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1、第一章 问题概述1.1本题目来源于2011年研究生数学建模竞赛，以下是问题重述。小麦高产、超高产的研究始终是小麦育种家关注的热点问题。随着产量的增加，小麦的单茎穗重不断增加。但穗重的增加同时使茎秆的负荷增大，导致容易倒伏。倒伏不但造成小麦减产，而且影响小麦的籽粒品质。因此要实现小麦高产优质的跨越，就必须解决或尽量减少小麦的倒伏问题。解决倒伏问题的方法之一就是针对不同的产量，寻找小麦抗倒伏能力最佳的茎秆性状（包括株高、茎长、各节间长、各节茎外径、壁厚、茎秆自重、穗长、穗重等）。目前已经得到了一些结果，但是对抗倒伏能力最佳的茎秆性状还没有定论。小麦倒伏从形式上可分为“根倒”和“茎倒”，一般都发生在
2、小麦发育后期。“根倒”主要与小麦种植区域的土壤品种与结构特性有关，本题不做讨论。“茎倒”是高产小麦倒伏的主要形式，尤其是发生时间较早的“茎倒”，往往造成大幅度的减产。“茎倒”的原因是茎秆与穗的自重和风载作用的迭加超过了小麦茎秆的承受能力。解决倒伏问题的方法之一就是针对不同的产量，寻找小麦抗倒伏能力最佳的茎秆性状（包括株高、茎长、各节间长、各节茎外径、壁厚、茎秆自重、穗长、穗重等）。各方面的专家通过分析影响小麦倒伏的各种因素，目前已经得到了一些结果，但是对抗倒伏能力最佳的茎秆性状还没有定论。通过物理力学类比研究小麦抗倒伏性是一个新方向，已有一些工作。值得我们进行探讨。困难在于缺乏相关试验参考数据
3、，我们只能在作较多假设下先进行粗略研究，为进一步试验提供根据。题目的附件中收集了一批各个品种小麦的茎秆性状、产量、倒伏情况的数据。显然还不够完整，各年参数选取不一致，也有数据缺漏。但农业数据一年只有一次，短期内无法做到完整、全面、详尽，期望以后能逐渐完善。通过处理给定数据解决以下问题：(1) 判断茎秆抗倒性的倒伏指数公式：茎秆倒伏指数=茎秆鲜重茎秆重心高度/茎秆机械强度,并建立茎秆机械强度与茎秆粗厚的关系模型。(2)研究倒伏指数与茎秆外部形态特征之间的关系。即给出倒伏指数与株高、穗长、各节间长、节间长度比、各节壁厚、穗重、鲜重等茎秆性状在最易引起倒伏期的相关性指标。(3)探讨单穗重分别是1.1
4、9g，2.06g，2.46g，2.56g，2.75g，2.92g时小麦的理想株型结构。1.2秆机械强度与茎秆粗厚的关系模型。名词解释：机械强度、茎秆粗厚、茎秆倒伏指数。机械强度：指抗压强度、抗折强度、抗拉强度。 抗压强度：指外力是压力时的受正压力时的极限折断应力。 抗折强度：指材料单位面积承受弯矩时的极限折断应力。 抗拉强度：指试样在拉伸过程中，在拉断时所承受的最大力,它表示金属材料在拉力作用下抵抗破坏的最大能力。茎秆粗厚：可以理解为茎秆的粗和茎秆的壁厚，即茎秆的外径大小和茎秆的外径与内径的差的大小。茎秆倒伏指数:指数（index），广义地讲，任何两个数值对比形成的相对数都可以称为指数；狭义地
5、讲，指数是用于测定多个项目在不同情景或条件下综合变动的一种特殊相对数。所以茎秆倒伏性指数（Lodging index of wheat）是指在主客观因素的影响下固定试验田的倒伏小麦数量与整块麦田小麦数量比的相对数。记作LIOW。建立小麦茎秆机械强度与茎秆粗厚的关系模型。由于数据有缺失，所以首先对数据进行合理的处理，缺失数据情况如下：小麦植株 性状年份茎秆鲜重茎秆重心（含穗）茎秆重心（去穗）茎秆机械强度株高茎秆单节粗茎秆单节壁厚茎秆单节长单穗鲜重单穗籽粒重穗长是否有性状数据完全缺失备注2007年有有无有*有有有有无无有*表示可以直接计算得到。#表示可以通过建立的模型计算得到。2008年无无无#*
6、有有有无有有有2011年有有有有*有有有有无有有表1.1 通过上表可以清楚的看出题目所给数据的情况，然而该表只反映了是否有性状数据完全缺失，所谓性状数据完全缺失是指性状列是否存在。通过查看数据表我们发现即使性状列存在，该列的数据仍然有缺失。下面就来处理该部分数据缺失。对2007年“矮抗58”测量数据excel处理，第二节不同生长期茎秆粗的量变趋势见下图。图1.1图1.2图1.3图1.4由以上图形分析可得，茎秆同一节间不同生长期茎秆粗皆集中在一个相对固定的范围内，即数据绝大部分在0.2mm-0.4mm这个范围内。同时我们发现在这24组数据在途中反映的数据变化存在固定走势，数据变化呈倒“S”字型走
7、势。所以我们运用缺失数据一半径（=3）的去心领域内数据的平均值来填补缺失数据。以后的缺失数据全部运用这种方法来填充。由于数据缺失量相对已给数据来说非常小，所以这样来填补数据造成的误差很小。但是我们常识认为小麦茎秆的粗细变化是渐变的，然而给定数据的渐变不明显。出现这样的误差也许是由于仪器或是人为失误造成。对于存在性状列完全缺失的数据中的部分可以通过建立数学模型然后利用已有数据来求解。比如我们可以运用2007年的数据建立茎秆机械强度与茎秆粗厚的数学模型，并利用该模型和2011年给定的茎秆粗厚数据来求得2011年给定数据中的茎秆机械强度。下面介绍回归分析有关知识回归分析是指分析若干个预测变项和一个效
8、标变项间的关系 。 回归分析的基本思想是: 虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性的函数关系, 但可以设法找出最能代表它们之间关系的数学表达形式。 回归分析主要解决以下几个方面的问题，(1) 确定几个特定的变量之间是否存在相关关系, 如果存在的话, 找出它们之间合适的数学表达式； (2) 根据一个或几个变量的值, 预测或控制另一个变量的取值, 并且可以知道这种预测或控制能达到什么样的精确度； (3) 进行因素分析。例如在对于共同影响一个变量的许多变量(因素)之间, 找出哪些是重要因素, 哪些是次要因素, 这些因素之间又有什么关系等等。 多元回归分析是研究多个变量之间关系的回归分析方法, 按因
9、变量和自变量的数量对应关系可划分为一个因变量对多个自变量的回归分析(简称为“一对多”回归分析)及多个因变量对多个自变量的回归分析(简称为“多对多”回归分析), 按回归模型类型可划分为线性回归分析和非线性回归分析。 一元线性回归分析的数学模型设于之间有线性关系其中，表示自变量和应变量的一组观测值；为回归参数，也就是回归分析要求解的未知数；称为残差，通常假定.所以一元线性回归模型也可以这样表示，其中回归参数的求解求未知参数的估计值，就是求解最小二乘方程使得成立。经计算可得其中回归方程的显著性检验这里只简单介绍检验法和相关系数检验法，假设检验方法。当成立时，统计量其中.对于给定的显著性水平，检验的拒
10、绝域为相关系数检验方法。记称为样本相关系数，对于给定的显著性水平，检验的拒绝域为其中可以查相关系数临界值表。当拒绝时，认为线性回归方程是显著的。多元线性回归的数学模型设变量与变量间有线性关系，其中和为未知的参数， ，称以上模型为多元线性回归模型。设是的次独立观测值，则多元回归线性模型可以表示为，其中，且独立同分布。即， ，.则多元线性回归模型亦可表示为.回归系数的估计求解参数的估计值，就是求最小二乘函数使得达到最小的值，.回归方程的显著性检验，当成立时，统计量其中，.通常称为回归平方和，称为残差平方和。对于给定的显著水平，检验的拒绝域为.相关系数的平方定义为，用它来衡量与之间相关的密切程度，其
11、中为总体离差平方和，即并且满足下面运用回归分析来建立、验证模型。1.3茎秆机械强度与茎秆重心高度模型运用excel分析茎秆的机械强度与茎秆的重心高度的关系，首先观察茎秆机械强度与茎秆重心高度的散点图，以2007年测量数据中“新麦208数据”作为研究数据。由于探讨茎秆机械强度时不考虑茎秆的质地对其得影响，所以只去该数据组中的“乳熟期”，“腊熟期”数据来研究。假设在相同的茎秆壁厚情况下，茎秆外径的大小的差异很小，所以茎秆的机械强度主要受茎秆重心的高度的影响。Excel线性回归分析“腊熟期”茎秆机械强度与茎秆重心高度的结果，回归统计Multiple R0.491431R Square0.241505
12、Adjusted R Square0.115089标准误差0.092135观测值8方差分析dfSSMSFSignificance F回归分析10.0162170.0162171.9103990.216172残差60.0509330.008489总计70.06715Coefficients标准误差t StatP-valueIntercept-0.482260.590377-0.816870.445219X Variable 10.0156310.0113091.3821720.216172t1,有一定的影响RESIDUAL OUTPUT观测值预测 Y残差10.283653-0.0736520.3
13、9307-0.1430730.346177-0.0461840.3305460.06945450.30710.042960.4087010.09129970.275838-0.0258480.3149150.085085图1.6图1.7通过该回归可以得到，P-value 0.05,说明机械强度与茎秆的重心高度的一次项弱相关。下面我们运用R软件来讨论机械强度是否与茎秆重心高度二次相关。结果如下，由该图可以得到机械强度与茎秆重心高度的二次项也弱相关，所以这里就不在讨论机械强度与茎秆重心高度关系，下面主要解决机械强度与茎秆粗、厚的关系并建立合理模型，以及通过机械强度来讨论倒伏指数。1.3茎秆重心高度
14、（）模型如果小麦茎秆（含穗）的质量（）分布均匀且茎秆的长度（）已知，那么茎秆的重心就是该茎秆的几何中心。即然而，现实中小麦茎秆不可能是质量分布均匀的，显然以上的理想假设难以满足。因此我们放宽假设条件，假设小麦的每一节茎秆的内部是粗细一致，且质量分布均匀，而每节之间不同。在此假设下得到：假设小麦有节茎秆，总重（含穗），第节的重心高度为，第节茎秆的重量，为麦穗的重心高度，为麦穗重，则即又其中表示第节长，从而有因此 （.）由公式（.）可以利用给定茎秆每节长度（）、重量（）、穗长（）、穗重（）来求解茎秆的含穗重心高度。那么在没有给定麦穗的数据情况下，求茎秆的重心高度，即去穗的茎秆重心高度为，（1.2）该模型的验证如下图，2011年测量数据实验结果如下图图1.8由上图可以看出茎秆重心高度的预测值要略大于测量值，这样的情况可能是由于没有考虑茎秆的第五节，只计算穗下四节的数据，所以预测重心高度会偏低。下面考虑第五节时茎秆重心高度模型的合理性，以2011年测量数据“矮58 ”数据来做实验，
