域D划分为面积相等的两个部分,则直线y=kx+1只要经过AB的中点即可.,由方程组 解得A(1,0). 由方程组 解得B(2,3) 所以AB的中点坐标为 代入直线方程ykx1得， 解得 答案：,【互动探究】若把本例题(2)的条件改为 所表示的平面 区域被直线 分为面积相等的两部分，则k的值是_.,【解析】由图可知，平面区域为ABC边界 及内部， 恰过 将区域平均分成面积相等的两部分，故过 BC的中点 答案：,【规律方法】平面区域面积问题的解题思路 (1)求平面区域的面积: 首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问

9、题,从而再作出平面区域; 对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可. (2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解.,【变式训练】(2015汕头模拟)已知约束条件 表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.-2,【解析】选A.先作出不等式组 对应的平面区域，如图：,要使阴影部分为直角三角形， 当k=0时，此三角形的面积为 所以不成立， 所以k0，则必有BCAB， 因为x+y-4=0的斜率为-1， 所

10、以直线kx-y=0的斜率为1，即k=1, 故选A,【加固训练】(2014郴州模拟)已知点P(x，y)满足 则点Q(x+y，y)构成的图形的面积为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.设点Q(u，v)，则x+y=u，y=v， 则点Q(u，v)满足,在uOv平面内画出点Q(u，v)所构成的平面区域如图， 它是一个平行四边形，一边长为1，高为2， 故其面积为21=2故选B,考点2 简单的线性规划问题 知考情 线性规划问题以其独特的表达形式成为不等式考查的重要内容,在线性规划中,通过最优解求最值或求参数的取值范围问题是高考的热点和重点,高考中常以选择题、填空题的形式出现.,明角度 命题

11、角度1：已知约束条件求目标函数的最值 【典例2】(2014广东高考)若变量x,y满足约束条件 且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则mn=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【解题提示】画出可行域，标出边界点，目标函数对应动直线的斜率为2.,【规范解答】选B. 如图,可行域是以 B(1,1),C(2,1)为顶点的等腰直角三角形， 所以当动直线z=2x+y经过点C(2,1)时取得最大值3，经过点B(1,1)时取得最小值3，所以mn=6.,命题角度2：已知目标函数的最值，求参数的取值或取值范围 【典例3】(2014北京高考)若x,y满足 且z=yx 的最小值为-4，则k的值为( ) A

12、.2 B.-2 C. D. 【解题提示】作出可行域，向右下平移l0:y-x=0判断最小值.,【规范解答】选D.如图，作出可行域，向右下平移l0过点A时，z 取 最小值，此时 所以 解得,命题角度3：已知目标函数的最优解的个数求参数 【典例4】(2014安徽高考)x,y满足约束条件 若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( ),【解题提示】作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则目标函数和其中一条直线平行,然后根据条件即可求出a的值. 【规范解答】选D.由线性约束条件可得其 图象如图所示,由图象可知直线z=y-ax经 过AB或A

13、C时取得最大值的最优解不唯一, 此时a=2或-1.,【一题多解】解答本题,还有以下解法: 选D.画出可行域,如规范解答中图所示,可知点A(0,2),C(2,0), B(-2,-2),则z(A)=2,z(C)=-2a,z(B)=2a-2. 要使对应最大值的最优解有无数组, 只要z(A)=z(B)z(C)或z(A)=z(C)z(B)或z(B)=z(C)z(A), 解得a=-1或a=2.,悟技法 1.利用可行域求线性目标函数最值的方法 首先利用约束条件作出可行域,根据目标函数找到最优解时的点,解得点的坐标代入求解即可. 2.利用可行域及最优解求参数及其范围的方法 利用约束条件作出可行域,通过分析可行

14、域及目标函数确定最优解的点,再利用已知可解参数的值或范围.,3.利用可行域求非线性目标函数最值的方法 画出可行域,分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得最值.,通一类 1.(2015天津模拟)设变量x，y满足约束条件 则目标函数z=x-2y的最大值为( ),【解析】选B.由约束条件 作出可行域如图， 由z=x-2y，得 由图可知，当直线 过可行域内 点A时直线在y轴上的截距最小，z最大 联立 解得 即A(1，0)所以目标函数z=x-2y的最大值为1-20=1 故选B,2.(2015杭州模拟)若x，y满足约束条件 且z=kx+y取得最小值时的点有无数个，则k=( ) A

15、.-1 B.2 C.-1或2 D.1或-2,【解析】选D.作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分). 由z=kx+y,得y=-kx+z, 若k=0,此时y=z,此时z只在B处取得最小值,不满足条件.,若k0,则目标函数的斜率-k0.平移直线y=-kx+z, 由图象可知当直线y=-kx+z和直线y=2x-2平行时,此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个,此时-k=2,即k=-2. 综上,k=1或k=-2.故选D.,3.(2015枣庄模拟)已知实数x，y满足约束条件 则 的最小值是( ) A.-2 B.2 C.-1 D.1,【解析】选D.作出不等式组对应的平面区域如图： w 的几何意义是区域内的点 P(x，y)到定点A(0，-1)之间的斜率，由图象 可知当P位于点D(1，0)时， 直线AP的斜率最小，此时 的最小值为 故选D,4.(2014浙江高考)当实数x,y满足 时，1ax+y4恒成立，则实数a的取值范围是_.,【解析】作出不等式组 所表示的区域，由1ax+y4，由图可知， a0且在(1,0)点取得最小值，在(2,1)点取得最大值，所以a1, 2a+14，故a的取值范围为 答案：,考点3