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1、第十九章 系统估计,本章讲述的内容是估计联立方程组参数的方法。包括最小二乘法LS、加权最小二乘法WLS、似乎不相关回归法SUR、二阶段最小二乘法TSLS、加权二阶段最小二乘法W2LS、三阶段最小二乘法3LS、完全信息极大似然法FIML和广义矩法GMM等估计方法。 在估计了联立方程组的参数后就可以利用不同的解释变量值对被解释变量进行模拟和预测，将在第二十三章作详细介绍。,19.1 理论背景,19.1.1 系 统 迄今为止我们讨论的都是单一方程的经济计量模型。单方程计量经济模型是用单一方程描述某一经济变量与影响该变量变化的诸因素之间的数量关系。所以，它适用于单一经济现象的研究，揭示其中的单向因果关
2、系。但是，经济现象是极为复杂的，其中诸因素之间的关系，在很多情况下，不是单一方程所能描述的那样简单的单向因果关系，而是相互依存、互为因果的，这时，就必须用一组方程才能描述清楚。我们称这些经济现象为经济系统。 经济系统并没有严格的空间概念。国民经济是一个系统，一个地区的经济也是一个系统，甚至某一项经济活动也是一个系统。例如我们进行商品购买决策，由于存在收入或预算的制约，在决定是否购买某一种商品时，必须考虑到对其他商品的需求与其他商品的价格，这样，不同商品的需求量之间是互相影响、互为因果的。那么，商品购买决策就是一个经济系统。 联立方程系统就是一组包含未知数的方程组。利用一些多元方法可以对系统进行
3、估计，这些方法考虑到了方程之间的相互依存关系。,以一个由国内生产总值(除掉净出口)（Y）、居民消费总额（C）、投资总额（I）、政府消费额（G）和短期利率（r）等变量构成的简单的宏观经济系统为例，如果政府消费额和短期利率由外部给定，并对系统内部其他变量产生影响，就国内生产总值、居民消费和投资来讲，是互相影响并互为因果。居民消费和投资取决于国内生产总值，但反过来又影响国内生产总值。所以就无法用一个方程描述它们之间的关系，就需要建立一个由多个方程组成的方程系统。例如，可以建立如下的模型： （19.1） 其中，前两个方程是行为方程，第三个方程表示国内生产总值在假定进出口平衡的情况下，由居民消费、投资和
4、政府消费共同决定，是一个衡等方程，也称为定义方程。这就是一个简单的描述宏观经济的联立方程模型。,19.1.2 变 量 在联立方程模型中，对于其中每个方程，其变量仍然有被解释变量与解释变量之分。但是对于模型系统而言，已经不能用被解释变量与解释变量来划分变量。对于同一个变量，在这个方程中作为被解释变量，在另一个方程中则可能作为解释变量。对于联立方程系统而言，将变量分为内生变量和外生变量两大类，外生变量与滞后内生变量又被统称为前定变量。 内生变量是具有某种概率分布的随机变量，它的参数是联立方程系统估计的元素，内生变量是由模型系统决定的，同时也对模型系统产生影响。内生变量一般都是经济变量。外生变量一般
5、是确定性变量。外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚拟变量。滞后内生变量是联立方程模型中重要的不可缺少的一部分变量，用以反映经济系统的动态性与连续性。在联立方程模型（19.1）中，C, I , Y 为内生变量，外生变量G，r 和滞后内生变量Ct-1，It-1一起构成前定变量。,19.1.3 结构式模型 根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间直接关系结构的计量经济方程系统称为结构式模型。联立方程模型（19.1）就是一个结构式模型。在结构方程中，解释变量中可以出现内生变量。将一个内生变量表示为其他内生变量、前定变量和随机误差项的函数形式，被称为
6、结构方程的正规形式。具有g个内生变量、k个前定变量、g个结构方程的模型被称为完备的结构式模型。在完备的结构式模型中，独立的结构方程的数目等于内生变量的数目，每个内生变量都分别由一个方程来描述。 一般的联立方程系统形式是： (19.2) 这里 是一个内生变量向量， 是外生变量向量， 可以是序列相关的扰动项向量。估计的任务是寻找参数向量 的估计量。,19.1.4 参数估计方法 EViews提供了估计系统参数的两类方法。一类方法是使用前面讲过的单方程法对系统中的每个方程分别进行估计。第二类方法是同时估计系统方程中的所有参数，这种同步方法允许对相关方程的系数进行约束并且使用能解决不同方程残差相关的方法
7、。 虽然利用系统方法估计参数具有很多优点，但是这种方法也要付出相应的代价。最重要的是在系统中如果错误指定了系统中的某个方程，使用单方程估计方法估计参数时，如果某个被估计方程的参数估计值很差，只影响这个方程；但如果使用系统估计方法，这个错误指定的方程中较差的参数估计就会“传播”给系统中的其它方程。 这里，应该区分方程组系统和模型的差别。模型是一组描述内生变量关系的已知方程组，给定了模型中外生变量的信息就可以使用模型对内生变量求值。 系统和模型经常十分紧密地一起使用，估计了方程组系统中的参数后可以创建一个模型，然后对系统中的内生变量进行模拟和预测（见第23章）。,19.2 系统估计方法,EView
8、s将利用下述方法估计方程组系统的参数。系统中方程可以是线性的也可以是非线性的，还可以包含自回归误差项。 下面的讨论是以线性方程所组成的平衡系统为对象的，但是这些分析也适合于包含非线性方程的系统。若一个系统，含有M个方程，用分块矩阵形式表示如下： (19.3) 这里yi 是T 维向量，Xi 是Tki 矩阵，i 是 ki 维的系数向量，i=1, 2, . , M误差项 的协方差矩阵是MTMT的方阵V。我们简单的将其表示为： (19.4),在标准假设下，分块系统残差的协方差阵为： (19.5) 式中算子 表示克罗内克积(Kronecker Product)，简称叉积注，有的模型残差方差的结构不满足标
9、准假设。首先，不同方程的残差可能是异方差的，但是他们不同期相关， (19.6) 注 设 , ，定义A与B的克罗内克积(简称叉积) 为 显然， 是 阶矩阵，是分块矩阵，其第 块是 。,其次，不同方程除了异方差还可能是同期相关的。我们定义MM的同期相关矩阵 ，它的第i行第j列的元素 ，如果残差是同期不相关的，若ij，则 ，如果残差是异方差且同期相关的，则V 可以写成： (19.7) 最后，更一般的情况是存在异方差、同期相关的同时，残差是自相关的。最一般的残差的方差矩阵应写成： (19.8) 这里， 是第i个方程和第j个方程的自相关矩阵。,19.2.1 普通最小二乘法（Ordinary Least
10、Squares , OLS） 这种方法是在联立方程中服从关于系统参数的约束条件的情况下，使每个方程的残差平方和最小。如果没有这样的参数约束，这种方法和使用单方程普通最小二乘法估计每个方程式是一样的。 在协方差阵被假定为 时，最小二乘法是非常有效的。 的估计值为： (19.9) 估计值的协方差阵为： (19.10) 其中，s2系统残差方差估计值。,19.2.2 加权最小二乘法(Weighted Least Squares , WLS) 这种方法通过使加权的残差平方和最小来解决联立方程的异方差性，方程的权重是被估计的方程的方差的倒数，来自未加权的系统参数的估计值。如果方程组没有联立约束（参数、异方
11、差），该方法与未加权单方程最小二乘法产生相同的结果。 加权最小二乘法的估计值为： (19.11) 其中 是 的一致估计, 是残差方差的估计值， (19.12) 系数协方差阵的估计量为： (19.13) 当残差不存在同期相关和序列相关而只存在异方差时，加权最小二乘法是有效的，并且方差的估计是一致的。如果方程的参数之间没有限制，加权最小二乘法和普通的最小二乘法估计的结果是一样的。,该方法也称作多元回归法，既考虑到异方差性也考虑到不同方程的误差项的相关性。对联立方程协方差阵的估计是建立在对未加权系统的参数估计基础上的。注意到因为EViews考虑了联立方程间的约束，所以可以估计更为广泛的形式。 当方程
12、右边的变量X全部是外生变量，残差是异方差和同期相关的，误差协方差阵形式为 时，使用SUR方法是恰当的。系数 的SUR估计值： (19.16) 这里 是元素为 的 的一致估计。,19.2.3 似乎不相关回归(Seemingly Unrelated Regression , SUR),如果第j个方程含有AR项，EViews估计下面方程： 这里， 是独立的，但方程之间存在同期相关，我们可以把两个方程联合成一个非线性方程： (19.17) 每次迭代时，EViews第一步迭代用非线性最小二乘法并计算出 ，然后构造出 的估计，元素为： 运用非线性广义最小二乘法（GLS）完成估计过程的每次迭代，直到估计的系
13、数和加权矩阵全都收敛时就结束迭代过程。,19.2.4 二阶段最小二乘法(Two-Stage Least Squares , TSLS) 系统二阶段最小二乘法方法（STSLS）是前面描述的单方程二阶段最小二乘估计的系统形式。当方程右边变量与误差项相关，但既不存在异方差，误差项之间又不相关时，STSLS是一种比较合适的方法。EViews在实施联立方程约束同时，对未加权系统的每个方程进行二阶段最小二乘估计，如果没有联立方程的约束，得到的结果与未加权单方程的最小二乘（TSLS）结果相同。 二阶段最小二乘法（TSLS）是单方程估计法，它适合于当方程右端的变量 X 中含有内生变量的情况。系统的第 j 个方
14、程可以写为： (19.18) 或等价的写为： (19.19) 式中 ， ， 和 。Y 是内生变量矩阵，X 是外生变量矩阵。,在第一阶段，我们用所有的外生变量 X 来对方程右端的内生变量 Yj 做回归并得到拟合值 (19.20) 在第二阶段，用 和 对 做回归得到 (19.21) 其中， 。 19.2.5 加权二阶段最小二乘法(WTSLS) 该方法是加权最小二乘法的二阶段方法。当方程右边变量与误差项相关并且存在异方差但误差项之间不相关时，W2LS是一种比较合适的方法。EViews首先对未加权系统进行二阶段最小二乘，根据估计出来的方程的方差求出方程的权重，如果没有联立方程的约束，得到的一阶段的结果
15、与未加权单方程的最小二乘结果相同。,加权二阶段最小二乘法（TSLS）是在第二阶段如下应用了权重： (19.22) 加权矩阵的元素用通常的方法从未加权二阶段最小二乘法得到： 如果选择用迭代法估计加权矩阵，每次用当前的系数和残差值计算出 。 19.2.6 三阶段最小二乘法(Three-Stage Least Squares , 3SLS) 当方程右边变量与误差项相关并且存在异方差，同时残差项相关时，3LSL是有效方法。因为二阶段最小二乘法是单方程估计方法，没有考虑到残差之间的协方差，所以，一般说来，它不是很有效。三阶段最小二乘法是一个系统估计方法，先初步估计出模型的系数，然后形成权重，并用权重重新
16、估计出系数。它比较类似于上面讲的似乎不相关（SUR），只是右端含有内生变量。,三阶段的前两个阶段同二阶段最小二乘一样。在第三阶段，我们用一种类似于似乎不相关的手法把可行广义最小二乘法（FGLS）应用到模型上。似乎不相关用普通的最小二乘法得到方程间协方差的估计 ，但是这个估计值在方程右端含有内生变量的时候不是一致估计值，而三阶段最小二乘法从二阶段得到的残差来获得 的一致估计： (19.23) 其中 的元素为： (19.24) 如果选择迭代法求权数，则用当前的系数和残差计算下一步的 。,19.2.7 完全信息极大似然法 (Full Information Maximum Likelihood , FIML) 在同期误差项假定为联合正态分布的情况下，FIML估计出似然函数
