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1、复习引入,线段公理： 两点之间，线段最短.,垂线段性质： 垂线段最短.,B,问题1：如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？,两点之间,线段最短, ,(一)：两点在一条直线异侧,已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。,P,连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。,思考？ 为什么这样做就能得到最短距离呢？,根据：两点之间线段最短.,如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？,P,所以泵站建在点P可使输气管线最短,应用,问题3,如图，牧马人从A地出发，到一条笔
2、直的河边 l 饮马，然后到B地牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？,思考： 你能把这个问题转化 为数学问题吗？,A,B,l,l,当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？,分析：,A,B,l,如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点， 如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 的距离的和最短？,联想：,两点之间，线段最短.,？,l,（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？ （2）我们能否把A、B两点转化到直线l 的异侧呢？ 转化需要遵循的原则是什么？ （3）利用什么知识可以实现转化目标？,分析：,l,如下左图，作点B关于直线 l 的对称点B . 当点C在直线 l
3、 的什么位置时，AC与CB的和最小？,如上右图，在连接AB两点的线中，线段AB最短. 因此，线段AB与直线 l 的交点C的位置即为所求.,l,作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 点B； （2）连接AB，与直线l 相交 于点C 则点C 即为所求,探索新知,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,(二)两点在一直线同侧,在直线 l 上任取另一点C ， 连接AC 、BC 、B C 直线 l 是点B、B的对称轴， 点C、C在对称轴上， BC=BC，BC=BC AC+BC=AC+BC=AB 在ABC中，AB AC+
4、BC， AC+BC AC+BC， 即AC+BC最小,l,证明：如图.,若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小,探索新知,追问 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C（与点C 不重合），证明AC +BC AC +BC？这里的“C”的作用是什么？,问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短,练习,请你自己动手 试一试！,A,C,作法： 作点A关于街道的对称点A., 连接AB,交街道于点C.,点C的位置即为所求.,归纳,3.如图，A为马
5、厩，牧马人某一天要从马厩 牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河 边饮马，然后回到马厩. 请你帮他确定这 一天的最短路线.,（一点在两条直线内部）,转化为数学问题,你能转化为数学问题吗？ 请写出已知和求作.,已知：如图，在l1、l2之间有一点A.,求作：分别在l1、l2上确定一点M、N， 使AM+MN+NA最小.,思维障碍,点A在l1、l2之间，AM+B只能是折线，无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，怎么办？,图形转化,我们能否把A点转化到l1、l2的外侧呢？ 转化需要遵循的原则是什么？,不能改变AM和BM的长,你采用什么图形变换可以实现转化目标？,轴对称,解决问题,如图，作A关于l和的
6、对称点A1、， 连接A1交l于M点，交于点连接AM和， 则AM+B最小.,因此，每天这样走的路线最小.,（三）一点在两相交直线内部,证明,A、A1关于l对称，、关于对称,AM=A1M，AM1=A1M1,AM+=A1M+=A,AM1+M1N1+AN1AMMN+AN,在四边形A1M1中，11M1N1+A2N1A1A2,11M1N1+A2N1 A1M+MN+A2N,在l上另任取一点M1在上另任取一点，连接AM1、A1、和B1.,，,如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B，请画出最短路径. 作法： 1.作点A关于直线 MN 的对称点点C, 2. 作点
7、B关于直线 ON 的对称点点D, 3.连接CD分别交直线MN、ON于点G、H， 则AG+GH+BH最短,M,N,O,B ,A,G,H,（四）两点在两条直线内部,A/,B/,P,Q,问题5,（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）,思考： 你能把这个问题转化 为数学问题吗？,如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么折线AMNB在什么情况下最短呢？,分析：,a,b,由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.,分析：,如左
8、图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A，使AA等于河宽，则AA=MN，AM=AN，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小？,参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.,如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A，使AA等于河宽，连接AB交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.,a,b,解：,另任意造桥MN， 连接AM、BN、AN.,由平移性质可知， AMAN，AMAN， AAMNM N.,AM+MN+BNAA+AB， AM+MN+BNAA+AN+BN.,在ANB中，由线段公理知AN+BN AB，,AM +MN +BN AM+MN+BN.,证明：,a,b,归纳,小结归纳,转化,轴对称 变换,平移 变换,两点之间，线段最短.,教材及辅导用书购买：https:/ 资料下载：,
