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1、第二章 线性方程组,第一节 消元法,第二节 n维向量,第三节 向量组的秩,第四节 矩阵的秩,第五节 线性方程组解的一般理论,一、引例,某城市交通管理部门为了制定四条单行道交通流量控制方案， 给出如下的每天交通高峰时路段交通流量图,300,300,300,100,100,500,600,400,A,B,C,D,x1,x2,x3,x4,图2.1,第一节 消元法,其中每一路段的车流量数（单位：辆/小时）及其方向,分别用一个数及箭头表示,四个路段的待定车流量数 ，,表示所考虑的,表示四个十字路口,为了使四个路口不发生车辆拥堵现象，必须保持每个路,口进出的车辆数平衡于是我们可以得到线性方程组,这就是上述
2、交通流量问题的数学表达式,除了交通流量问题,还有不少实际问题可以用线性方程组描 述其数量关系，如电流回路分析以及投入产出经济模型等,二、线性方程组 根据第一章的讨论，线性方程组,(2.1),可以写成 其中系数矩阵 常数列 未知量列 增广矩阵,(2.2),如果 中至少有一个不为零，那么(2.1)称为非齐次 线性方程组；,满足方程组(2.1)的 元有序数组 称为方程组（2.1）的一个解 方程组（2.1）的所有解组成的集合称为方程组（2.1）的解集 方程组（2.1）的解集可能是空集，此时方程组（2.1）无解 如果方程组有解，那么称它是相容的；如果方程组无解，那么 称它不相容如果两个方程组有相同的解集
3、，那么称它们是等 价的方程组,例如, 设有方程组 (1) , (2) , (3) .,否则那么(2.1)称为齐次线性方程组,容易验证，方程组（1）与（2）有解，从而它们是相容的； 方程组（3）无解，从而它是不相容的虽然方程组（1） 与（2）都有解，但是它们的解的个数不一样：方程组 （1）有唯一的解 而方程组（2）有无穷多解 其中 为任意数,也可以验证方程组 与方程组（1）有相同的解集，即它们是等价的方程组,二、高斯消元法 对于一般的线性方程组，所要讨论的问题是：线性方程组 相容的条件；当线性方程组相容时，研究解的性质并且给出求 解的方法我们先从一些例子来说明用消元法求解线性方程组 的一般过程,
4、例1 解线性方程组,解 第一步 使第一个方程中,的系数为1,与第四个方程的位置，,交换第一个方程,可得,第二步 把第一个方程以下的各方程中的 消去第二个方程 减去第一个方程 , 第三个方程减去第一个方程 ，第四个方程减去第二个方程的倍，可得,第三步 使第二方程中的系数为1第二个方程加上第三方程后再乘以（1），可得,第四步 把第二个方程以下的方程中的 都消去第三 个方程加上第二个方程的4倍，第四个方程减去第二个方程 的3倍，,第五步 把第三个方程以下的方程中的 消去第四 个方程加上第三个方程，可得,第六步 用“回代”方法求解经第五步后得到的方程组(2.4) 与方程组(2.3)等价由方程组(2.4
5、)的第三个方程得 ，代入 第二个方程得 ；再把 代入第一个方 程可得于是，,可得,(2.4),方程组(2.3)的解为,于是，方程组(2.3)的解为 .,例1中方程组(2.4)称为阶梯形方程组一般地，一个阶 梯形线性方程组应该满足如下两个条件： （1）如果方程组中某一方程的各项系数全为零，那么 它下方的所有方程（如果存在）的各项系数全为零； （2）如果方程组中某一方程中至少有一项的系数不为 零，设第一个系数不为零的项是第 项，那么此方程下 方的所有方程（如果存在）的前 项的系数全为零 例如线性方程组,与,都是阶梯形方程组,上述的消元过程中，我们对线性方程组施行了下列三种变换： （ 1） 交换两个
6、方程的位置； （ 2） 以非零数 k 乘一个方程； （ 3） 把某一个方程的 k 倍加到另一个方程上,容易证明任意一个线性方程组经过若干次初等变换后得 到的方程组与原方程组等价；并且，任意一个线性方程组一 定可以经过若干次适当的初等变换（如类似于例1各步使用的 初等变换）得到一个阶梯形的方程组,在例1中，我们实际上已经给出了一种求解线性方程组的一般方法：对已知的线性方程组施行若干次适当的初等变换，使它变为等价的阶梯形方程组，从而达到求解的目的这种求解线性方程组的方法称为高斯(Gauss)消元法,这三种变换称为线性方程组的初等变换,三、利用矩阵初等行变换解线性方程组 在例1的消元过程中，我们对方
7、程组进行的初等变换 实际上只对方程组中未知量的系数与常数项进行运算，未 知量并未参与运算因而对方程组施行的初等变换可以 用相应的矩阵的变换来表示,首先写出例1中方程组对应的增广矩阵,第一步 交换 的第一行与第四行的位置， 得,第二步 在 中，第二行减去第一行，第三行减去第一行，第四行减去第一行的2倍，得,第三步 在 中，第二行加上第三行后再乘以（ ），得,第四步 在 中，第三行加上第二行的4倍，第四行减去第二行的3倍，得,；,；,；,第五步 在 中，第四行加上第三行，得,这正是例1中最后一个方程组（阶梯形方程组）对应的增广矩阵 ，称为行阶梯形矩阵,一 一 般 地，一个行阶梯形矩阵应该满足以下两
8、个条件： （ (1）如果某一行元素全为零，那么它下方的所有行（如果存 在)元素也全为零； （ (2）如果某一行元素不全为零，并且第一个不为零的元素位 于第 列，那么它下方的所有行（如果存在）的前 个元素 全为零,定义1 下列三种变换称为矩阵的初等行变换：,(1) 交换两行的位置(交换第,两行,记作,),(2) 以非零数,乘某一行（以,乘第,行,记作,）;,(3) 把某一行的,倍加到另一行上（把第,行的,倍加到第,行上，记作,）,例如 矩阵,与,都是行阶梯形矩阵,不是行阶梯形矩阵,总结上述的矩阵变换过程，定义下列三种矩阵的初等行变换,而矩阵,三种初等行变换都是可逆的，并且其逆变换是同一类型的初
9、等行变换：变换 的逆变换就是它自身；变换 的逆变换为 （或记作 ）；变换 的逆变换为 为 ，（或记作 ）,任意矩阵 经过有限次初等行变换可以化为行阶梯 形矩阵，其消元的一般过程如下： 如果 是零矩阵，那么它已经是行阶梯形矩阵 如果 不是零矩阵，可以设它的左起第一个非零列为第 列,分三个过程（如有需要的话），对 施行初等行变换，得到矩阵,（1）施行若干次适当的初等行变换，使 A 的第 列的第行元素为1； （2）施行若干次第三种初等行变换，使矩阵的第 列除第1行元素外，其余元素全为零； (3) 施行若干次第一种初等行变换，使矩阵的零行（元素全为零的行）位于矩阵的最下方（可以有若干个零行） 如果 仍
10、不是行阶梯形，划去 的前 列及第 1行得子块 ,对 重复以上三个消元过程.如此重复最多 次就可以 将 化为行阶梯形矩阵,对于线性方程组，我们先对它的增广矩阵施行若干次初等行变换使它化为行阶梯形矩阵，再写出这个行阶梯形矩阵对应的 阶梯形方程组并用“回代”法求解，就可以得到原方程组的解这就是利用矩阵的初等行变换解线性方程组的一般方法,例2 解线性方程组 ,解 对方程组的增广矩阵 依次施行下列初等行变换，使它 化为行阶梯形矩阵 ,这个矩阵的最后一行除最后一个元素不为零外其余元素 都为零，它对应一个矛盾方程, 因此，原方程组无解,例3 解方程组,解,对方程组的增广矩阵,依次施行下列初等行变换，使,它化
11、为行阶梯形矩阵,最后一个矩阵已是行阶梯形矩阵，它对应的方程组是,从最后一个方程可得,其中,可取任意实数把,代入第二个方程，得到, 再把,，,代入第一个方程，得到,令,，得方程组的解为,其中，,是任意数此时，方程组有无穷多个解,例4 解线性方程组, 解 对方程组的增广矩阵,依次施行以下初等行变换，使,它化为行阶梯形矩阵,这个矩阵是行阶梯形矩阵，它对应的方程组是,用回代方法得原方程组的解, 此时，方程组有唯一解,现在我们研究一般的线性方程组解的三种不同情况 设线性方程组, (2.5),我们对它的增广矩阵施行若干次初等行变换，使它化 为行阶梯形矩阵,， (2.6),其中, (2.7),它对应的线性方
12、程组为,情形1 (2.7)式中，,即阶梯形矩阵（.）,的最后一个非零行除最后一个元素不为零外其余元素,都为零此时，方程组(2.7)是一个矛盾方程组，无解,因此线性方程组(2.5)也无解,情形2 (2.7)式中,，,且,即矩阵(2.6)的任一行,都不可能是最后一个元素不为零而其余元素都为零的情形，,并且矩阵(2.6)的非零行的行数等于方程组未知量的个数,此时由方程组（2.7）的最后一个方程可,解出 唯一的值，,并经过逐次回代可求得其余未知量,从而，线性方程组（2.5）有唯一的解,情形3 （2.7）式中,且,即矩阵(2.6)的,任一行都不可能是最后一个元素不为零而其余元素都为零的,情形，并且矩阵(
13、2.6)的非零行的行数小于方程组未知量的个数,从而，方程组（2.5）及（2.7）与下述方程组等价,此时，未知量,任取一组值，例如,应用情形2的方法，可得未知量,确定的一,组值,于是,为方程组(2.5)的一个解由未知量,取值的任意性，线性方程(2.5)有无穷多个解,在(2.8)式中，未知量,可以自由,取值，所以称为自由未知量，而未知量,的值依赖于,的取值,显然情形3的方程组(2.7)的自由未知量的个数为,，其中,为方程组未知量的个数，,的增广矩阵化成的行阶梯形矩阵中非零行的行数,为由方程组,在线性方程组（2.5）中令,可得齐次线性方程组,，便,总是方程组(2.9)的解（称为方程组(2.9)的零解
14、），,(2.9),由于,故齐次线性方程组(2.9)总是相容的,根据上面的讨论，,对方程组(2.9)只可能出现情形或者情形3.如果出现,情形2,那么方程组(2.9)有唯一的解,即它没有非零解；,如果出现情形3，那么方程组(2.9)有无穷多个解，,即它有非零解于是，我们可以得到如下定理,定理1 对齐次线性方程组(2.9)的系数矩阵施行有限 次初等行变换，使它化为行阶梯形矩阵S那么， 方程组(2.9)没有非零解的充分必要条件是S中非零行 的行数等于方程组(2.9)的未知量的个数；等价地，方 程(2.9)有非零解的充分必要条件是S中非零行的行数 小于方程组(2.9)的未知量的个数,在例4中，由最后一个
15、阶梯形方程组（或对应的行阶梯 形矩阵）求方程组的解的回代过程也可以通过矩阵的 初s等行变换来实现,于是，我们可以由最后一个矩阵直接写出原方程组的解 ,（1）非零行（元素不全为零的行）的第一非零元素都是1； （2）非零行的第一个非零元素所在列的其余元素全为零,上述最后一个矩阵称为行最简形矩阵，一般地，一个行最简 形矩阵是满足下列两个条件的行阶梯形矩阵：,容易证明，任一行阶梯形矩阵可以经过有限次初等行变换 化为行最简形矩阵在利用初等行变换将一个矩阵化为行阶 梯形矩阵的过程中，通常从左至右，从上至下进行消元而 在利用初等行变换将一个行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵的 过程中，通常从右至左，从下至上进行消元,在解线性方程组时，我们先用初等行变换将它的增广矩阵 化为行阶梯形矩阵，判定方程组是否相容；在方程组相容 时，继续对所得的行阶梯形矩阵施行初等行变换，使它化为 行最简形矩阵，从而直接写出原方程
