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1、第二节一元二次方程A组基础题组一、选择题1.(2019河南检测(二)方程x2=4x的解是()A.x=4B.x=2C.x=4或x=0D.x=02.(2019山东泰安)一元二次方程x2-6x-6=0配方后化为()A.(x-3)2=15B.(x-3)2=3C.(x+3)2=15D.(x+3)2=33.我们解一元二次方程3x2-6x=0时,可以运用因式分解法,将此方程化为3x(x-2)=0,从而得到两个一元一次方程:3x=0,x-2=0,进而得到原方程的解为x1=0,x2=2.这种解法体现的数学思想是()A.转化思想B.函数思想C.数形结合思想D.公理化思想4.(2019安徽)一种药品原价每盒25元,
2、经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x,则x满足()A.16(1+2x)=25B.25(1-2x)=16C.16(1+x)2=25D.25(1-x)2=165.(2019河南郑州二模)如图,某小区有一块长为30 m,宽为24 m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,两块绿地的面积之和为480 m2,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行道,设人行道的宽度为x m,根据题意,下面所列方程正确的是()A.(30-3x)(24-2x)=480B.(30-3x)(24-x)=480C.(30-2x)(24-2x)=480D.(30-x)(24-2x)=4806.(2019河南南阳一模)
3、关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a的值为()A.1或-1B.1C.-1D.07.(2019安徽)若关于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有两个相等的实数根,则实数a的值为()A.-1B.1C.-2或2D.-3或18.(2019河南焦作第一次联合质量检测)下列关于x的一元二次方程中,有两个相等的实数根的是()A.x2+1=0B.x2+x-1=0C.x2+2x-3=0D.4x2-4x+1=09.(2019河南新乡一调)若关于x的一元二次方程(x+1)(x-3)=m有实数根,则m的最小整数值为()A.-4B.-3C.-2D.4二、填空题10.(2019湖南长沙
4、)已知关于x的方程x2-3x+a=0有一个根为1,则方程的另一个根为.11.(2019河南,11,3分)若关于x的一元二次方程x2+3x-k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是.12.(2019河南濮阳一模)若关于x的一元二次方程(a-1)x2-x+1=0有实数根,则a的取值范围为.13.(2019江苏南通)若关于x的一元二次方程12x2-2mx-4m+1=0有两个相等的实数根,则(m-2)2-2m(m-1)的值为.三、解答题14.(2019黑龙江齐齐哈尔)解方程:2(x-3)=3x(x-3).15.(2019河南郑州一模)已知关于x的一元二次方程x2+2x-(m-2)=0有实数根.(1
5、)求m的取值范围;(2)若方程有一个根为x=1,求m的值及另一个根.16.(2019四川成都)若关于x的一元二次方程x2-(2a+1)x+a2=0有两个不相等的实数根,求a的取值范围.17.(2019北京)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0.(1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况;(2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根.B组提升题组一、选择题1.(2019河南平顶山第一次调研)已知关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根,若k为非负整数,则k等于()A.0B.1C.0,1D.22.(2019中原名校第二次大联考)关于x的一元二
6、次方程|m|x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是()A.-1m1B.-1m1D.m1且m03.(2019内蒙古呼和浩特)已知a2,m2-2am+2=0,n2-2an+2=0,则(m-1)2+(n-1)2的最小值是()A.6B.3C.-3D.04.(2019泰安)一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5的根的情况是()A.无实数根B.有一个正根,一个负根C.有两个正根,且都小于3D.有两个正根,且有一个根大于35.(2019乌鲁木齐)宾馆有50间房供游客居住.当每间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对
7、居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10 890元?设房价定为x元,则有()A.(180+x-20)50-x10=10 890B.(x-20)50-x-18010=10 890C.x50-x-18010-5020=10 890D.(x+180)50-x10-5020=10 890二、填空题6.(2019黔西南州)三角形的两边长分别为3、6,第三边的长是方程x2-6x+8=0的解,则此三角形的周长是.三、解答题7.(2019河南郑州二模)已知关于x的方程x2-(2k+1)x+k2+1=0.(1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围;(2)若k=4,且方程的
8、两根恰好是一个矩形的两邻边长,求该矩形的周长.8.阅读下面的材料,回答问题:解方程x4-5x2+4=0,这是一个一元四次方程,根据该方程的特点,它的解法通常是:设x2=y,那么x4=y2,于是原方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1时,x2=1,x=1;当y=4时,x2=4,x=2.原方程有四个解:x1=1,x2=-1,x3=2,x4=-2.(1)在由原方程得到方程的过程中,利用法达到的目的,体现了数学的转化思想;(2)解方程:(x2+x)2-4(x2+x)-12=0.9.(2019四川眉山)某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件
9、,每件利润10元.调查表明:生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元.(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,此批次蛋糕属第几档次产品?(2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元,该烘焙店生产的是第几档次的产品?10.(2019河南信阳一模)已知关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+3k=0.(1)求证:无论k取何实数,该方程总有实数根;(2)若等腰ABC的一边长为2,另两边长恰好是方程的两个根,求ABC的周长.11.(2019河南仿真预测)已知关于x的一元二次方程mx2-(m-1)x-1=0(m0).(1)求
10、证:方程总有实数根;(2)若RtABC的一边长为2,另两边长恰好是该方程的两个根,求RtABC的周长及此时对应的m的值.答案精解精析A组基础题组一、选择题1.C移项,得x2-4x=0,分解因式,得x(x-4)=0,解得x=4或x=0.2.Ax2-6x-6=0,x2-6x=6,x2-6x+9=6+9,(x-3)2=15.故选A.3.A4.D第一次降价后的单价为25(1-x)元,第二次降价后的单价为25(1-x)2元,25(1-x)2=16,故选D.5.A根据题意,利用平移法可得(30-3x)(24-2x)=480.故选A.6.C由题意可知x=0是关于x的一元二次方程的一个根,a2-1=0且a-1
11、0,解得a=-1.故选C.7.A原方程可化为x2+(a+1)x=0,由题意得=(a+1)2=0,解得a=-1,故选A.8.DA中,b2-4ac=02-411=-40,此方程有两个不相等的实数根;C中,b2-4ac=22-41(-3)=160,此方程有两个不相等的实数根;D中,b2-4ac=(-4)2-441=0,此方程有两个相等的实数根.故选D.9.A化简方程为x2-2x-(3+m)=0.由题意得0,即(-2)2+4(3+m)0,解得m-4,m的最小整数值是-4,故选A.二、填空题10.答案2解析设方程的另一个根为t,关于x的方程x2-3x+a=0有一个根为1,1+t=3,解得t=2.故方程的
12、另一个根为2.11.答案k-94解析根据题意得=b2-4ac=9+4k0,所以k-94.12.答案a54且a1解析关于x的一元二次方程(a-1)x2-x+1=0有实根,0,即(-1)2-4(a-1)0.解得a54.又a-10,a1.故答案为a54且a1.13.答案72解析由题意可知=4m2-2(1-4m)=4m2+8m-2=0,m2+2m=12.(m-2)2-2m(m-1)=-m2-2m+4=-12+4=72.故答案为72.三、解答题14.解析原方程可化为2(x-3)-3x(x-3)=0,整理得(x-3)(2-3x)=0,即x-3=0或2-3x=0,解得x1=3,x2=23.15.解析(1)关
13、于x的一元二次方程x2+2x-(m-2)=0有实数根,=b2-4ac=22-41-(m-2)0,解得m1.即实数m的取值范围为m1.(2)因为方程有一个根为x=1,代入原方程得1+2-(m-2)=0,得m=5.所以原方程为x2+2x-3=0,解得x1=1,x2=-3.单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一
14、石多鸟”的效果。所以此方程的另一个根为x=-3.16.解析由题意可知=-(2a+1)2-4a2=4a2+4a+1-4a2=4a+1.原方程有两个不相等的实数根,4a+10,a-14.17.解析(1)依题意,得=(a+2)2-4a=a2+40.故方程有两个不相等的实数根.(2)由题意可知,a0,=b2-4a=0.答案不唯一,如:当b=2,a=1时,方程为x2+2x+1=0,(x+1)2=0,x1=x2=-1.B组提升题组一、选择题1.B由题意得4-4k0且k0,解得k1且k0.又k为非负整数,k=1.故选B.2.B关于x的一元二次方程|m|x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,0且|m|0,即(-2)2-4|m|0且|m|0,解得-1m1,且m0,故选B.3.A由题意知m,n可看作一元二次方程x2-2ax+2=0的两个实数根,所以m+n=2a,mn=2.则(m-1)2+(n-1)2=m2+n2-2(m+n)+2=(m+n)2-2(mn+m+n)+2=4a2-4a-2=4a-122-3.因为a2,所以当a=2时,4a-122-3有最小值6,即(m-1)2+(n-1)2的最小值是6.故选A.4.
