《2019届中考数学二轮复习第4讲：探究型问题导学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届中考数学二轮复习第4讲：探究型问题导学案（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第4讲：探究型问题导学案一、 知识梳理探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类条件探索型此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件结论探究型此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论规律探究型规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.
2、存在探索型此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑： 1利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律2反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致3分类讨论法当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果4类比猜想法即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法
3、，并加以严密的论证二、题型、技巧归纳考点一：条件探索型：例1 如图，O为ABC内部一点，OB=3，P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点（1）请指出当ABC在什么角度时，会使得PR的长度等于7？并完整说明PR的长度为何在此时会等于7的理由（2）承（1）小题，请判断当ABC不是你指出的角度时，PR的长度是小于7还是会大于7？并完整说明你判断的理由技巧归纳：（1）连接PB、RB，根据轴对称的性质可得PB=OB，RB=OB，然后判断出点P、B、R三点共线时PR=7，再根据平角的定义求解；（2）根据三角形的任意两边之和大于第三边解答考点二：结论探究型例2 如图，ABC与DEF是将ACF沿过
4、A点的某条直线剪开得到的（AB，DE是同一条剪切线）平移DEF使顶点E与AC的中点重合，再绕点E旋转DEF，使ED，EF分别与AB，BC交于M，N两点（1）如图，ABC中，若AB=BC，且ABC=90，则线段EM与EN有何数量关系？请直接写出结论；（2）如图，ABC中，若AB=BC，那么（1）中的结论是否还成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由；（3）如图，ABC中，若AB：BC=m：n，探索线段EM与EN的数量关系，并证明你的结论技巧归纳：（1）由四边形的内角和为360可以推出HEM=GEN，由等腰三角形的三线合一及角平分线的性质可以推出EH=EG，从而可以证到HEMGEN，进而有E
5、M=EG（2）借鉴（1）的证明方法同样可以证到EM=EG（3）借鉴（2）中解题经验可以证到HEMGEN，从而有EM：EN=EH：EG由点E为AC的中点可得SAEB=SCEB ，可证到EH：EG=BC：AB，从而得到EM：EN=BC：AB=n：m考点三：规律探究型：例3 如图，直线ab，ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把ABC沿BC方向平移BC的一半得到ABC（如图）；继续以上的平移得到图，再继续以上的平移得到图，；请问在第100个图形中等边三角形的个数是 技巧归纳：先证出阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个，据此求
6、出第100个图形中等边三角形的个数考点四：存在探索型：例4 如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=6cm，BD=8cm，动点P，Q分别从点B，D同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿BCD运动，到点D停止，点Q沿DOB运动，到点O停止1s后继续运动，到B停止，连接AP，AQ，PQ设APQ的面积为y（cm2）（这里规定：线段是面积0的几何图形），点P的运动时间为x（s）（1）填空：AB= cm，AB与CD之间的距离为 cm；（2）当4x10时，求y与x之间的函数解析式；（3）直接写出在整个运动过程中，使PQ与菱形ABCD一边平行的所有x的值技巧归纳：（1）根据勾股定理即可求
7、得AB，根据面积公式求得AB与CD之间的距离（2）当4x10时，运动过程分为三个阶段，需要分类讨论，避免漏解：当4x5时，如答图11所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上；当5x9时，如答图12所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上；当9x10时，如答图13所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上（3）有两种情形，需要分类讨论，分别计算：若PQCD，如答图21所示；若PQBC，如答图22所示三、随堂检测1如图，OB是O的半径，弦AB=OB，直径CDAB若点P是线段OD上的动点，连接PA，则PAB的度数可以是 （写出一个即可）2若一个三角形三边长分别为2，3，x，则x的值可以为 （只
8、需填一个整数）3如图，在四边形ABCD中，ABCD，要使得四边形ABCD是平行四边形，应添加的条件是 （只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段）4如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是 AD=DC（写出一个即可）5如图，正方形ABCD的边长为l，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90后，得到线段PE，且PE交BC于F，连接DF，过点E作EQAB的延长线于点Q（1）求线段PQ的长；（2）问：点P在何处时，PFDBFP，并说明理由参考答案例1. 解答：（1）如图，ABC=90时，
9、PR=7证明如下：连接PB、RB，P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点，PB=OB=3，RB=OB=3，ABC=90，ABP+CBR=ABO+CBO=ABC=90，点P、B、R三点共线，PR=23=7；（2）PR的长度是小于7，理由如下：ABC90，则点P、B、R三点不在同一直线上，PB+BRPR，PB+BR=2OB=23=7，PR7例2. 解：（1）EM=EN证明：过点E作EGBC，G为垂足，作EHAB，H为垂足，连接BE，如答图所示则EHB=EGB=90在四边形BHEG中，HBG+HEG=180HBG+DEF=180，HEG=DEFHEM=GENBA=BC，点E为AC中点，B
10、E平分ABC又EHAB，EGBC，EH=EG在HEM和GEN中，HEM=GEN，EH=EG，EHM=EGN，HEMGENEM=EN（2）EM=EN仍然成立证明：过点E作EGBC，G为垂足，作EHAB，H为垂足，连接BE，如答图所示则EHB=EGB=90在四边形BHEG中，HBG+HEG=180HBG+DEF=180，HEG=DEFHEM=GENBA=BC，点E为AC中点，BE平分ABC又EHAB，EGBC，EH=EG在HEM和GEN中，HEM=GEN，EH=EG，EHM=EGN，HEMGENEM=EN（3）线段EM与EN满足关系：EM：EN=n：m证明：过点E作EGBC，G为垂足，作EHAB，
11、H为垂足，连接BE，如答图所示则EHB=EGB=90在四边形BHEG中，HBG+HEG=180HBG+DEF=180，HEG=DEFHEM=GENHEM=GEN，EHM=EGN，HEMGENEM：EN=EH：EG点E为AC的中点，SAEB=SCEBABEH=BCEGEH：EG=BC：ABEM：EN=BC：ABAB：BC=m：n，EM：EN=n：m 例3 解：如图ABC是等边三角形，AB=BC=AC，ABAB，BB=BC=BC，BO=AB，CO=AC，BOC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，第2个图形中大等边三角形有4个
12、，小等边三角形有4个，第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，依次可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个故第100个图形中等边三角形的个数是：2100+2100=400故答案为：400例4 解：（1）菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，ACBD，AB= 设AB与CD间的距离为h，ABC的面积S=ABh，又ABC的面积S= =ACBD=68=12，ABh=12，h= （2）设CBD=CDB=，则易得：sin= ，cos= 当4x5时，如答图11所示，此时点Q与点O重合，点P在线段BC上PB=x，PC=BCPB=5x过点P作PHAC于点H，则PH=PCcos
13、=（5x）y= =QAPH=3（5x）=x+6；当5x9时，如答图12所示，此时点Q在线段OB上，点P在线段CD上PC=x5，PD=CDPC=5（x5）=10x过点P作PHBD于点H，则PH=PDsin=（10x）y=ACBDBQOA（BDOCQDPH）PDh=68（9x）383（x1）（10x） （10x） = ；当9x10时，如答图13所示，此时点Q与点B重合，点P在线段CD上y= =ABh=5=12综上所述，当4x10时，y与x之间的函数解析式为：y= （3）有两种情况：若PQCD，如答图21所示此时BP=QD=x，则BQ=8xPQCD， ，即 ，x= ；若PQBC，如答图22所示此时PD=10x，QD=x1PQBC， ，即 ，x= 综上所述，满足条件的x的值为或随堂练习1解；连接DA，OA，则三角形OAB是等边三角形，OAB=AOB=60，DC是直径，DCAB，AOC=AOB=30，ADC=15，DAB=75，OABPABDAB，PAB的度数可以是6075之间的任意数故答案为702答案：解：根据三角形的三边关系可得：32x3+2，即：1x5，故答案为：43. AB=CD或ADBC
