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1、第四章 期权定价理论,因其推导过程极其复杂，有人将Black和Shcoles推导的期权定价公式（B-S模型）称为“火箭技术”；而在该公式发表时，世界上首家期权交易所芝加哥期权交易所尚未成立，在某种意义上，正是因为理论研究的成熟推动了金融衍生工具的革命。 期权在复合各种形态的资产收益时有很高的灵活性，B-S模型的应用范围早已超越了期权定价本身，几乎所有形式的金融衍生证券及公司债务，都可以用B-S模型及其变形进行估价。,第一节 期权定价理论概述,一、期权的概念和分类 1、期权的概念 2、期权的分类 （1）根据期权持有者购入或出售标的资产的权利划分，可以分为看涨期权和看跌期权 （2）根据期权到期日不
2、同可以分为欧式期权和美式期权 （3）根据标的物的不同，期权可以分为实物期权、股票期权、指数期权、外汇期权、期货期权等，其中股票期权是目前在场内交易规模和种类最多的一类期权。 （4）按照期权的内在价值划分，可以分为实值期权、虚值期权、平价期权 二、期权定价理论发展过程 三、主要代表人物简介,第二节 B-S期权定价模型,一、Black-Scholes 期权定价模型的假设条件 二、布朗运动 在股票期权定价的研究中，布朗运动经常被用来描述股票的价格运动过程。布朗运动最初是由英国生物学家Brown于1827年研究花粉粒子在液体表面做“无规则运动”的物理现象时提出的。,布朗运动是一种具有连续状态空间和连续
3、时间参数的一个随机过程，具体定义如下：若一个随机过程S(t) , t 0满足： （1）S(t) 是独立增量过程； （2）存在s，t 0，S(s+t)-X(s)N(0，c2t)即S(s+t)S(s)是期望为0，方差为c2t 的正态分布； （3）S(t) 是关于t 的连续函数。 则称S(t) , t 0是布朗运动或维纳过程，记为B(t) ，当c = 1时称其为标准布朗运动，记为W(t) 。 若随机过程S(t) , t 0满足：S (t) =eB(t) ，则称过程S(t) , t 0为几何布朗运动，其中B(t) 为布朗运动。,若随机过程S(t) , t 0满足：S (t) =t+dB(t)， 为常数
4、， B(t) 为布朗运动，称过程S(t) , t 0为带有漂移的布朗运动， 为漂移系数。将其写成微分形式，可得：dS (t) = d t + dB(t) 将其进行推广如下： dS (t) = dt + dB(t) 其中 为扩散系数。当 与 不为常数，而是时间t 与S (t) 的函数时，可得更加一般情况下的随机微分方程：dS (t) =(t, S (t)dt+ (t, S (t)dB (t) 此随机微分方程正是用于描述股票价格变化的一类随机方程，称之为伊藤过程。股票价格的运动过程用随机微分方程表示如下： 设S(t) 表示股票在t 时刻的价格，则S(t+ t)S(t)为t 时间内股票价格的变化量；
5、dS(t)表示股票价格X (t) 在t 时刻的微分，即股票价格瞬时的变化量，具体表示如下： 当t0时，dS(t) =limS(t+ t)- S(t) 。,在t 时间内股票的收益率可以下式表达：,dS(t) = S(t)dt + S (t)dz,三、B-S微分方程 假设股票价格S遵循一般的维纳过程:S=St+Sz dS = Sdt + S dz 假设f是依赖于S的衍生证券的价格。变量f一定是S和t的某一函数，因此由伊藤定理可得： 式4.1、4.2的离散形式为 S=St+Sz,选择某种股票和衍生证券的证券组合就可以消除维纳过程 恰当的证券组合应该是： -1： 衍生证券 股票,=rt,四、B-S定价
6、公式 在风险中性世界里，欧式看涨期权到期日的期望价值为：Emax(ST一X，0),则欧式看涨期权的价格C为：,C=e-r(T-t)Emax(ST一X，0),C=SN(d1)-Xe-r(T-t)N(d2) 4.11,五、风险中性定价 公式4.11有一个关键的性质，即方程中不包含任何受投资者风险偏好影响的因素，出现在方程中的变量为股票当前价格、时间、股票价格方差和无风险利率，这些变量均独立于风险偏好。 因为若B-S方程中不存在风险偏好，则在对衍生工具进行定价时，可以采用任何一种偏好类型，进一步而言，可以假设所有投资者都是风险中性的。在一个所有投资者都是风险中性的世界中，所有证券的预期收益率均可视为
7、无风险利率r，因为风险中性的投资者并不要求对其所承担的风险予以补偿；且其期望值是用无风险利率贴现可获得的任何现金流的现值。所以，风险中性的假设在很大程度上简化了衍生证券的价格分析过程。,式4.11可变形为： C= e-r(T-t)SN(d1)er(T-t)-XN(d2) N(d2)表示在风险中性世界中期权执行的概率，所以XN(d2)是执行价格乘以支付执行价格的概率。SN(d1)er(T-t)是如下变量的期望值：即在风险中性世界中，当STX时，该变量为ST，其他情况下该变量均为0。这说明了B-S定价公式中各项目的含义，并说明其与风险中性估值一致。,第三节 二叉树定价方法,一、二叉树模型的假设 二
8、、单期二叉树模型 股票期初价格为S，欧式买权的初始价格为C；在第一期结束时，当股票价格上涨至Su时，欧式买权价格上涨至Cu；当股票价格下跌至Sd时，欧式买权的价格下跌为Cd，如图4-1所示。,图4-1 单期二叉树中的股票价格和衍生证券价格,欧式买权到期(第一期期末)的价值为： Cu=max(0，Su一X) Cd=max(0，Sd一X) 在S、u、d、x已知的情况下，就可以计算出Cu、Cd。 构建一个投资组合，包含H股的股票多头及一个衍生证券空头。H是为了构造一个无风险对冲，对每一个卖空的期权头寸投资者所应持有的股票数目，该数据随时间变化，这意味着利用期权和标的股票来保持一个无风险对冲时，需要定
9、期调整所持有的股票数量。,投资组合在期初0时价值为：HS一C； 当股价上涨到Su时，一期后，即t时组合价值为：HSu一Cu； 当股价下跌到Sd时，一期后，即t时组合价值为：HSd一Cd; 依据无风险套利原则，当该组合无风险时，即到期时无论股价如何变动，投资组合的价值不变，则有HSu一Cu= HSd一Cd，可以推出4.12,以r表示无风险利率，则必存在式4.13： 将式4.12带入式4.13得到4.14:,三、N期二叉树模型 当期权的有效期为Nt（N2）时，欧式买权的二叉树模型的定价公式为：,图4- 2 N期二叉树中的股票价格和衍生证券价格,四、风险中性估值,在推导公式4.14时，并未对股票价格
10、上升和下降的概率做出任何假设，但是会很自然地将该公式中的p理解为股票价格上升的概率，于是1-p则为股票价格下降的概率。进而，可看做是衍生证券的预期收益。依照这种对p的理解，公式4.14可以表达为：当前衍生证券的价值是其未来预期值，以无风险率贴现的值。 当股票价格上升的概率为p时，在时刻T股票的预期价格ST为：E(ST)=pSu+(1-p)Sd， 即：E(ST)=pS(u-d)+ Sd，将式4.15带入之，得到：E(ST)=Sert。 这说明，股票价格以无风险利率增长，设定股票价格上升的概率为p，相当于假设物品收益率为无风险利率，也即假设一个风险中性世界。进而，式4.14说明：衍生证券的价值是其预期收益在风险中性世界中按无风险利率贴现的值。,
