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1、第4章 中值定理与导数的应用,证明是论证的手段，而不是发明的手段.实验、观察、归纳、类比和猜测在发明中具有重要的作用. 通过实验和观察产生猜测，通过验证和归纳产生猜想，通过类比产生猜想，虽然并非每一个猜想都是真理，但它却是激起我们创造性思维的火种，是帮助我们从知识的“源”领域跨越到一个未知的“目标”领域的桥梁，是我们发现真理进入新的科学领域的必经之路.,一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理,第4.1节 中值定理,1.极值定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,注（1）函数的极值点一定是区间内部的点； （2）区间的端点不可能成为函数的极值点； （3）
2、极值是局部概念，极值是小范围的最值； （4）极大值不一定大于极小值.,一、罗尔定理,看右图，函数连续，且两端点处的函数值相等，除端点外处处有不垂直于x 轴的切线，在C点和D点函数值有什么特点？在C点和D点函数的切线有何特点？,观察：,2.费马引理,结论：C点最大值，D点最小值；切线水平（切线的斜率为零）.,费马（Fermat）引理,通常称导数等于零的点为函数的驻点.,3.罗尔(Rolle)定理,几何解释:,罗尔(Rolle)定理,例如,证,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,又例如,例1,证,由介值定理知，,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,二、拉格朗日中值定理,拉格朗日(Lagrange)中值定理：,几何解释:,证,分析:,弦AB方程为,作辅助函数,拉格朗日中值公式,拉格朗日中值公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,微分中值定理,推论1,推论2,例2,证,例3,证,由上式得,所以,，即,三、柯西中值定理,几何解释:,证,作辅助函数,所以,例4,证,分析:,结论可变形为,
