《2018版高中数学人教B版必修四学案：3.1.2 两角和与差的正弦 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修四学案：3.1.2 两角和与差的正弦 （8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.2 两角和与差的正弦两角和与差的正弦 学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的 正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如 f(x)asin xbcos x 的性质 知识链接 1cos()与 cos cos 相等吗？ 答 一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时候例如，当 60，60时， cos(6060)cos 60cos(60) 2你能结合三角函数诱导公式，由公式 C或 C推导出公式 S吗？ 答 sin()cos 2 coscoscos sinsin ( 2) ( 2) ( 2) sin cos
2、 cos sin . 预习导引 1两角和与差的余弦公式 C：cos()cos_cos_sin_sin_. C：cos()cos_cos_sin_sin_. 2两角和与差的正弦公式 S：sin()sin_cos_cos_sin_. S：sin()sin_cos_cos_sin_. 3辅助角公式 使 asin xbcos xsin(x)cos(x)成立时，cos ，sin a2b2a2b2 a a2b2 ，sin ，cos ，其中 、 称为辅助角，它的终边所在象限由 b a2b2 a a2b2 b a2b2 点(a，b)决定. 要点一 利用和(差)角公式化简 例 1 化简下列各式： (1)sin2
3、sincos； (x 3) (x 3)3 ( 2 3 x) (2)2cos() sin2 sin 解 (1)原式sin xcos cos xsin 2sin xcos 2cos xsin coscos xsinsin x 3 3 3 33 2 33 2 3 sin xcos xsin xcos xcos x sin x 1 2 3 23 3 2 3 2 sin xcos x ( 1 21 3 2) ( 3 2 3 3 2) 0. (2)原式 sin2cossin sin sincos cossin sin sin sin . sin sin 规律方法 化简三角函数式的标准和要求： (1)能求出
4、值的应求出值 (2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少 (3)使三角函数式的次数尽可能低 (4)使分母中尽量不含三角函数式和根式 跟踪演练 1 化简：(tan 10). 3 cos 10 sin 50 解 原式(tan 10tan 60) cos 10 sin 50 ( sin 10 cos 10 sin 60 cos 60) cos 10 sin 50 sin 10cos 60cos 10sin 60 cos 10cos 60 cos 10 sin 50 sin50 cos 10cos 60 cos 10 sin 50 2. 1 cos 60 要点二 利用和(差)角公式求值 例 2
5、若 sin，cos ，且 00， ( 2， 2) 10 10 所以 0 . 2 所以 sin ， 1cos2 2 5 5 cos(). 1sin2 3 10 10 cos(2)cos() cos cos()sin sin() . 5 5 3 10 10 2 5 5 10 10 2 10 (2)cos cos() cos cos()sin sin() ， 5 5 3 10 10 2 5 5 10 10 2 2 又因为 ，所以 . (0， 2) 4 例 4 化简下列各式： (1)3sin x3cos x； 155 (2)sincos. 2 4 ( 4x) 6 4 ( 4x) 解 (1)3sin x
6、3cos x 155 6 5( 3 2 sin x1 2cos x) 66sin. 5(cos 6sin xsin 6cos x)5 (x 6) (2) sincos 2 4 ( 4x) 6 4 ( 4x) 2 2 1 2sin( 4x) 3 2 cos( 4x) 2 2sin( 4x)cos 3cos( 4x)sin 3 sinsin. 2 2 ( 7 12x) 2 2 (x 7 12) 规律方法 辅助角公式 asin xbcos xsin(x)可以把含 sin x、cos x 的一次式化 a2b2 为 Asin(x)的形式，其中 所在象限由点(a，b)决定，大小由 tan 确定研究形如 b
7、 a f(x)asin xbcos x 的性质都要用到该公式 跟踪演练 4 已知函数 f(x)cos 2xsin 2x，xR. 3 (1)求 f(x)的最小正周期与值域； (2)求 f(x)的单调递增区间 解 (1)f(x)sin 2xcos 2x 3 2( 1 2sin 2x 3 2 cos 2x) 22sin，xR. (sin 2xcos 3cos 2xsin 3) (2x 3) T，函数的值域为2,2 2 2 (2)由 2k 2x 2k，kZ， 2 3 3 2 得 kxk，kZ. 5 12 11 12 函数的单调递增区间为k，k(kZ). 5 12 11 12 1sin 7cos 37s
8、in 83cos 53的值是( ) A B. 1 2 1 2 C. D 3 2 3 2 答案 A 解析 原式sin 7cos 37cos 7sin 37sin(30) . 1 2 2在ABC 中 ，A ，cos B，则 sin C 等于( ) 4 10 10 A. B 2 5 5 2 5 5 C. D 5 5 5 5 答案 A 解析 sin Csin(AB)sin(AB) sin Acos Bcos Asin B (cos B) 2 21cos2B 2 2 ( 10 10 3 10 10 ) . 2 5 5 3函数 f(x)sin xcos x(xR)的值域是_ 3 答案 2,2 解析 f(x
9、)22sin， ( 1 2sin x 3 2 cos x) (x 3) f(x)2,2 4试用一个角的正弦(或余弦)形式表示下列各式： (1)sin cos ；(2)sin cos ； 3 (3) cos 15sin 15；(4)3sin 4cos . 1 2 3 2 解 (1)sin cos (sin cos ) 2 2 2 2 2 (sin cos cos sin ) 2 4 4 sin( ) 2 4 (2)sin cos 3 2(sin cos ) 3 2 1 2 2(sin cos cos sin ) 6 6 2sin( ) 6 (3)方法一 原式sin 30cos 15cos 30s
10、in 15 sin(3015) sin 45. 2 2 方法二 原式cos 60cos 15sin 60sin 15 cos(6015)cos 45. 2 2 (4)3sin 4cos 5( sin cos ) 3 5 4 5 5sin()(或5cos() 其中 cos ，sin (或 sin ，cos ) 3 5 4 5 3 5 4 5 1.公式 C与 S的联系、结构特征和符号规律 四个公式 C、S虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为 cos()cos()Error!sin()sin()，这样我们只要牢固掌握“中心” 以换 以换 公式 cos()的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式 对于公式 C与 C，可记为“同名相乘，符号反” 对于公式 S与 S，可记为“异名相乘，符号同” 2使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简 sin cos()cos sin()时，不要将 cos()和 sin()展开，而应采用整体思想，作如下变形： sin cos()cos sin() sin()sin()sin . 3运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与 问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解
