《2018版高中数学人教B版必修一学案：2.2.2 二次函数的性质与图象 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修一学案：2.2.2 二次函数的性质与图象 （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2.2 二次函数的性质与图象二次函数的性质与图象 学习目标 1.会用“描点法”作出 yax2bxc(a0)的图象.2.通过图象研究二次函数的 性质.3.掌握研究二次函数常用的方法配方法.4.会求二次函数在闭区间上的最值(值域). 知识链接 函数 yx22x2(x1)21，它的顶点坐标为(1,1)，对称轴为直线 x1，单调递增区间 为(1，)，单调递减区间为(，1). 预习导引 1.二次函数 (1)定义： 函数 yax2bxc(a0)叫做二次函数. (2)解析式： 一般式：yax2bxc(a0). 顶点式：ya(xh)2k，其中(h，k)为顶点. 两根式：ya(xx1)(xx2)，其中 x1
2、，x2为方程 ax2bxc0(a0)的根. 2.二次函数的性质与图象 函数二次函数 yax2bxc(a，b，c 是常数，a0) a0a0 图象 抛物线开口向上抛物线开口向下 对称轴是 x b 2a 对称轴是 x b 2a 在区间(，上是减函数， b 2a 在区间，)上是增函数 b 2a 在区间(，上是增函数， b 2a 在区间，)上是减函数 b 2a 性质 当 x时，y 有最小值，ymin b 2a 当 x时，y 有最大值，ymax b 2a 4acb2 4a 4acb2 4a b0 时为偶函数，b0 时为非奇非偶函数 解决学生疑难点 要点一 二次函数的图象与应用 例 1 画出函数 f(x)x
3、22x3 的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较 f(0)，f(1)，f(3)的大小； (2)若 x1x21，比较 f(x1)与 f(x2)的大小； (3)由图象判断 x 为何值时，y0，y0，y0. 解 f(x)x22x3(x1)24 的图象如图所示. (1)由图可知，二次函数 f(x)的图象对称轴为 x1 且开口向下，且 |01|31|，故 f(1)f(0)f(3). (2)x1x21， |x11|x21|， f(x1)f(x2). (3)由图可知： 当 x3 或 x1 时，y0； 当 x1 或 x3 时，y0； 当1x3 时，y0. 规律方法 观察图象主要是把握其本质特征：开口方向
4、决定 a 的符号，在 y 轴上的交点决 定 c 的符号(值)，对称轴的位置决定的符号.另外，还要注意与 x 轴的交点，函数的单 b 2a 调性等，从而解决其他问题. 跟踪演练 1 已知二次函数 y2x24x6. (1)画出该函数的图象，并指明此函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标； (2)由图象判断 x 为何值时，y0，y0，y0. 解 (1)由 y2x24x62(x1)28， 图象如图 由图象可知，函数图象开口向上， 对称轴是直线 x1，顶点坐标是(1，8). (2)由图象可知，x3，或 x1 时，y0； x1 或 x3 时，y0；1x3 时，y0. 要点二 二次函数性质及应用 例 2 已知
5、函数 f(x)x|x2|. (1)画出函数 yf(x)的图象； (2)写出 f(x)的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还是减函数？(不必证明) (3)已知 f(x) ，求 x 的值. 1 4 解 (1)f(x)x|x2|Error!Error! 作图如下： (2)单调递增区间(，1，2，)； 单调递减区间(1,2)， (3)f(x) ，当 x2 时，x22x ， 1 4 1 4 x1或 x1(舍去)， 5 2 5 2 当 x2 时，x22x ， 1 4 x1， 3 2 x 的值为 1，1. 3 2 5 2 规律方法 二次函数的图象及性质是解决二次函数问题最基本的知识，注意数形结合寻找 解题
6、思路. 跟踪演练 2 若函数 f(x)(a2)x22x4 的图象恒在 x 轴下方，则 a 的取值范围是 _. 答案 (， ) 7 4 解析 由题意知，二次函数开口向下且与 x 轴无交点. 即Error!Error!解得 a . 7 4 要点三 二次函数最值问题 例 3 (1)当2x2 时，求函数 yx22x3 的最大值和最小值. (2)当 1x2 时，求函数 yx2x1 的最大值和最小值. (3)当 x0 时，求函数 yx(2x)的取值范围. 解 (1)作出函数的图象，如图(1). 当 x1 时，ymin4； 当 x2 时，ymax5. (2)作出函数的图象如图(2). 当 x1 时，ymax
7、1； 当 x2 时，ymin5. (3)作出函数 yx(2x)x22x 在 x0 时的图象，如图(3). 可以看出：当 x1 时，ymin1，无最大值. 所以，当 x0 时，函数的取值范围是y|y1. 规律方法 求二次函数 f(x)ax2bxc(a0)在m，n上的最值的步骤： (1)配方，找对称轴； (2)判断对称轴与区间的关系； (3)求最值.若对称轴在区间外，则 f(x)在m，n上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区 间内，则在对称轴处取得最小值，最大值在m，n端点处取得. 跟踪演练 3 求函数 yx22x3 在区间0，a上的最值，并求此时 x 的值. 解 对称轴：x1，抛物线开口向上.
8、(1)当 0a1 时，函数在0，a上单调递减， 当 x0 时，ymax3； 当 xa 时，ymina22a3. (2)当 1a2 时，函数在0,1上单调递减，在1，a上单调递增， 当 x1 时，ymin2； 当 x0 时，ymax3. (3)当 a2 时，函数在0,1上单调递减，在1，a上单调递增， 当 x1 时，ymin2， 当 xa 时，ymaxa22a3. 1.函数 y32xx2(0x3)的最小值为( ) A.1 B.0 C.3 D.4 答案 B 解析 y32xx2(x1)24， 函数在0,1上单调递增，在1,3上单调递减， y32xx2(0x3)的最小值为 y323320. 2.已知一
9、元二次函数 yx22x4，则函数( ) A.对称轴为 x1，最大值为 3 B.对称轴为 x1，最大值为 5 C.对称轴为 x1，最大值为 5 D.对称轴为 x1，最小值为 3 答案 C 解析 由 yx22x4(x1)25，知对称轴为 x1，最大值为 5. 3.二次函数 f(x)a2x24x1 的顶点在 x 轴上，则 a 的值为( ) A.2 B.2 C.0 D.2 答案 D 解析 由 0 即 164a20 得 a24，故 a2. 4.下列区间中，使函数 y2x2x 为增函数的是( ) A.R B.2，) C. D. 1 4，) (， 1 4 答案 D 解析 函数 y2x2x2 2 的图象的对称
10、轴是直线 x ，图象的开口向下，所 (x 1 4) 1 8 1 4 以函数值在对称轴 x 的左边是增加的. 1 4 5.函数 f(x)x22x3 在区间2,3上最大值与最小值的和为_. 答案 1 解析 f(x)(x1)24， f(x)在2,1上单调递增，在1,3上单调递减， f(x)max4，f(x)minf(2)5， 541. 1.画二次函数的图象，抓住抛物线的特征“三点一线一开口”.“三点”中有一个点是顶点， 另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与 x 轴的交点；“一线”是指对称轴 这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. 2.若求二次函数在某闭(或开)区间(非 R)内的值域，则以对称轴是否在该区间内为依据分类 讨论： 若对称轴不在所求区间内，则可根据单调性求值域； 若对称轴在所求区间内，则最大值和最小值可在区间的两个端点处或对称轴处取得，比 较三个数所对应函数值的大小即可求出值域.
