《2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案：2.2.2 事件的独立性 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案：2.2.2 事件的独立性 （9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、22.2 事件的独立性 对应学生用书P28 甲箱里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱里装有 2 个白球、2 个黑球从这两个箱子里分 别摸出 1 个球，记事件 A 为“从甲箱里摸出白球” ，B 为“从乙箱里摸出白球” 问题 1：事件 A 发生会影响事件 B 发生的概率吗？ 提示：不影响 问题 2：试求 P(A)、P(B)、P(AB) 提示：P(A) ，P(B) ，P(AB). 3 5 1 2 3 2 5 4 3 10 问题 3：P(B|A)与 P(B)相等吗？ 提示：因为 P(B|A) ， PA B PA 3 10 3 5 1 2 所以 P(B|A)与 P(B)相等 问题 4：P(AB)与 P(
2、A)P(B)相等吗？ 提示：因为 P(B|A)P(B)， PA B PA 所以 P(AB)与 P(A)P(B)相等 1相互独立事件的概念 若事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响，即 P(B|A)P(B)，则称两个事件 A，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件 2相互独立事件的性质 如果事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与 ， 与 B， 与 也都相互独立 BAAB 3相互独立事件同时发生的概率公式 如果事件 A 与 B 相互独立，那么 P(AB)P(A)P(B) 1事件 A 与 B 相互独立就是事件 A 的发生不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生 不影响事件 A
3、发生的概率 2当事件 A 与事件 B 相互独立，且 P(A)0，P(B)0 时，有 P(B|A)P(B)，P(A|B) P(A) 3两个事件 A，B 相互独立的充要条件是 P(AB)P(A)P(B) 注意：独立事件是依据事件之间的相互关系对事件进行区别划分的一种方式事件的 独立性既可以指两个事件之间的独立关系，也可以指多个事件之间的独立关系 对应学生用书P29 事件独立性的判断 例 1 容器中盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球 (1)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个， 取出的是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？ (2)“从 8 个
4、球中任意取出 1 个，取出的是白球”与“把取出的 1 个白球放回容器，再 从容器中任意取出 1 个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？ 思路点拨 利用相互独立事件的定义判断 精解详析 (1)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”记为事件 A， “从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”记为事件 B， 则 P(A) ，P(B) ， 5 8 5 8 4 7 3 8 5 7 5 8 P(AB). 5 4 8 7 5 14 因为 P(AB)P(A)P(B)，所以二者不是相互独立事件 (2)因为把取出的白球放回容器，所以对“从中任意取出 1 个，取出的是黄球”的概率 没
5、有影响，所以二者是相互独立事件 一点通 判断两个事件是否相互独立的方法： (1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响 (2)定义法：如果事件 A，B 同时发生的概率等于事件 A 发生的概率与事件 B 发生的概 率的积，则事件 A，B 为相互独立事件 (3)条件概率法：当 P(A)0 时，可用 P(B|A)P(B)判断 1下列事件中，A，B 是相互独立事件的是( ) A一枚硬币掷两次，A第一次为正面，B第二次为反面 B袋中有 2 白，2 黑的小球，不放回地摸两球，A第一次摸到白球，B第二次 摸到白球 C掷一枚骰子，A出现点数为奇数，B出现点数为偶数 DA人能活到 20 岁，B
6、人能活到 50 岁 解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故 A 是独立事件；B 中是不放回地摸球，显然 A 事件与 B 事件不相互独立；对于 C，A，B 应为 互斥事件，不相互独立； D 是条件概率，事件 B 受事件 A 的影响 答案：A 2分别抛掷两颗质地均匀的骰子，A第一颗骰子出现奇数点，B第二颗骰子出 现偶数点，判定事件 A，B 是否相互独立 解：分别掷两颗质地均匀的骰子，则 A第一颗骰子出现 1,3,5 点，共有 3 种结果 B第二颗骰子出现 2,4,6 点，共有 3 种结果AB第一颗骰子出现奇数点，第 二颗骰子出现偶数点，共有 C C 9 种结果 1
7、 31 3 由于每种结果的出现均是等可能的，由古典概型的有关知识可知 P(A) ，P(B) 3 6 1 2 ，P(AB) . 3 6 1 2 C1 3C1 3 C1 6C1 6 9 36 1 4 所以 P(AB)P(A)P(B)，即事件 A、事件 B 相互独立. 相互独立事件同时发生的概率 例 2 某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率： 语文为 0.9，数学为 0.8，英语为 0.85，求： (1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？ (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？ 思路点拨 明确已知事件的概率及其关系，把待求事件的概率表示成已知事件的概 率，再选择
8、公式计算 精解详析 分别记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件为 A，B，C，则 A，B，C 两两相互独立且 P(A)0.9，P(B)0.8，P(C)0.85. (1)“三科成绩均未获得第一名”可以用， 表示，P( )P( )P( )P( ) ABCABCABC 1P(A)1P(B)1P(C) (10.9)(10.8)(10.85)0.003， 即三科成绩均未获得第一名的概率是 0.003. (2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用( BC)(A C)(AB )表示 ABC 由于事件 BC，A C 和 AB 两两互斥， ABC 根据概率加法公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为
9、P( BC)P(A C)P(AB ) ABC P( )P(B)P(C)P(A)P( )P(C)P(A)P(B)P( ) ABC 1P(A)P(B)P(C)P(A)1P(B)P(C)P(A)P(B)1P(C) (10.9)0.80.850.9(10.8)0.850.90.8(10.85)0.329， 即恰有一科成绩未获得第一名的概率是 0.329. 一点通 1公式 P(AB)P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件 A1，A2，An相互独立， 那么这 n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即 P(A1A2An) P(A1)P(A2)P(An) 2求相互独立事件同时发生的概率的步
10、骤： (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件发生的概率，再求其积 3制造一种零件，甲机床的正品率是 0.96，乙机床的正品率是 0.95，从它们制造的产 品中各任意抽取一件，则两件都是正品的概率是_ 解析：用 A 表示从甲机床制造的产品中抽得正品，用 B 表示从乙机床制造的产品中抽 得正品由题意得，A，B 是相互独立事件，故 P(A B)P(A)P(B)0.960.950.912. 答案：0.912 4三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为 ，假设他们破译密 1 5 1 3 1 4 码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为_ 解析
11、：用 A，B，C 分别表示甲、乙、丙三人破译出密码， 则 P(A) ，P(B) ，P(C) ， 1 5 1 3 1 4 且 P( )P( )P( )P( ) . ABCABC 4 5 2 3 3 4 2 5 所以此密码被译出的概率为 1 . 2 5 3 5 答案： 3 5 5红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A，B，C 进行围棋比赛，甲对 A，乙对 B，丙对 C 各一盘已知甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互 独立，求红队至少两名队员获胜的概率 解：记甲胜 A、乙胜 B、丙胜 C 分别为事件 D，E，F，则甲不胜 A、乙不胜 B、丙不 胜 C 分
12、别为事件 ， .根据各盘比赛结果相互独立，可得红队至少两名队员获胜的概率 D EF 为 PP(DE )P(D F)P( EF)P(DEF) FED P(D)P(E)P( )P(D)P( )P(F)P( )P(E)P(F)P(D)P(E)P(F) FED 0.60.5(10.5)0.6(10.5)0.5(10.6)0.50.50.60.50.50.55. 相互独立事件概率的实际应用 例 3 (10 分)三个元件 T1，T2，T3正常工作的概率分别为 ，将它们中的某两个 1 2 3 4 3 4 元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率 思路点拨 记三个元件 T1，T2
13、，T3正常工作分别为事件 A1，A2，A3，再把不发生故 障的事件表示为(A2A3)A1，最后由相互独立事件、对立事件、互斥事件的概率公式求概 率 精解详析 记“三个元件 T1，T2，T3正常工作”分别为事件 A1，A2，A3，则 P(A1) ，P(A2) ，P(A3) .(4 分) 1 2 3 4 3 4 不发生故障的事件为(A2A3)A1，(6 分) 故不发生故障的概率为 PP(A2A3)A1 P(A2A3)P(A1) 1P( 2)P(3)P(A1) AA .(10 分) (1 1 4 1 4) 1 2 15 32 一点通 解决此类问题应注意： (1)恰当用事件的“并” “交”表示所求事件
14、； (2)“串联”时系统无故障易求概率， “并联”时系统有故障易求概率，求解时注意对 立事件概率之间的转化 6如图，A，B，C 表示 3 个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为 0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性为( ) A0.054 B0.994 C0.496 D0.06 解析：记三个开关都正常工作分别为事件 A，B，C，则 P(A)0.9，P(B)0.8，P(C) 0.7. 三个开关同时出现故障的事件为 ，则此系统正常工作的概率为 ABC P1P( )1P( )P( )P( )10.10.20.30.994. ABCABC 答案：B 7某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，
15、能正确回答问题者进入下一轮考核， 否则即被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为 ，且各轮问 4 5 3 5 2 5 题能否正确回答互不影响求该选手被淘汰的概率 解：记事件“该选手能正确回答第 i 轮的问题”为 Ai(i1,2,3) ，则 P(A1) ，P(A2) 4 5 ，P(A3) . 3 5 2 5 法一：该选手被淘汰的概率为 P( 1)P(A12)P(A1A23) A A A P( 1)P(A1)P(2)P(A1)P(A2)P(3) A A A . 1 5 4 5 2 5 4 5 3 5 3 5 101 125 法二：该选手被淘汰的概率为 1P(A1A2A3)1 . 4 5 3 5 2 5 101 125 1
