《2018版高中数学人教B版必修一学案：2.3 函数的应用（Ⅰ） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修一学案：2.3 函数的应用（Ⅰ） （6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3 函数的应用函数的应用() 学习目标 1.明确一次函数、二次函数、分段函数可作为数学模型解有关应用题.2.初步掌 握数学建模的方法.3.通过数学建模的应用，培养应用意识. 预习导引 常见函数模型 名称解析式条件 一次函数模型yaxb a0 一般式 yax2bxc a0 二次函数模型 顶点式 ya(xh)2k a0 解决学生疑难点 要点一 一次函数模型 例 1 大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到 12 km 为止，温度的 降低大体上与升高的距离成正比，在 12 km 以上温度一定，保持在55 . (1)当地球表面大气的温度是 a 时，在 x km 的上空为 y ，求 0
2、x12 时，a，x，y 间 的函数关系式； (2)当地球表面大气的温度是 29 时，3 km 上空的温度是多少？ 解 (1)由题意知 yakx(0x12，k0)， 即 yakx. 当 x12 时，y55，55a12k， 解得 k， 55a 12 当 0x12 时，yax， 55a 12 所求的函数关系式为 yax(0x12). 55a 12 (2)当 a29，x3 时，y2938()， 5529 12 即当地球表面大气的温度是 29 时，3 km 上空的温度是 8 . 规律方法 用一次函数模型解决实际问题时，要注意分析数量关系的特征.对于一次函数 yaxb(a0)，当 a0 时为增函数，当 a
3、0 时为减函数.另外要结合题目理解(0，b)或 ( ，0)这些特殊点的意义. b a 跟踪演练 1 如图所示，这是某电信局规定的打长途电话所需要付的电话费 y(元)与通话时 间 t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空： (1)通话 2 分钟，需要付电话费_元； (2)通话 5 分钟，需要付电话费_元； (3)如果 t3，则电话费 y(元)与通话时间 t(分钟)之间的函数关系式为_. 答案 (1)3.6 (2)6 (3)y1.2t(t3) 解析 (1)由图象可知，当 t3 时，电话费都是 3.6 元. (2)由图象可知，当 t5 时，y6，需付电话费 6 元. (3)当 t3 时，y 关于
4、x 的图象是一条直线，且经过(3,3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为 yktb， 则Error!Error!解得Error!Error! 故 y 关于 t 的函数关系式为 y1.2t(t3). 要点二 二次函数模型 例 2 某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入 R(万元)与报纸广告费用 x1(万元)及电视广告费用 x2(万元)之间的关系有如下经验公式： R2x x 13x111x228. 2 12 2 (1)若提供的广告费用共为 5 万元，求最优广告策略；(即收益最大的策略，其中收益销售 收入广告费用) (2)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略(
5、其中 x1，x2N). 解 (1)广告费共 5 万元，设报纸广告费用 x 万元，则电视广告费用 5x 万元，利润为 w 万元. R2x2(5x)213x11(5x)28(0x5) 3x212x2(0x5). 当 x2 万元时，Rmax14 万元， 此时电视广告费用为 3 万元. w1459(万元). 即报纸广告费 2 万元，电视广告费 3 万元. (2)广告费用不限， R(x)f(x)g(x)28， 其中 f(x)2x 13x1，g(x)x 11x2， 2 12 2 x1，x2N， f(x)maxf(3)21， g(x)maxf(5)f(6)30. 欲使 最大，所以 g(x)取最大值时 x25
6、， 此时 213028815. 即报纸广告费用为 3 万元，电视广告费用为 5 万元时为最优广告策略. 规律方法 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解 析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决 实际问题中的最大、最小等问题. 跟踪演练 2 心理学家发现，学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x(单位：分) 之间满足函数关系式 y0.1x22.6x43(0x30)，y 值越大，表示接受能力越强. (1)x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降 低？ (2)第 10 分钟时，学生
7、的接受能力是多少？ (3)第几分钟时，学生的接受能力最强？ 解 (1)y0.1x22.6x43 0.1(x13)259.9. 所以，当 0x13 时，学生的接受能力逐步增强； 当 13x30 时，学生的接受能力逐步下降. (2)当 x10 时，y0.1(1013)259.959. 即第 10 分钟时，学生的接受能力为 59. (3)当 x13 时，y 取最大值. 所以，在第 13 分钟时，学生的接受力最强. 要点三 分段函数模型 例 3 某厂生产某种零件，每个零件的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元，该厂为鼓励销 售订购，决定当一次订购量超过 100 个时，每多订购 1 个，订购的全部零
8、件的出厂单价就 降低 0.02 元，但实际出厂单价不能低于 51 元. (1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为 51 元？ (2)设一次订购量为 x 个，零件的实际出厂单价为 P 元，写出函数 Pf(x)的表达式； (3)当销售商一次订购 500 个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购 1 000 个，利润 又是多少元？ (工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本) 解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元时，一次订购量为 x0个，则 x0100 550(个).因此，当一次订购量为 550 个时，每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元. 6051 0.02 (2)当
9、 0x100 时，P60； 当 100x550 时，P600.02(x100)62； x 50 当 x550 时，P51. Pf(x)Error!Error!(xN). (3)设销售商一次订购量为 x 个时，工厂获得的利润为 L 元， 则 L(P40)xError!Error! 当 x500 时，L6 000；当 x1 000 时，L11 000. 因此，当销售商一次订购 500 个零件时，该厂获得的利润是 6 000 元；如果订购 1 000 个， 利润是 11 000 元. 规律方法 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问 题，将各段的变化规律分别找出来，再将
10、其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端 点值. 跟踪演练 3 某公司生产一种产品，每年投入固定成本 0.5 万元，此外每生产 100 件这种产 品还需要增加投资 0.25 万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为 500 件，当出售 的这种产品的数量为 t(单位：百件)时，销售所得的收入约为 5t t2(万元). 1 2 (1)若该公司的年产量为 x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示 为年产量 x 的函数； (2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？ 解 (1)当 0x5 时，产品全部售出，当 x5 时，产品只能售出 500 件. f(x)Error
11、!Error! 即 f(x)Error!Error! (2)当 0x5 时，f(x) x24.75x0.5， 1 2 当 x4.75(百件)时，f(x)有最大值， f(x)max10.781 25(万元). 当 x5 时，f(x)max120.25510.75(万元). 当这种产品的年产量为 475 件时，利润最大. 1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程 s 关于时间 t 变化的图象如图所示，那么图象所对应的 函数模型是( ) A.一次函数 B.二次函数 C.分段函数 D.无法确定 答案 C 解析 由图象知，在不同时段内，路程折线不同，故函数模型为分段函数. 2.随着海拔高度的升高，大气压强下降
12、，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量 y(g/m3)与 大气压强 x(kPa)成正比例函数关系.当 x36 kPa 时，y108 g/m3，则 y 与 x 的函数关系式 为( ) A.y3x(x0) B.y3x C.y x(x0) D.y x 1 3 1 3 答案 A 解析 由题意设 ykx(k0)，将(36,108)代入解析式可得 k3，故 y3x，考虑到含氧量不 可能为负，可知 x0. 3.化工厂在一月份生产某种产品 200 t，三月份生产 y t，则 y 与月平均增长率 x 之间的关系 是( ) A.y200x B.y200x2 C.y200(1x) D.y200(1x)2 答案 D 解
13、析 一月份为 200 t，二月份为 200x200200(x1)t，三月份为 200(x1)x200(x1) 200(x1)(x1)200(x1)2t，即 y200(x1)2. 4.用长度为 24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则 隔墙的长度为( ) A.3 m B.4 m C.6 m D.12 m 答案 A 解析 如图所示，设隔墙长为 x m，则矩形长为122x(m). 244x 2 x S矩形x(122x)2x212x2(x3)218. 当 x3 m 时，矩形的面积最大. 5.一个水池有 60 m3水，现要将水池中的水排出，如果排水管每小时排出的水量为 3 m3， 则水池中余水量 Q 与排水时间 t 之间的函数关系式为_. 答案 Q603t(0t20) 解析 排水管每小时排出的水量为 3 m3， t 小时排出的水量为 3t m3(t0). 水池中原有水 60 m3， 3t60，t20， 水池中余水量 Q603t(0t20). 1.解有关函数的应用题，首先应考虑选择哪一种函数作为模型，然后建立其解析式.求解析 式时，一般利用待定系数法，要充分挖掘题目的隐含条件，充分利用函数图形的直观性. 2.数学建模的过程图示如下：
