《2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.5.2 离散型随机变量的方差和标准差 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学苏教版选修2-3教学案：2.5.2 离散型随机变量的方差和标准差 （9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、25.2 离散型随机变量的方差和标准差 对应学生用书P41 A，B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表： A 机床 次品数 X10123 P0.70.20.060.04 B 机床 次品数 X20123 P0.80.060.040.10 问题 1：试求 E(X1)，E(X2) 提示：E(X1)00.710.220.0630.040.44. E(X2)00.810.0620.0430.100.44. 问题 2：由 E(X1)和 E(X2)的值说明了什么？ 提示：E(X1)E(X2) 问题 3：试想利用什么指标可以比较加工质量？ 提示：样本方差 1离散型随机变量的方
2、差和标准差 (1)离散型随机变量的方差 定义：设离散型随机变量 X 的均值为 ， 其概率分布为 Xx1x2 xn Pp1p2 pn 则(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn(其中 pi0，i1,2，n，p1p2pn1)称为离散型随机变量 X 的方差，也称为 X 的概 率分布的方差，记为 V(X)或 2. 变形公式：V(X)pi2. n i1 x 2 i 意义：方差刻画了随机变量 X 与其均值 的平均偏离程度 (2)离散型随机变量的标准差 X 的方差 V(X)的算术平方根称为 X 的标准差，即 . VX 2两点分布、超几何分布、二项分布的方差 (1)若 X01 分布，则 V(X)p(1p)；
3、 (2)若 XH(n，M，N)，则 V(X)； nMNMNn N2N1 (3)若 XB(n，p)，则 V(X)np(1p) 1随机变量的方差是常数，它和标准差都反映了随机变量 X 取值的稳定性和波动、 集中与离散程度V(X)越小，稳定性越高，波动越小 2随机变量的方差与样本方差的关系：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常 数，是不随抽样样本变化而客观存在的；样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化 的对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差 对应学生用书P41 方差和标准差的计算 例 1 已知随机变量 X 的概率分布为 X01x P 1 2 1 3 p 若 E(
4、X) ，求 V(X) 2 3 思路点拨 解答本题可先根据 i1 求出 p 值，然后借助 E(X) ，求出 x 的取值， n i1 p 2 3 最后代入公式求方差 精解详析 由 p1，得 p . 1 2 1 3 1 6 又 E(X)0 1 x ，x2. 1 2 1 3 1 6 2 3 V(X) 2 2 2 . (0 2 3) 1 2 (1 2 3) 1 3 (2 2 3) 1 6 5 9 一点通 求方差和标准差的关键是求分布列，只要有了分布列，就可以依据定义求 得数学期望，进而求得方差或标准差 1已知 X 的概率分布为 X1234 P0.30.20.20.3 则 V(X)_. 解析：E(X)10
5、.320.230.240.3 0.30.40.61.22.5. V(X)0.3(12.5)20.2(22.5)20.2(32.5)20.3(42.5)21.45. 答案：1.45 2有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，有放回地任取 3 件，若 X 表示取到次 品的次数，则 V(X)_. 解析：由题意知取到次品的概率为 ，XB，V(X)3 . 1 4 (3， 1 4) 1 4 (1 1 4) 9 16 答案：. 9 16 数学期望和方差的实际应用 例 2 某投资公司在 2014 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上，现有两 个项目供选择： 项目一：新能源汽车据市场调研，
6、投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能 亏损 15%，且这两种情况发生的概率分别为 和 ； 7 9 2 9 项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能亏损 30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 ， 和. 3 5 1 3 1 15 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由 思路点拨 分别计算项目一、二中获利的期望与方差后，作出判断 精解详析 若按“项目一”投资，设获利 X1万元， 则 X1的分布列为 X1300150 P 7 9 2 9 E(X1)300 (150) 200(万元) 7 9 2 9 若按“项目二”投资
7、，设获利 X2万元， 则 X2的分布列为 X25003000 P 3 5 1 3 1 15 E(X2)500 (300) 0200(万元) 3 5 1 3 1 15 V(X1)(300200)2 (150200)2 35 000， 7 9 2 9 V(X2)(500200)2 (300200)2 (0200)2140 000， 3 5 1 3 1 15 E(X1)E(X2)，V(X1)V(X2)， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资 一点通 离散型随机变量的数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，而方 差反映了离散型随机变量取值的稳定与
8、波动、集中与离散的程度因此在实际决策问题中， 需先运算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳 定，当然不同的模型要求不同，应视情况而定 3甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是 0.51，乙每局赢的概率是 0.49.甲、乙一共进行 了 10 局比赛，当各局比赛的结果是相互独立时，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少 局谁的技术比较稳定？ 解：用 X 表示 10 局中甲赢的局数，则 XB (10,0.51)，故 E(X)100.515.1，即甲 平均赢 5.1 局 用 Y 表示 10 局中乙赢的局数，则 YB(10,0.49) 故 E(Y)100.494.9，于是乙平均赢 4
9、.9 局 又 V(X)100.510.492.499， V(Y)100.490.512.499. 所以他们技术的稳定性一样. 数学期望、方差、概率分布的综合应用 例 3 在一个不透明的纸袋里装有 5 个大小相同的小球，其中有 1 个红球和 4 个黄球， 规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球 次数 X 的数学期望和方差 思路点拨 确定X 的取值 计算 概率 列出概率 分布表 求EX， VX 精解详析 X 可能取的值为 1,2,3,4,5. P(X1) ， 1 5 P(X2) ， 4 5 1 4 1 5 P(X3) ， 4 5 3 4 1 3 1 5 P(
10、X4) ， 4 5 3 4 2 3 1 2 1 5 P(X5) 1 . 4 5 3 4 2 3 1 2 1 5 X 的概率分布为 X12345 P0.20.20.20.20.2 由定义知，E(X)0.2(12345)3， V(X)0.2(2212021222)2. 一点通 求离散型随机变量 X 的均值与方差的基本步骤： (1)理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值； (2)求 X 取每个值的概率； (3)写出 X 的概率分布； (4)由均值的定义求 E(X)； (5)由方差的定义求 V(X) 4把本例中的条件改为“若摸出一球观察颜色后放回，摸球 5 次，求摸出红球的次数 Y 的数学期望和方
11、差 ” 解：由题意知 YB(5， )， 1 5 E(Y)5 1， 1 5 V(Y)5 (1 ) . 1 5 1 5 4 5 5甲，乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为 0.6，被甲或乙 解出的概率为 0.92， (1)求该题被乙独立解出的概率； (2)求解出该题的人数 X 的数学期望和方差 解：(1)记甲、乙分别解出此题的事件记为 A，B. 设甲独立解出此题的概率为 P1，乙为 P2， 则 P(A)P10.6，P(B)P2， P(AB)1P()1(1P1)(1P2) AB P1P2P1P20.92， 0.6P20.6P20.92. 则 0.4P20.32 即 P20.8. (
12、2)P(X0)P( )P( )0.40.20.08， AB P(X1)P(A)P( )P( )P(B) BA 0.60.20.40.80.44， P(X2)P(A)P(B)0.60.80.48. X 的概率分布为 X012 P0.080.440.48 E(X)00.0810.4420.480.440.961.4， V(X)(01.4)20.08(11.4)20.44(21.4)20.480.156 80.070 40.172 80.4. 1已知随机变量的概率分布，求它的数学期望、方差(或标准差)，可直接由定义(公式)求 解 2已知随机变量 X 的数学期望、方差，求 X 的线性函数 yaXb 的
13、数学期望和方差， 可直接用 X 的数学期望，方差的性质求解，即 E(aXb)aE(X)b，V(aXb)a2V(X) 3若能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布，则可直接用它们的数学期望、 方差公式计算 对应课时跟踪训练(十六) 一、填空题 1已知 X 的概率分布为 X123 Pa0.10.6 则 V(X)_. 解析：a0.10.61，a0.3. E(X)10.320.130.62.3. V(X)(12.3)20.3(22.3)20.1(32.3)20.60.81. 答案：0.81 2一批产品中，次品率为 ，现有放回地连续抽取 4 次，若抽的次品件数记为 X，则 1 4 V(X)的值为_ 解
14、析：由题意，次品件数 X 服从二项分布，即 XB(4， )，故 V(X)np(1p) 1 4 4 . 1 4 3 4 3 4 答案： 3 4 3已知 XB(n，p)，且 E(X)7，V(X)6，则 p_. 解析：E(X)np7，V(X)np(1p)6， 1p ，即 p . 6 7 1 7 答案： 1 7 4已知随机变量 X 的概率分布为 X01x P 1 5 p 3 10 且 E(X)1.1，则 V(X)的值为_ 解析：由随机变量分布列的性质可得 p1 .又 E(X) 1 5 3 10 1 2 0 1 x1.1，解得 x2，可得 V(X)(01.1)2 (11.1)2 (21.1) 1 5 1 2 3 10 1 5 1 2 2 0.49. 3 10 答案：0.49 5篮球比赛中每次罚球命中得 1 分，不中得 0 分已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他一次罚球得分的方差为_ 解析：设一次罚球得分为 X，X 服从两点分布，即 X01 P0.30.7 所以 V(X)p(1p)0.70.30.21. 答案：0.21 二、解答题 6有 10 张卡片，其中 8 张标有数字 2,2 张标有数字 5，从中随机地抽取 3 张卡片，设 3 张卡片数字之和为 X，求 E(X)和 V(X)
