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1、初中几何反证法专题学习要求 了解反证法的意义，懂得什么是反证法。理解反证法的基本思路，并掌握反证法的一般证题步骤。知识讲解 对于一个几何命题，当用直接证法比较困难时，则可采用间接证法，反证法就是一种间接证法，它不是直接去证明命题的结论成立，而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立，它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径，掌握这种方法，对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。下面我们对反证法作一个简单介绍。1反证法的概念：不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。2反证法的基本思路：首先假设所要证明
2、的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个 矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。3反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。简而言之就是“反设归谬结论”三步曲。例1已知：AB、CD是O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。（1）证
3、明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。OAOB，M是AB中点OMAB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）同理可得：OMCD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM这与已知的定理相矛盾。故AB与CD不能互相平分。例2已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，且MN（ADBC）。 求证：ADBC（2）证明：假设ADBC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。在ABD中BMMA，BPPDMPAD，同理可证PNBC从而MPPN（ADBC）这时，BD的中点不在MN上若不然，则由MNAD，MNBC，得AD
4、BC与假设ADBC矛盾，于是M、P、N三点不共线。从而MPPNMN由、得（ADBC）MN，这与已知条件MN（ADBC）相矛盾，故假设ADBC不成立，所以ADBC。课堂练习 1求证：三角形中至少有一个角不大于60。2求证：一直线的垂线与斜线必相交。已知：设m，n分别为直线l的垂线和斜线（如图），垂足为A，斜足为B求证：m和n必相交。3在ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE相交于H，求证：AD 与 BE不能被点H互相平分。4求证：直线与圆最多只有两个交点。5求证：等腰三角形的底角必为锐角。 已知：ABC中，ABAC 求证：B、C必为锐角。参考答案：1证明：假设ABC中的A、B、C都大于
5、60 则ABC360180 这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。 故三角形中至少有一个角不大于60。2证明：假设m和n不相交则 mn ml nl 这与n是l的斜线相矛盾，所以假设不能成立。 故m和n必相交。3证明：假设AD、BE被交点H互相平分，则ABDE是平行四边形。 AEBD，即ACBC 这与AC、BC相交于C点矛盾， 故假设AD、BE被交点H平分不能成立。 所以AD与BE不能被点H互相平分。4证明：假设一直线l与O有三个不同的交点A、B、C， M、N分别是弦AB、BC的中点。 OAOBOC 在等腰OAB和OBC中 OMAB，ONBC 从而过O点有两条直线都垂直于l，这是不可能的，
6、故假设不能成立。 因此直线与圆最多只有两个交点。5证明：假设B、C不是锐角， 则可能有两种情况： (1)BC90 (2)BC90 若BC90，则ABC180， 这与三角形内角和定理矛盾。 若BC90，则 ABC180， 这与三角形内角和定理矛盾。 所以假设不能成立。 故B、C必为锐角。本讲小结 对于一个几何命题，当用直接法证比较困难或甚至不能证明时，则 可采用简接证法，反证法就是一种最常见的间接证明方法、掌握并 运用好这种方法，对思维能力的提高大有裨益。所谓反证法，就是先假设命题的结论不成立，从结论的反面入手，进行正确的逻辑推理，导致结果与已知学过的公理、定理，从而得出结论的反面不成立，于是原
7、结论成立。反证法证题的一般步骤是： (1)反设：将结论的反面作为假设； (2)归谬：由“反设”出发，利用已学过的公理、定理，推出与已知 矛盾的结果； (3)结论：由推出的矛盾判断“反设”错误，从而肯定命题的结论正 确。运用“反证法”的关键： 反证法的主要手段是从求证的结论的反面出发，导出矛盾的结果， 因此，如何导出矛盾，就成了使用反证法的关键。“反证法”宜用于证明否定性命题、唯一性命题、“至少”“至多” 命题和某些逆命题等，一般地说“正难则反”凡是直接法很难证明的 命题都可考虑用反证法。课后作业1求证：在平面上，不存在这样的凸四边形ABCD，使ABC、BCD、 CDA、DAB都是锐角三角形。2
8、在ABC中，ABAC，P是内部一点且APBAPC，求证：PBPC。3求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60。4求证：在ABC的BC边上任取一点D、AC边上任意取一点E，连结AD、 BE，则AD和BE必定不能互相平分。5已知ABC为不等边三角形，ADBC于D点，求证：D点到AB、AC边的 距离必不相等。参考答案：1证明：假设存在凸四边形ABCD， 使ABC、BCD、CDA、DAB都是锐角三角形。 则ABCD360。 这与四边形ABCD中 ABCD360矛盾。 故假设不能成立，所以原命题成立。2证明：假设PBPC，即PBPC或PBPC (1)当PBPC时（如图）在PBC中，可得PCB
9、PBCABAC ABCACB，从而ABPACP在BAP与CAP中ABAC，APAP，PBPCBAPCAP由和三角形内角和定理，可得APBAPC，这与已知APBAPC相矛盾。 (2)当PBPC时，在APB与APC中APAP，BPCP，ABACABPACP，APBAPC这与已知APBAPC相矛盾，由(1)(2)可知假设PBPC不成立。故PBPC。 3证明：不妨设三角形的三个内角为A、B、C 假设A、B、C中设有一个大于或等于60， 则它们都小于60。 即A60、B60、C60 ABC180这与三角形内角和定理矛盾， 这说明假设不成立。 故A、B、C中至少有一个大于或等于60。4证明：假设AD和BE互相平分于P点，则ABDE应是一个平行四边形。 所以AEEB，即ACBC 这与AC与BC相交于C点矛盾， 故假设AD与BE互相平分不能成立。 所以AD和BE必定不能互相平分。5证明：作BEAB于E，DFAC于F 假设DEDF，则12 ADBC B90 1 C90 2 BC ABAC这与ABC为不等边三角形矛盾。 故假设不能成立，即D点到AB、AC边的距离必不相等。
