《§12第12.4节差分方程在经济学中的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《§12第12.4节差分方程在经济学中的应用（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第12.4节 差分方程在经济学中的应用,一、存贷款问题,二、动态经济系统的蛛网模型,三、价格与库存模型,经济学中的许多问题都可以用差分方程来描述，本节将主要利用差分方程讨论存贷款问题、动态经济系统的蛛网模型、价格与库存模型以及国民收入稳定性问题.,一、存贷款问题,解 将 改写为,此等式为一阶常系数齐次线性差分方程可求得此方程 的通解为,（C为任意常数）.,由初始条件 , 得 , 故年末的本利和为,例2 (购房还贷问题)若某客户向银行申请了总额为 M 元房款，还款年限为n 年, 银行的月利率为 r , 求该客户每月需偿还多少元才能如期还清贷款？,解 设客户每月偿还m元, 第t 个月偿还后尚欠银行
2、的贷款额为yt 元，则,将方程 改写为,利用一阶常系数非齐次线性差分方程的求解方法可求得该方程的通解为,（C为任意常数）.,将初始条件 代入上式得,解得 因此该客户第 t 个月偿还元后尚欠 银行的金额为,若要n年还清贷款，则 即 ，解关于m的方程， 得,故客户每月需偿还 元即可以如期还清贷款.,例3 (教育储蓄问题）某家庭从现在着手，把每月工资中的一部分资金拿出存入银行，以用于将来子女教育，并计划20年后开始从投资账户中每月支取2 000元，直到10年后子女大学毕业且用完全部资金假设银行的月利率为0.5%，要实现这个投资目标，20年内共要筹措多少资金？每月要在银行存入多少金额？,解 设第t 个
3、月投资账户的资金为 ,且每月存入资金为 a元.,如果从第20年结束时算起的10年内，该家庭账户资金 应满足如下的差分方程为,(1),此方程为一阶常系数非齐次线性差分方程. 其通解为,（C为任意常数）.,将初始条件 ，代入上式，得,故方程(1)满足初始条件 的特解为,由此可得 ，即从现在算起，第20年结束时投资帐户的资金需达到180 147元,即有,其次，从现在起的20年内，该家庭第t 个月账户资金 应满足的差分方程为,可求得此方程的通解为,将初始条件 ，代入上式得 ，即 ，故满足初始条件 的特解为,又由于 ，所以有,解之得 a=389.89.,（,（,）,综上可知，要达到投资目标，20年内要筹
4、措资金18 014元，平均每月要存入389.89元,2.动态经济系统的蛛网模型,蛛网模型描述了经济学中一种重要的经济现象，前面已利用极限的思想对蛛网模型进行了较详细的讨论，下面运用差分方程这一工具对蛛网模型作进一步的讨论.,例4,设 和 分别表示第t 期商品的产量和需求函数与供给函数分别为 与 ，那么参数满足什么条件，经过若干年后该商品的产量与价格才能趋于稳定呢？,解 得,解此一阶常系数线性非齐次差分方程得,由此可知，该商品的产量与价格的稳定性主要取决于 和 的斜率 b 与 d ，具体情况如下：,(1)当 ，即 时，商品的产量和 价格趋于稳定（如图1所示），且 ；,(2)当 ，即 时，商品的产
5、量和价格不稳定(如图2所示),如果需求函数和供给函数是非线性函数，可以用同样的方法来讨论若干年后该商品产量和价格的稳定性问题.,假如确定了商品的需求函数和供给函数的表达式，记作,(1) 当 时，商品的产量和价格趋于稳定 (如图3所示) ；,且记曲线 P=f(Q) 与 P=g(Q) 的交点为M0 ,则当商品 量偏离M0 点的不大时，产量和价格的稳定性取决于f 和g 在M0 点的斜率.如果记f 在M0点的斜率的绝对值为Kf , g 在M0 点的斜率的绝对值为Kg ,则,(2)当 时，商品的产量和价格不稳定（如图4所示）,由此可见，需求曲线越平，供给曲线越陡，越有利于产量和价格的稳定，进而越有利于经
6、济稳定,3.价格与库存模型,若某商品的供给函数和需求函数分别为,(a , b 为正常数) .,而该商品在第 个时期的价格与库存量分别为 与 ，且假设商品的合理库存量为 .,一般情况下，如果商品的库存量超过其合理库存, 则该商品的价格就下跌,如果商品的库存量低于其合理库存，则该商品的价格就上涨，因此 与 满足如下方程:,(2),其中c为比例常数. 将上式中的t 换为t +1 得,(3),将(3)减去(2)得,(4),假设库存量 的改变与商品销售状态有关，且在第 时段商品的库存增加量等于该时段的供求量之差, 即,代入到 中得,于是代入方程(4)得,(5),(6),解得 ，于是,由于 ，则当 时， 将 迅速变化，此时方程无稳定解.,
