§6.4二阶线性微分方程解的结构

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1、高 等 数 学,河北工业职业技术学院,主讲人 宋从芝,本讲概要,二阶线性微分方程的概念 二阶线性齐次微分方程解的结构 二阶非齐次线性微分方程解的结构,6.4 二阶线性微分方程及其解的结构,为二阶线性微分方程.,时, 称为二阶线性非齐次微分方程;,时, 称为二阶线性齐次微分方程.,一. 二阶线性微分方程的概念,复习 一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,二. 二阶线性齐次微分方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,(叠加原理),定理1,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解。,但是,则,为解决通解的判别

2、问题,下面引入两个函数的线性相,关与线性无关概念.,定义 若两个函数,线性相关；,线性无关。,常数，,的比满足,则,若,则,定理2,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解, 则,就是该方程,例如, 方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,的通解，其中C1和C2是任意常数。,设 是二阶线性非齐次微分方程,的一个特解,Y 是对应的线性齐次微分方程的通解,定理3,则,是二阶线性非齐次微分方程的通解。,二. 二阶线性非齐次微分方程解的结构,例如 方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,定理4 设,分别是方程,的特解,则,是方程,的特解. (非齐次方程之解的叠加原理),例1,个解,求此方程满足初始条件,的特解 .,解,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,小结 作业 习题6.4 1 3,1.二阶线性齐次微分方程的解的结构 2.二阶非齐次线性微分方程的解的结构,Thank You !,