《2019春九年级数学下册 28 锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2 小结学案 （新版）新人教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019春九年级数学下册 28 锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2 小结学案 （新版）新人教版（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、小结学习目标1.复习本章的重点内容,整理本章知识,形成知识体系;2.熟练掌握直角三角形的解法,并用相关知识解决一些简单的实际问题,进一步加深对锐角三角函数的认识.学习过程第一层学习:知识回顾一、锐角三角函数定义1.当锐角大小确定后,它所在的直角三角形每两边所构成的比都是确定的值.2.在RtABC中,C=90,A,B,C的对边分别为a,b,c,如图所示.我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦,记作sin A,即sin A=;我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦,记作cos A,即cos A=;我们把锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切,记作tan A,即tan A=.3.锐角A的都叫做A的锐
2、角三角函数.三角函数的实质是一些比,这些比只与角的大小有关,当角的大小确定时,它的三角函数值就确定了,也就是说三角函数值随的变化而变化.二、特殊角的三角函数值锐角A锐角三角函数304560sin Acos Atan A三、解直角三角形1.一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中的,求出的过程,叫做解直角三角形.2.直角三角形中的边角关系:(1)三边之间关系:;(2)两锐角之间关系:;(3)边角之间关系:.3.解直角三角形的类型及步骤:图形已知类型已知条件解法步骤两边斜边,一直角边(如c,a)(1)b=c2-a2(2)由sin A=ac求(3)B=两直角边
3、(a,b)(1)c=(2)由tan A=ab求(3)B=90-A一边一角斜边,一锐角(如c,A)(1)B=90-(2)由sin A=ac,得a=csin A(3)由cos A=bc,得b=一直角边,一锐角(如a,A)(1)B=90-A(2)由tan A=ab,得b=(3)由sin A=ac,得c=四、解直角三角形的应用举例解决步骤:1.将实际问题抽象成数学问题(画出,将其转化为解直角三角形的问题);2.根据问题中的条件,适当选用解直角三角形;3.得到问题的答案;4.得到实际问题的.第二层学习:典例剖析1.锐角三角函数的概念【例1】如图,在RtABC中,C=90,D为AC上的一点,CD=3,AD
4、=BD=5.求A的三个三角函数值.【思路点拨】在RtBCD中由勾股定理求得BC=4,在RtABC中求得AB=45,再根据三角函数的定义求解可得.解:2.锐角三角函数的性质【例2】当A为锐角,且12cosA32时,A的范围是()A.0A30B.30A60C.60A90D.30A45【思路点拨】根据锐角的余弦值随着角度的增大而减小进行解答.解析:【例3】在ABC中,C=90,sin A=14,则tan B=.【思路点拨】先根据互余两角三角函数关系得到cos B,再根据同角三角函数之间的关系得到sin B,最后根据tan B=sinBcosB求出结果.解析:3.特殊角的三角函数值【例4】计算:12-
5、1-2tan 45+4sin 60-12.【思路点拨】根据特殊角的三角函数值和负整数指数的意义求出每项的值,再进行加减运算得到结果.解:4.解直角三角形【例5】如图,在ABC中,AD是边BC上的高,AC=BD,已知sin C=1213,BC=12,求AD的长.【思路点拨】根据直角三角形中的边角关系,确定线段AD、AC之间的数量关系;根据勾股定理列出关于线段AC、AD、DC的方程,即可解决问题.解:5.解直角三角形的实际应用【例6】如图,点A、B为地球仪的南、北极点,直线AB与放置地球仪的平面交于点D,所成的角度约为67,半径OC所在的直线与放置平面垂直,垂足为点E.DE=15 cm,AD=14
6、 cm.求半径OA的长.(精确到0.1 cm)(参考数据:sin 670.92,cos 670.39,tan 672.36)【思路点拨】在RtODE中,DE=15,ODE=67,根据ODE的余弦值,即可求得OD长,减去AD即为OA.解:【例7】如图,长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452 m,是目前湖南省第一高楼,和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340 m,为了测量高楼BC上发射塔AB的高度,在楼DE底端D点测得A的仰角为,sin =2425,在顶端E点测得A的仰角为45,求发射塔AB的高度.【思路点拨】作EHAC于H,设AC=24x,根据正弦的定义求出AD,根据勾股定理求出CD,根据题
7、意列出方程求出x,结合图形计算即可.解:评价作业(满分100分)1.(6分)如图所示,在ABC中,C=90,AB=5,BC=3,则cos A的值是()A.34B.43C.35D.452.(6分)如图所示,已知RtABC中,C=90,AC=4,tan A=12,则BC的长是()A.2B.8C.25D.453.(6分)如图所示,网格中,小正方形的边长均为1,ABC的顶点是正方形网格的格点,则sin A的值为()A.12B.55C.1010D.2554.(6分)如图所示的是以ABC的边AB为直径的半圆O,点C恰好在半圆上,过C作CDAB交AB于D.已知cosACD=35,BC=4,则AC的长为()A
8、.1B.203C.3D.1635.(6分)如图所示,在塔AB前的平地上选择一点C,测出看塔顶的仰角为30,从C点向塔底B走100米到达D点,测出看塔顶的仰角为45,则塔AB的高为()A.503米B.1003米C.1003+1米D.1003-1米6.(8分)如图所示,RtABC中,C=90,B=30,BC=6,则AB的长为. 7.(8分)在ABC中,如果A,B满足|tan A-1|+cosB-122=0,那么C=. 8.(8分)如图所示,点A(t,3)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为,tan =32,则t的值是.A.1B.1.5C.2D.39.(8分)如图所示,一渔船由西往东航行,在A点测得海
9、岛C位于北偏东60的方向,前进20海里到达B点,此时,测得海岛C位于北偏东30的方向,则海岛C到航线AB的距离CD等于海里. 10.(10分)计算.(1)8-(2 015-)0-4cos 45+(-3)2;(2)(-1)2 015+sin 30+(2-3)(2+3).11.(8分)如图所示,在RtABC中,BAC=90,点D在BC边上,且ABD是等边三角形.若AB=2,求ABC的周长.(结果保留根号)12.(8分)如图所示,某河堤的横断面是梯形ABCD,BCAD,迎水坡AB长13米,且tanBAE=125,求河堤的高BE是多少.13.(12分)如图所示,O的直径AB垂直于弦CD,过点C的切线与
10、直径AB的延长线相交于点P,连接PD.(1)求证:PD是O的切线.(2)求证:PD2=PBPA.(3)若PD=4,tanCDB=12,求直径AB的长.参考答案学习过程第一层学习:知识回顾一、1.唯一2.acbcab3.正弦、余弦、正切角度二、特殊角的三角函数值锐角A锐角三角函数304560sin A122232cos A322212tan A3313三、解直角三角形1.已知元素其余元素2.(1)a2+b2=c2(勾股定理)(2)A+B=90;(3)sin A=ac,cos A=bc,tan A=ab.3.解直角三角形的类型及步骤:A90-Aa2+b2AAccos AatanAasinA四、解直
11、角三角形的应用举例1.示意图2.锐角三角函数3.数学4.答案第二层学习:典例剖析1.锐角三角函数的概念【例1】解:在RtBCD中,CD=3、BD=5,BC=BD2-CD2=52-32=4,又AC=AD+CD=8,AB=AC2+BC2=82+42=45,则sin A=BCAB=445=55,cos A=ACAB=845=255,tan A=BCAC=48=12.2.锐角三角函数的性质【例2】解析:cos 60=12,cos 30=32,30A60.故选:B.【例3】解析:sin A=14,cos B=sin A=14,sin B=1-cos2B=1-142=154,tan B=sinBcosB=
12、15.故答案为:15.3.特殊角的三角函数值【例4】解:原式=2-21+432-23=2-2+23-23=0.4.解直角三角形【例5】解:ADBC,ADC为直角三角形;故sin C=ADAC=1213,设AD=12k,则AC=13k;AC=BD,DC=BC-BD=12-13k;由勾股定理得:(13k)2=(12k)2+(12-13k)2,整理得:6k2-13k+6=0,解得k=23或32;AD=8,或AD=18(不合题意,舍去),故AD=8.5.解直角三角形的实际应用【例6】解:在RtODE中,DE=15,ODE=67,cosODE=DEDO,OD150.3938.46(cm),OA=OD-A
13、D38.46-1424.5(cm).答:半径OA的长约为24.5 cm.【例7】解:作EHAC于H,则四边形EDCH为矩形,EH=CD,设AC=24x,在RtADC中,sin =2425,AD=25x,由勾股定理得,CD=AD2-AC2=7x,EH=7x,在RtAEH中,AEH=45,AH=EH=7x,由题意得,24x=7x+340,解得,x=20,则AC=24x=480,AB=AC-BC=480-452=28,答:发射塔AB的高度为28 m.评价作业1.D2.A3.B4.D5.D6.47.758.29.10310.解:(1)原式=22-1-22+9=8.(2)原式=-1+12+1=12.11.解:ABD是等边三角形,B=60,BAC=90,C=180-90-60=30,AB=2,BC=2AB=4,在RtABC中,由勾股定理得AC=BC2-AB2=42-22=23,ABC的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23.12.解:因为tanBAE=125,所以设BE=12x,则AE=5x.在RtABE中,由勾股定理知AB2
