《2018版高中数学人教B版选修2-1学案：3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版选修2-1学案：3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程 （8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程直线的方向向量与直线的向量方程 学习目标 1.理解直线的方向向量，了解直线的向量方程.2.会用向量方法证明线线、线面、 面面的平行.3.会用向量证明两条直线垂直.4.会利用向量求两条直线所成的角 知识点一 用向量表示直线或点在直线上的位置 思考 在平面中，可以用向量确定平面上一点的位置或点的集合空间中一点的位置或点 的集合怎样确定？ 梳理 用向量表示直线或点在直线上的位置 (1)在直线 l 上给定一个定点 A 和它的一个方向向量 a，对于直线 l 上的任意一点 P，则有 _或_或_(a)， AP OP OP AB 上面三个向量等式都叫做空间直线的_向量
2、 a 称为该直线的方向向量 (2)线段 AB 的中点 M 的向量表达式_. OM 知识点二 用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行 1设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则由向量共线的条件，得 l1l2或 l1与 l2重 合_. 2已知两个不共线向量 v1，v2与平面 共面，一条直线 l 的一个方向向量为 v，则由共面 向量定理，可得 l 或 l 在 内_. 3已知两个不共线向量 v1，v2与平面 共面，则由两平面平行的判定与性质，得 或 与 重合_. 知识点三 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 1用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的
3、角 设两条直线所成的角为 ，1和 2分别是 l1和 l2的方向向量，则 l1l2_，cos _. 2求两直线所成的角应注意的问题 在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量 v1，v2，所以 cosv1，v2 .但要注意，两直线的夹角与v1，v2并不完全相同，当v1，v2为钝角时，应 v1v2 |v1|v2| 取其_作为两直线的夹角 类型一 空间中点的位置确定 例 1 已知点 A(2，4，0)，B(1，3，3)，如图，以的方向为正向，在直线 AB 上建立一条 AB 数轴，P，Q 为轴上的两点，且分别满足条件： (1)APPB12； (2)AQQB2. 求点 P 和点 Q 的坐标 反思
4、与感悟 确定点的坐标可利用向量运算根据两个向量相等列方程解得 跟踪训练 1 已知点 A(4，1，3)，B(2，5，1)，C 为线段 AB 上一点且 ，则点 C 的 |AC | |AB | 1 3 坐标为( ) A. B. ( 7 2， 1 2， 5 2) ( 3 8，3，2) C. D. ( 10 3 ，1，7 3) ( 5 2， 7 2， 3 2) 类型二 向量方法处理平行问题 例 2 如图，已知正方体 ABCDABCD，点 M，N 分别是面对角线 AB 与面对 角线 AC的中点求证：MN侧面 AD；MNAD，并且 MN AD. 1 2 反思与感悟 (1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量
5、证法根据是空间向量共线、共面 定理 (2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时，要注意向量所在的直线 与所证直线或平面无公共点 跟踪训练 2 (1)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD4，AA12.点 M 在棱 BB1上， 且 BM2MB1，点 S 在 DD1上，且 SD12SD，点 N，R 分别为 A1D1，BC 的中点，求证： MNRS. (2) 如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB，AF1，M 是 2 线段 EF 的中点求证：AM平面 BDE. 类型三 两直线所成的角的求解 例 3 已知三棱锥 OABC(如图)，OA4，O
6、B5，OC3，AOBBOC60， COA90，M，N 分别是棱 OA，BC 的中点求直线 MN 与 AC 所成角的余弦值 反思与感悟 向量所成角与异面直线所成角的差异：向量所成角的范围是0，而异面 直线所成角的范围是，故异面直线所成角的余弦值一定大于等于 0. (0， 2 跟踪训练 3 长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB4，BCBB12，E，F 分别是面 A1B1C1D1与面 B1BCC1的中心，求异面直线 AF 与 BE 所成角的余弦值 1若直线 l1、l2的方向向量分别为 a(1，2，2)，b(2，3，2)，则( ) Al1l2 Bl1l2 Cl1、l2相交但不垂直 D不能确定 2设
7、 l1的方向向量 a(1，3，2)，l2的方向向量 b(4，3，m)，若 l1l2，则 m 等于( ) A1 B. C. D3 5 2 1 2 3若 A(1，0，1)，B(1，4，7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量为( ) A(1，2，3) B(1，3，2) C(2，1，3) D(3，2，1) 4已知向量 a(42m，m1，m1)，b(4，22m，22m)，若 ab，则实数 m 的 值为( ) A1 B3 C1 或 3 D以上答案都不正确 5已知直线 l1的一个方向向量为(7，3，4)，直线 l2的一个方向向量为(x，y，8)，且 l1l2，则 x_，y_. 1利用向量可以表示直线
8、或点在直线上的位置 2线线平行、线面平行、面面平行问题都可以转化为两个向量的平行问题，证明依据是空 间向量共线、共面定理 3用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的 运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量共分三步：(1)建立立体几何与空间向 量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为 向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意 义来解释相关问题 提醒：完成作业 第三章 3.2.1 答案精析答案精析 问题导学 知识点一 思考 已知向量 a，在空间中固定一个基点 O，再作向量
9、a，则点 A 在空间中的位置 OA 就被向量 a 唯一确定了，称向量 a 为位置向量 梳理 (1)ta ta (1t)t 向量参数方程 (2) () OA OA OB 1 2 OA OB 知识点二 1v1v2 2存在两个实数 x，y，使 vxv1yv2 3v1 且 v2 知识点三 1v1v2 |cosv1，v2| 2补角 题型探究 例 1 解 (1)由已知，得2， PB AP 即2()， OB OP OP OA . OP 2 3OA 1 3OB 设点 P 坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得 (x，y，z) (2，4，0) (1，3，3)， 2 3 1 3 即 x ，y ， 4 3 1
10、 3 5 3 8 3 3 3 11 3 z011. 因此，P 点的坐标是. ( 5 3， 11 3 ，1) (2)因为 AQQB2， 所以2，2()，2， AQ QB OQ OA OB OQ OQ OA OB 设点 Q 的坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示， 得(x，y，z)(2，4，0)2(1，3，3)(0，2，6)， 即 x0，y2，z6. 因此，Q 点的坐标是(0，2，6) 跟踪训练 1 C 例 2 证明 设a，b，c， AB AD AA 则 (ac)，c (ab)， AM 1 2 AN 1 2 因此 (bc) MN AN AM 1 2 因为 M 不在平面 AD内， 所以 MN平面
11、 AD. 又因为 bc，所以， AD MN 1 2AD 因此 MNAD，MN AD. 1 2 跟踪训练 2 (1)证明 方法一 设a， AB b，c，则 AD AA1 MN MB1 B1A1 A1N ca b， 1 3 1 2 ba c， RS RC CD DS 1 2 1 3 ，又RMN，MNRS. MN RS MN RS 方法二 如图所示，建立空间直角坐标系， 则根据题意得 M， (3，0， 4 3) N(0，2，2)， R(3，2，0)，S. (0，4， 2 3) ， MN (3，2， 2 3) ， RS (3，2， 2 3) MN RS ，MRS，MNRS. MN RS (2)证明 建
12、立如图所示的空间直角坐标系 设 ACBDN，连接 NE， 则点 N、E 的坐标分别是 、(0，0，1) ( 2 2 ， 2 2 ，0) . NE ( 2 2 ， 2 2 ，1) 又点 A、M 的坐标分别是(， ，0)、， 22 ( 2 2 ， 2 2 ，1) . AM ( 2 2 ， 2 2 ，1) ，且 ANE，NEAM. NE AM 又NE平面 BDE，AM平面 BDE， AM平面 BDE. 例 3 解 设a，b，c，直线 MN 与 AC 所成的角为 ，则 OA OB OC (bc) a MN ON OM 1 2 1 2 (bca)，ca. 1 2 AC |2 (bca)2 MN 1 4
13、(|a|2|b|2|c|22bc2ab2ac) 1 4 (42523215200)， 1 4 45 4 |2(ca)2|a|2|c|22ac AC 42320225， (bca)(ca) MN AC 1 2 (bc|c|2ab2ac|a|2) 1 2 . 1 2( 15 2 910016) 45 4 cos |cos， |. MN AC MN AC |MN |AC | 45 4 45 4 5 3 5 10 直线 MN 与 AC 所成角的余弦值为. 3 5 10 跟踪训练 3 解 如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系， 则 A(2，0，0)， B(2，4，0)，C1(0，4，2)，A1(2，0，2)， E(1，2，2)，F(1，4，1)， (1，4，1)， AF (1，2，2)， BE |3，|3， AF 182 BE 9 1825， AF BE cos， . AF BE 5 3 23 5 2 18 异面直线所成角的范围是， (0， 2 设 AF 与 BE 所成角为 ， 则 cos |cos， |. AF BE 5 2 18 当堂训练 1B 2.B 3.A 4.C 5.14 6
