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1、专题一：函数定义域的求法及常见题型一、函数定义域求法（一）常规函数函数解析式确定且已知，求函数定义域。其解法是根据解析式有意义所需条件，列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组），即得函数定义域。例1.求函数的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足由解得 或。 由解得 或 和求交集得且或x5。故所求函数的定义域为（，-11）U(-11,-3 U(5,+ )。注意点：分母、偶次方根被开方数，多条件求交集，定义域写法，仅可写成区间或集合形式，不能写成不等式。例2.求函数的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足由解得 由解得 由和求公共部分，得故函数的定义域为(-4,- U(0,。提示点：
2、和怎样求公共部分？（二）抽象函数1.有关概念定义域：函数y=f(x)的自变量x的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向x轴投影的区间；凡是函数的定义域，永远是指自变量x的取值范围；对应法则：通过“工厂” 或“模具”观点进行类比，以此深入理解函数的对应法则“f”。 把函数的对应法则“f”看作“工厂” 或“模具”，把自变量“x”的取值看作“原料”，把相应函数值“y”看作“成品”。该观点注重“原料”以怎样的形式组装成“成品”，而不管“原料”是否为“初级产品”，从而避免了当所给函数的“原料”不是某个单一字母的情形时，找不到或不好找函数的对应法则。如（1）已知函数f(x)的定义域是0,4，求函数f(
3、2x+1)的定义域；（2）已知函数f(2x+1)的定义域是0,4，求函数f(x)的定义域。可以把f(x)看成工厂的生产加工，f是加工工序，x是原料。（1）中f(x)的原料就是初级产品，所以原料或初级产品满足的条件就是0,4；在f(2x+1)中，初级产品是2x+1，它必须满足0,4，由此求出f(2x+1)的原料x满足的条件（即自变量）。因为(2）中f(2x+1)的定义域是0,4，即原料x满足0,4，变成初步产品2x+1,那么初步产品的限制条件就成了1,9, 所以f(x)的原材料就是 1,9，这样好不好理解？值 域：函数y=f(x)的因变量y的取值范围，可以理解为函数y=f(x)图象向y轴投影的区
4、间；显函数：俗称常见函数，函数解析式是明确的，例如：y=f(x)=2x2+3x-5；隐函数：俗称抽象函数，函数解析式是不明确的，就用y=f(x)表示，具体f(x)是什么内容是隐藏的；复合函数：如果说y=f(x)是一个简单的抽象函数，那么把自变量x用一个函数g(x)来代替，就称y=f(g(x)为复合的抽象函数，习惯上称y=f(t)是外函数，t=g(x)为内函数。2.四种类型题型一：已知抽象函数y=f(x)的定义域为m,n，如何求复合抽象函数y=f(g(x)的定义域？思路分析：本题型是已知y=f(x)的自变量x的范围，求y=f(g(x)的自变量x的范围，其中的关键是，后者的g(x)相当于前者的x。
5、解决策略：求不等式mg(x)n的解集，即为y=f(g(x)的定义域例题3.已知函数y=f(x)的定义域0,3，求函数y=f(3+2x)的定义域解：令t=3+2x，y=f(x)的定义域0,3，y=f(t)的定义域也为0,3，即t=3+2x0,3，说明：内函数g(x)=3+2x，通过令t=3+2x做了一个换元，此处换元不能写为令x=3+2x。原因是y=f(x)中的x与y=f(3+2x)的x虽然长得一样，但是意义不同，如果令x=3+2x，则等号两边的x就是一模一样了，x只能为-3了。强化训练：1.已知函数y=f(x)的定义域-1,5，求函数y=f(3x-5)的定义域；2.已知函数y=f(x)的定义域
6、1/2,2，求函数y=f(log2x)的定义域；3.已知的定义域为2，2，求的定义域。题型二：已知复合抽象函数y=f(g(x)定义域m,n，如何求抽象函数y=f(x)的的定义域？思路分析：本题型是已知y=f(g(x)的自变量x的范围，求y=f(x)的自变量x的范围，其中的关键是，前者的g(x)相当于后者的x。解决策略：求内函数t=g(x)在区间m,n的值域（t的取值范围），即为y=f(x)的定义域例题4.已知函数y=f(2x-1)的定义域0,3，求函数y=f(x)的定义域.解：y=f(2x-1)的定义域0,3，0x3，令t=2x-1，t=2x-1-1,5故，函数y=f(t)的定义域为t-1,5
7、，故，函数y=f(x)的定义域为x-1,5说明：函数y=f(x)与y=f(t)是同一个函数，与单个自变量是x还是t无关。另外，题型二是题型一的逆向题目。强化训练：1.已知函数y=f(x2-2x+2)的定义域0,3，求函数y=f(x)的定义域.2.已知函数y=flg(x+1)的定义域0,9，求函数y=f(x)的定义域.题型三：已知复合抽象函数y=f(g(x)定义域m,n，如何求复合抽象函数y=f(h(x)定义域的定义域？思路分析：本题型是已知y=f(g(x)的自变量x的范围，求y=f(h(x)的自变量x的范围，其中的关键是，前者的g(x)相当于后者的h(x)，故先求出“桥梁”函数y=f(x)的定
8、义域。解决策略：用题型二的方法根据y=f(g(x)定义域求y=f(x)的定义域，用题型一的方法根据y=f(x)的定义域求y=f(h(x)的定义域例题5.已知函数y=f(2x-1)的定义域0,3，求函数y=f(3+x)的定义域.解：y=f(2x-1)的定义域0,3，0x3，令t=2x-1，t=2x-1-1,5故，函数y=f(t)的定义域为t-1,5，故，函数y=f(x)的定义域为x-1,5令t=3+x，则t=3+x-1,5故，函数y=f(3+x)定义域为-4,2说明：题型三其实是题型一与题型二的综合而已，会了前两个题型，第三个题型自然就会了。强化训练：1.已知函数y=f(x+1)的定义域-2,3
9、，求函数y=f(2x-1)的定义域.2.已知函数y=f(2x)的定义域-1,1，求函数y=f(log2x)的定义域.3. 已知f(x+1)的定义域为-1/2，2，求f(x2)定义域。题型四：已知f(x)的定义域，求与f(x)相关四则运算型函数的定义域。思路分析：若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集。解题策略：先求出各个函数的定义域，再求交集。例6.已知f(x)的定义域为-3，5，求（x）=f(-x)+f(2x+5)定义域。强化训练：1.已知f(x)的定义域为（0，5，求g(x)=f(x+a)f(x-a)定义域，其中-1a0。二、与函数定义域相关的变形题
10、型（一）逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例7.已知函数的定义域为R，求实数m的取值范围。分析：函数的定义域为R，表明，使一切xR都成立，由项的系数是m，所以应分m=0或进行讨论。解：当m=0时，函数的定义域为R；当时，是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是综上可知。评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。例8.已知函数的定义域是R，求实数k的取值范围。解：要使函数有意义，则必须0恒成立，因为的定义域为R，即无实数当k0时，恒成立，解得；当k=0时，方程左边=30恒成立。综上k
11、的取值范围是。定义域非实数，求法。（二）参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。例9.已知的定义域为0，1，求函数的定义域。解：因为的定义域为0，1，即。故函数的定义域为下列不等式组的解集：，即即两个区间a，1a与a，1+a的交集，比较两个区间左、右端点，知（1）当时，F（x）的定义域为；（2）当时，F（x）的定义域为；（3）当或时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。（三）隐含型有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。例10.求函数的单调
12、区间。解：由，即，解得。即函数y的定义域为（1，3）。函数是由函数复合而成的。，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间上是增函数；在区间上是减函数，而在其定义域上单调增；，所以函数在区间上是增函数，在区间上是减函数。（四）实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。例11.将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。解：设矩形一边为x，则另一边长为于是可得矩形面积。由问题的实际意义，知函数的定义域应满足。故所求函数的解析式为，定义域为（0，）。例12.用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。因为CD=AB=2x，所以，所以，故根据实际问题的意义知故函数的解析式为，定义域（0，）。
