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1、第八节 完全平方公式目标导引-1.8 完全平方公式1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力.2.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算.3.了解(a+ b)2=a2+2ab+b2 的几何背景.迁移发散 迁移 你能运用本节课知识解答下列几个题目吗？1.已知：a+b=-5,ab=-6, 求 a2+b2.点拨：同时存在 a+b,ab,a2+b2 的公式为完全平方公式( a+b)2=a2+2ab+b2，将题目中所给条件分别看作整体，代入公式即可.注意：.不要分别求出 a 和 b，运算繁琐.若已知 a+b（或 a-b）,ab,a 2+b2 中的二者，都可利用完全平方公式求出第三
2、者.解：a 2+b2=(a+b)2-2ab当 a+b=-5,ab=-6 时原式=(-5) 2-2(-6)=25+12=37.2.利用公式计算：99 2-1点拨：可分别用完全平方公式或平方差公式两种方法得到相同的答案.解法一：利用完全平方公式992-1=(100-1)2-1=1002-21001+1-1=10000-200=9800解法二：用平方差公式第十三课时课 题1.8.1 完全平方公式(一)教学目标(一)教学知识点1.完全平方公式的推导及其应用.2.完全平方公式的几何背景.(二)能力训练要求1.经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力.2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他
3、们有条理的思考和表达能力.(三)情感与价值观要求1.了解数学的历史，激发学习数学兴趣.2.鼓励学生自己探索算法的多样化，有意识地培养学生的创新能力.教学重点1.完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.2.完全平方公式的应用.教学难点1.完全平方公式的推导及其几何解释.2.完全平方公式结构特点及其应用.教学方法自主探索法学生在教师的引导下自主探索完全平方公式的几何解释、代数运算角度的推理，揭示其结构特点，然后达到合理、熟练地应用.教具准备投影片四张第一张：试验田的改造，记作(1.8.1 A)第二张：想一想，记作(1.8.1 B)第三张：例题，记作(1.8.1 C)第四张：补充练习，
4、记作( 1.8.1 D)教学过程.创设问题情景，引入新课师去年，一位老农在一次“科技下乡”活动中得到启示，将一块边长为 a 米的正方形农田改成试验田，种上了优质的杂交水稻，一年来，收益很大.今年，又一次“科技下乡”活动，使老农铁了心，要走科技兴农的路子，于是他想把原来的试验田，边长增加 b 米，形成四块试验田，种植不同的新品种.同学们，谁来帮老农实现这个愿望呢？(同学们开始动手在练习本上画图，寻求解决的途径)生我能帮这位爷爷.师你能把你的结果展示给大家吗？生可以.如图 125 所示，这就是我改造后的试验田，可以种植四种不同的新品种.图 125师你能用不同的方式表示试验田的面积吗？生改造后的试验
5、田变成了边长为(a+ b)的大正方形，因此，试验田的总面积应为(a+b)2.生也可以把试验田的总面积看成四部分的面积和即边长为 a 的正方形面积，边长为 b 的正方形的面积和两块长和宽分别为 a 和 b 的面积的和.所以试验田的总面积也可表示为 a2+2ab+b2.师很 好 ！ 同 学 们 用 不 同 的 形 式 表 示 了 这 块 试 验 田 的 总 面 积 ， 进 行 比 较 ， 你 发 现了 什 么 ？生可以发现它们虽形式不同，但都表示同一块试验田的面积，因此它们应该相等.即(a +b)2=a2+2ab+b2师我们这节课就来研究上面这个公式完全平方公式.讲授新课1.推导完全平方公式师我们
6、通过对比试验田的总面积得出了完全平方公式(a+b) 2=a2+2ab+b2.其实，据有关资料表明，古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国人也是通过类似的图形认识了这个公式.我们姑且把这种方法看作对完全平方公式的一个几何解释.能不能从代表运算的角度也能推导出这样的公式呢？(出示投影片1.8.1 A)想一想：(1)(a+b)2 等于什么？你能用多项式乘法法则说明理由吗？(2)(ab )2 等于什么？你是怎样想的.(同学们可先在自己的练习本上推导，教师巡视推导的情况，对较困难的学生以启示)生用多项式乘法法则可得(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+
7、2ab+b2所以(a+b) 2=a2+2ab+b2 (1)师上面的几何解释和代数推导各有什么利弊？生几何解释完全平方公式给我们以非常直观的认识，但几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2,受到了条件限制 :a0 且 b0;代数推导完全平方公式虽然不直观，但在推导的过程中，a,b 可以是正数，可以是负数，零，也可以是单项式,多项式.师同学们分析得很有道理.接下来，我们来完成第(2)问.生也可利用多项式乘法法则，则(ab) 2=(ab)(ab)=a2 abba+b 2=a22ab+ b2.生我是这样想的，因(a+b) 2=a2+2ab+b2 中的 a、b 可以是任意数或单项式、多项式.我们用“b”
8、代替公式中的“b”,利用上面的公式就可以得到(ab) 2=a+( b) 2.师这位同学的想法很好.因为他很留心我们表述的每一句话的含义，你能继续沿着这个思路做下去吗？我们一块试一下.师生共析(ab) 2=a+(b) 2=a2+2a(b)+( b) 2 (a +b)2=a2+2a b + b2=a22ab+b 2.于是，我们得到又一个公式：(ab) 2=a22ab+b 2 (2)师你能用语言描述上述公式(1)、(2)吗？生公式(1)用语言描述为：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们积的2 倍的和；公式(2) 用语言描述为：两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们积的2 倍的差.这两个公式
9、为完全平方公式.它们和平方差公式一样可以使整式的运算简便.2.应用、升华出示投影片(1.8.1 B)例 1利用完全平方公式计算：(1)(2x3) 2;(2)(4x+5y)2;(3)(mn a)2.分 析 ： 利 用 完 全 平 方 公 式 计 算 ， 第 一 步 先 选 择 公 式 ； 第 二 步 ， 准 确 代 入 公 式 ； 第 三步 化 简 .解：(1)方法一：例 2利用完全平方公式计算(1)(x+2y) 2;(2)(x y )2;(3)(x+y z)2;(4)(x+y)2(xy) 2;(5)(2x3y) 2(2x+3y)2.分析：此题需灵活运用完全平方公式，(1)题可转化为(2 yx)
10、 2 或( x2y) 2,再运用平方差公式；(2)题需转化为(x +y)2,利用和的完全平方公式；(3) 题利用加法结合律变形为(x+y)z 2(或x+( yz) 2、 (x z)+y 2),再用完全平方公式计算；(4)题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算.(5)题可先逆用幂的运算性质变形，再用平方差公式和完全平方公式.解：(1)方法一：(x +2y)2=(2yx )2=4y24xy+x 2；方法二：(x+2y) 2=(x2y) 2=(x2y) 2=x24xy+4y 2.(2)(xy) 2= (x+y) 2=(x+y)2=x2+2xy+y2.(3)(x+y z)2=(
11、x+ y)z 2=(x+y)22(x+y)z+ z2=x2+y2+z2+2xy2zx2yz .(4)方法一：(x+y )2(xy )2=(x2+2xy+y2)(x 22xy+ y2)=4xy.方法二：(x+ y)2(x y )2=(x+y)+(xy ) (x+y) (xy)=4 xy.(5)(2x3y) 2(2x+3y)2=(2x 3y)(2x+3y) 2=4x 29y 2 2=16x472x 2y2+81y4.随堂练习课本 P34，1.计算：(1)( x2y) 2;(2)(2xy+ x)2;151(3)(n+1)2n 2.解：(1)( x2y) 2=( x)22 x2y+(2y)2= x22
12、xy+4y 241(2)(2xy+ x)2=(2xy)2+22xy x+( x)2=4x2y2+ x2y+ x251515(3)方法一：(n+1) 2n 2=n2+2n+1n 2=2n+1.方法二：(n+1) 2n 2=(n+1)+n ( n+1)n=2n+1.课后作业1.课本 P36.习题 1.13 的第 1、2、3 题.2.阅读“读一读” ，并回答文章中提出的问题.活动与探究甲、乙两人合养了 n 头牛，而每头牛的卖价恰为 n 元.全部卖完后两人分钱方法如下：先由甲拿 10 元，再由乙拿 10 元，如此轮流，拿到最后剩下不足十元，轮到乙拿去，为了平均分配，甲应该补给乙多少元钱？过程因牛 n
13、头，每头卖 n 元，故共卖得 n2 元.令 a 表示 n 的十位以前的数字，b 表示 n 的个位数字.即 n=10a+b,于是 n2=(10a+b)2=100a2+20ab+b2=102a(5a+b)+b2.因甲先取 10 元，而乙最后一次取钱时不足 10 元，所以 n2 中含有奇数个 10 元，以及最后剩下不足 10 元.但 102a(5a+b)中含有偶数个 10 元，因此 b2 中必含有奇数个 10 元，且 b0,b0,所以 2ab0.由 此 可 知 这 些 孩 子 第 三 天 得 到 的 糖 果 数 比 前 两 天 他 们 得 到 的 糖 果 总 数 要 多 ， 多 2ab块 糖 果 .
14、师为什么会多出 2ab 块糖果呢？同学们可分组讨论多出 2ab 块糖的原因.(老师可参与到学生的讨论，撞击他们思想的火花)生对于 a 个男孩来说，每个男孩第三天得到的糖果数是(a+b) 块，每个男孩比第一天多 b 块，一共多了 ab 块；同理可知这 b 个女孩第三天得到的糖果总数比第二天也多了 ab 块.因此，这些孩子第三天得到的糖果数与前两天相比，共计多出了 2ab 块.师不错！而这个游戏又充分说明了(a+ b)2 与 a2+b2 的关系，即( a+b)2a 2+b2.下面我们再来看一个例题，你会有更多的发现.出示投影片(1.8.2 C)例 2利用完全平方公式计算：(1)1022；(2)19
15、7 2.如果直接计算 1022，197 2 会很繁.根据题目的提示使我们想到 1022 可以写成(100+2)2，197 2 可以写成(2003) 2，这样计算起来会简单的多，我们不妨试一试 .生解：(1)102 2=(100+2)2=1002+22100+22=10000+400+4=10404.(2)1972=(200 3)2=200223200+3 2=400001200+9=38809师我们可以发现运用完全平方公式进行一些有关数的运算会很简便，也更进一步体会到符号运算对解决问题的作用.下面我们再来看一个例题(出示投影片 1.8.2 D)例 3计算：(1)(x+3)2x 2;(2)(a+b+3)(a+b3);(3)(x+5)2( x2)(x 3).分析：(1)题可用完全平方公式计算，也可以逆用平方差公式计算；(2) 题虽然每个因式含有三项，但可以利用加法的结合律整理成能用平方差公式计算的多项式相乘的形式；(3)题要注意运算顺序，减号后面的积算出来一定先放在括号里，然后再去括号，就可以避免符号上面出错.注意要为学生提供充分交流的机会.解：(1)方法一：(x +3)2x 2=x2+6x+9x 2运用完全平方公
