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1、3.2.1 几类不同增长的函数模型,通过一些实例,来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性,学习目标,互动交流,探求新知,例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：,回报的累积值,方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多 回报10元；,方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番。,请问，你会选择哪种投资方案呢？,1.考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之外,还得考虑什么?,想一想：,方案一：每天回报40元；,我来说,想一想：,2
2、.本题中涉及哪些数量关系?如何利用函数描述这些数量关系?,我来说,设第x天所得回报是y元,则方案一可用函数y=40(xN*)进行描述;方案二可以用函数y=10x(xN*)进行描述;方案三可以用函数 进行描述。,想一想：,3.怎样去研究这三个函数,才能找到最佳的方案呢?,要对三个方案作出选择,就要对它们的增长情况进行分析,用计算器计算出三种方案所得回报的增长情况,列表如下：,我来说,0 0 0 0 0 0,0 0 0 0,10 10 10 10 10,10 10 10 10,0.4 0.8 1.6 3.2 6.4,12.8 25.6 51.2 107374182.4,我想问,根据所列的表格中提供
3、的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识?,我来说,方案一每天的回报不变;方案二、三每天的回报都在增加,且方案三随x的增加每天的回报越来越大,比方案二要大得多。,我想问,作出三个方案的图象看看?,图112-1,我想问,根据以上分析,你认为该作出何种选择?,从问题1可知,考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之外,还得考虑回报的累积值.你能把前11天回报的累积值算出来吗?,累计回报表,我想问,结论:,投资8天以下（不含8天）,应选择第一种投资方案；投资810天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。,解决实际问题的一般步骤是什么?,例题的启示,解
4、决实际问题的步骤：,实际问题,读懂问题,抽象概括,数学问题,演算,推理,数学问题的解,还原说明,实际问题的解,例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？,我想问,本题中涉及了哪几类函数模型?实质是什么?,本例涉及了一次函数、对数函数、指数函数三类函数模型,实质是比较三个函数的增长情况。,我来说,
5、我再问,怎样才能判断所给的奖励模型是否符合公司的要求呢?,我来说,要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元,以及奖励比例是否超过25%进行分析,才能做出正确选择。,解:借助计算机作出三个函数的图象如下:,对于模型y=0.25x,它在区间10,1000上递增,当x(20,1000)时,y5,因此该模型不符合要求。,对于模型 ,由函数图象,并利用计算器,可知在区间(805,806)内有一个点 满足 ,由于它在10,1000上递增,因此当 时,y5,因此该模型也不符合要求。,对于模型 ,它在区间10,1000上递增,而且当x=1000时, ,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求。,再计算按模型 奖
6、励时,奖金是否不超过利润的25%,即当x10,1000时,是否有,成立。,令 ,x10,1000,利用计算机作出函数f(x)的图象,由图可知它是减函数,因此 f(x)f(10)-0.31670 即,所以,当x10,1000时,说明按模型3奖励,奖金不超过利润的25%。 综上所述,模型 确实符合公司的要求。,问题提出,1.指数函数y=ax (a1)，对数函数 y=logax(a1)和幂函数y=x n (n0)在区间（0，+）上的单调性如何？,2.利用这三类函数模型解决实际问题，其增长速度是有差异的，我们怎样认识这种差异呢？,探究（一）：特殊幂、指、对函数模型的差异,对于函数模型 ：y=2x, y
7、=x2, y=log2x 其中x0.,思考2:对于函数模型y=2x和y=x2，观察下列自变量与函数值对应表：,当x0时，你估计函数y=2x和y=x2的图象共有几个交点？,思考3:在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置关系如何？请画出其大致图象.,思考4:根据图象，不等式log2x2xx2和 log2xx22x成立的x的取值范围分别如何？,思考5:上述不等式表明，这三个函数模型增长的快慢情况如何？,探究（二）：一般幂、指、对函数模型的差异,思考1:对任意给定的a1和n0，在区间 (0,+)上ax是否恒大于xn? ax是否恒小于xn?,思考2:当a1，n0时，在区间(0,+)上, ax与xn的大小
8、关系应如何阐述？,思考3:一般地，指数函数y=ax (a1)和幂函数y=xn(n0)在区间(0,+)上，其增长的快慢情况是如何变化的？,总存在一个 ，当x 时，就会有,思考4:对任意给定的a1和n0，在区间 (0,+)上,logax是否恒大于xn? logax是否恒小于xn?,思考5:随着x的增大,logax增长速度的快慢程度如何变化? xn增长速度的快慢程度如何变化？,思考6:当x充分大时,logax(a1)xn与(n0)谁的增长速度相对较快？,总存在一个 ，当x 时，就会有,思考7:一般地，对数函数y=logax(a1)和幂函数y=xn(n0) 在区间(0,+)上，其增长的快慢情况如何是如
9、何变化的？,思考8:对于指数函数y=ax(a1)，对数函数 y=logax(a1)和幂函数y=xn(n0)，总存在一个x0，使xx0时,ax,logax,xn三者的大小关系如何？,思考9:指数函数y=ax (0a1)，对数函数y=logax(0a1)和幂函数y=xn(n0),在区间(0,+)上衰减的快慢情况如何？,总存在一个 ，当x 时， 就会有,结论,一般地,对于指数函数 和幂函数,通过探索可以发现,在区间(0,+)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定变化范围内, 会小于 , 但由于 的增长快于 的增长,因此,总存在一个 ,当 时,就会有,同样地,对于对数函数 和幂函数 ,在区间(0,+)上
10、,随着x的增大, 增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与x轴平行一样,尽管在x的一定变化范围内, 可能会大于 ,但由于 的增长慢于 的增长,因此,总存在一个 ,当 时,就会有,综上所述,在区间(0,+)上,尽管 , 和 都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次“上,随着x的增大, 的增长速度越来越快,会超过并远远大于的 增长速度,而 的增长速度则越来越慢.因此,总会存在一个 ,当 时,就有,随堂练习:P101练习,小结,实际 问题,读懂问题,将问题 抽象化,数学 模型,解决 问题,基础,过程,关键,目的,几种常见函数的增长情况：,作业:P107习题3.2 T1、2,再见,教材及辅导用书购买：https:/ 资料下载：,
