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1、因数、倍数练习题专题简析：一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：24=2223，75=355。我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求最大公因数和最小公倍数服务的。其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。例题1 把18 个苹果平均分成若干份，每份大于1 个，小于18 个。一共有多少种不同的分法？分析 先把18 分解质因数：18=233，可以看出：18 的约数是1、2、3、6、9、18，除去1 和18，还有4 个因数，所以，一共有4 种不同的分法。练习一1、有60 个同学分成
2、人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6 人，不多于15 人。有哪几种分法？2、195 个同学排成长方形队伍做早操，行数和列数都大于1，共有几种排法？3、甲数比乙数大9，两个数的积是792，求甲、乙两数分别是多少。例题2 有168 颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10 颗，也不能多于50 颗。共有多少种分法？分析 先把168 分解质因数，168=22237，由于每份不得少于10 颗，也不能多于50 颗，所以，每份有223=12 颗，27=14 颗，37=21 颗，2223=24 颗，237=42 颗，共有5 种分法。练习二1、把462 名学生分成人数相等的若干组去参加课外活动小组，每小组
3、人数在10 至25 人之间，求每组的人数及分成的组数。2、四个连续奇数的和是19305，这个四奇数分别是多少？3、把1、2、3、4、5、6、7、8、9 九张卡片分给甲、乙、丙三人，每人各3 张。甲说：“我的三个数的积是48。”乙说：“我的三个数的和是16。”丙说：“我的三个数的积是63。”甲、乙、丙各拿了哪几张卡片？例题3 将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。2、5、14、24、27、55、56、99分析 14=27 55=511 24=2223 56=222727=333 99=3311 可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7 和二个11。因为要把这八个数分成
4、两组，且积相等，所以，每组数中应含有四个2，三个3，一个5，一个7 和一个11。经排列为（5、99、24、14）和（55、27、56、2）。练习三1，下面四张小纸片各盖住一个数字，如果这四个数字是连续的偶数，请写出这个完整的算式。=12882，有三个自然数a、b、c，已知ab=30，bc=35，ca=42，求abc 的积是多少？3，把40、45、63、65、78、99、105 这八个数平分成两组，使两组四个数的乘积相等。例题4 王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4 组。如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539 棵。这个班有多少个学生？每人植树多少棵？分析 根据每人植树棵数人数
5、=539 棵，把539 分解质因数。539=7711，如果每人植7 棵，这个班就有7111=76 人；如果每人植树11 棵，这个班共有771=48 人。练习四1，3 月12 日是植树节，李老师带领同学们排成两路人数相等的纵队去植树。已知李老师和同学们每人植树的棵数相等，一共植了111 棵树，求有多少个学生。2，小青去看电影，他买的票的排数与座位号数的积是391，而且排数比座位号数大6。小青买的电影票是几排几座？3，把一篮苹果分给4 人，使四人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数之积是1920。这篮苹果共有多少个？例题5 下面的算式里，里数字各不相同，求这四个数字的和。=1995分析要使两个
6、两位数的积等于1995，那么，这两个数的积应和1995 有相同的质因数。1995=35719，可以有3557=1995 和2195=1995。因为要满足“数字各不相同”的条件，所以取2195=1995，这四个数字的和是：2195=17。练习五1，在下面算式的框内，各填入一个数字，使算式成立。=19952，有一个长方体，它的长、宽、高是三个连续的自然数，且体积是39270 立方厘米，求这个长方体的表面积。3，有三个自然数a，b，c，已知ab=35，bc=55，ac=77，求三个数之积是多少？分解质因数（二）专题简析：许多题目，特别是一些竞赛题，初看起来很玄妙，但它们都与乘积有关，对于这类题目，我
7、们可以用分解质因数的方法求解。因此，掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许多一般方法不能解答的与积有关的应用题。例题 1 三个质数的和是80，这三个数的积最大可以是多少？分析 三个质数相加的和是偶数，必有一个质数是2。802=78，剩下两个质数的和是78，而且要使它的积最大，只能是41和37。因此，这三个质数是2、37 和41。最大积是23741=3034练习一1，有三个质数，它们的乘积是1001，这三个质数各是多少？2，张明是个初中生，有一次，他参加数学竞赛后，所得的名次、分数和他的岁数三者的积是2910。求张明的成绩、名次和年龄分别是多少？3，写出若干个连续的自然数，使它们的积是1512
8、0。例题 2 长方形的面积是375 平方米，已知它的宽比长少10米，长和宽的和是多少米？分析 这道题如果用方程来解会比较麻烦，我们可以把375 分解质因数看一看。375=5553，因为55 比53 正好多10，所以，此长方形的长是55=25 米，宽是53=15 米，它们的和是40 米。练习二1，237 除以一个两位数，所得的余数是6，请写出适合于这个条件的所有两位数。2，有4 个孩子，恰好一个比一个大1 岁，4 人的年龄积是3024，这4 个孩子中最大的几岁？3，有一块长方形的场地，它是由319 块1 平方分米的水泥方砖铺成的，求这块长方形场地的周长。例题3 某班同学在班主任老师带领下去种树，
9、学生恰好平均分成三组，如果师生每人种树一样多，一共种了1073 棵，那么，平均每人种了多少棵？分析 根据每人种树棵数参加人数=1073，把1073 分解质因数：1073=2937，再根据学生恰好平均分成三组可知：参加种树的人数是3 的倍数多1，由于只有37 比3 的倍数多1，所以有37人，平均每人种29 棵。练习三1，一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数。已知这个长方体的体积是9240 立方厘米，那么，这个长方体的表面积是多少？2，老师用216 元买一种钢笔若干支，如果每支钢笔便宜1 元钱，那么他就能多买3 支。每支钢笔原价多少元？3，王老师带同学们擦玻璃，同学们恰好平均分成3 组。如果师
10、生每人擦的块数同样多，一共擦111 块，那么，平均每人擦了多少块？最大公因数专题简析：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。我们可以把自然数a、b 的最公因数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a 和b 互质。求几个数的最大公因数可以用分解质因数和短除法等方法。例题 1 一张长方形的纸，长7 分米5 厘米，宽6 分米。现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？分析: 7分米5厘米=75 厘米，6 分米=60 厘米。因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75 和60，所以边长是75 和60
11、 的公约数。75 和60 的公因数有1、3、5、15，所以有4 种裁法。如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60 的最大公因数15 作为正方形的边长，所以可以裁（7515）（6015）=20 块。练习一1，把1 米3 分米5 厘米长、1 米5 厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？2，一块长45 厘米、宽30 厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？3，将一块长80 米、宽60 米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，小正方形的面积最大是多少？例题 2 一个长方体木块，长2.7 米，宽1.8 分米，高1.5 分米
12、。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？分析 2.7 米=270 厘米，1.8 分米=18 厘米，1.5 分米=15 厘米。要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公因数。现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公因数。（270，18，15）=3，3 厘米=0.3 分米练习二1，一个长方体木块的长是4 分米5 厘米、宽3 分米6 厘米、高2 分米4 厘米。要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？2，有50 个梨，75 个橘子和100 个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并
13、且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？3，五年级三个班分别有24 人、36 人、42 人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？每班各可以分几组？例题 3 有三根钢管，它们的长度分别是240 厘米、200 厘米和480 厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？分析 要把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应该是240、200 和480 的公因数，而每小段要取最长，也就是求240、200 和480 的最大公因数。240、200 和480 的最大公因数是40，所以每小段最长是40 厘米。练习三1，有一个长方体木块，
14、长60 厘米、宽40 厘米，高24 厘米。如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？2，用一张长1072 毫米、宽469 毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？3，工人加工了三批零件，每加工一批零件，除了王师傅比其他工人多加工若干个外，其他工人加工的都同样多。已知他们第一批共加工2100 个，其中王师傅比每个工人多加工7 个；第二批_加工1800 个，其中王师傅比每个工人多加工6 个；第三批加工1600个，其中王师傅比每个工人多加工13 个。这批工人最多有多少人？例题 4 一条道路由甲村经过乙村到丙村。已知甲、乙村相距360 米，乙、丙村相距675 米。现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？分析 由于甲乙、乙丙的两村中点各要种上一棵树，所要要将3602=180 米、6752=337.5 米平均分成若干段，并且使每段的长度最长。因为（675、360）=45，而180=3602，337.5=6752，所以，452=22.5，即相邻两棵树之间距离最多是22.5 米。练习四1，一条公路由A 经B 到C。已知A
