《例题与探究（5.2.2复数的乘法与除法）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《例题与探究（5.2.2复数的乘法与除法）（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高手支招3综合探究 进行复数的除法运算的步骤 利用复数的除法定义:把满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)(c+di0)的复数 x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商,记作(a+bi)(c+di)或,从而利用复数相等求得x,y的值即可.(c+di)(x+yi)=(cx-dy)+(dx+cy)i,(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi,由此可得解这个方程组得于是有(a+bi)(c+di)=.在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)(c+di)写成的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数c-di,化简后,也可以得出上面的结果.高手支招4典例精析【例1】已知=1-ni,其中m、n是
2、实数,i是虚数单位,则m+ni=（ ）A.1+2i B.1-2i C.2+i D.2-i思路分析:可先将=1-ni去分母后展开化简,再利用复数相等解之.本题也可将等式左边分母实数化,再利用复数相等解之.将=1-ni两边同乘以1+i,得m=(1-ni)(1+i)=1+n+(1-n)i,由复数相等法则,得从而所以m+ni=2+i.答案:C【例2】复数=( )A.i B.-I C.2-I D.-2+i思路分析:此题可以直接进行分母“有理化”(即分子分母同乘以分母的共轭复数),化简解得,或由观察得出:将分子化简后,分母乘以i则可以得到分子,从而解得.原式=.答案:A【例3】 若复数z=+i,则1+z+
3、z2+z3+z2 006( )A.0 B.+i C.-i D.-i思路分析:由于z=+i正好是的一个值,故具有特性,即1+z+z2=0,利用此式,原式即可化简.1+z+z2+z3+z2 006中连续三项的和均为零,由于1+z+z2+z3+z2 006的项数2 007项正好是3的倍数项,故所求的和式为零.答案:A【例4】 如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m等于( )A.1 B.-1 C. D.-思路分析:要使一个复数为实数,那只需要一个条件:虚部为0.将原式(m2+i)(1+mi)展开,得m2+m3i+i+mi2=(m2-m)+(m3+1)i,令其虚部为零,即m3+1=0,即m=-
4、1.答案:B【例5】若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b等于( )A.-2 B. C. D.2思路分析:(1+bi)(2+i)=（2-b)+(2b+1)i，依题意2-b=0b=2.答案:D【例6】设a是实数,且是实数,则a等于A. B.1 C. D.2思路分析:先化简,因为是实数，故其虚部为零，即=0，从而得a=1.答案:B【例7】设复数z满足=i,则z等于 ( )A.-2+i B.-2-I C.2-I D.2+i思路分析:由=i，得z=2-i.答案:C【例8】设x、y为实数,且,则x+y=_.思路分析:先将原式两边的分母实数化,然后再利用复数相等即可求得x+y
5、的值.将原式分母实数化,得(1+i)+(1+2i)=(1+3i),即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i),即(5x+2y-5)+(5x+4y-15)i=0,利用复数相等的充要条件得x+y=4.答案：4【例9】 计算下列各式:(1)i2 006+(+i)8-()50;(2)(i)6.思路分析:(1)充分利用(1i)2=2i及i4n+k=ik将高次冥化为低次冥.(2)利用的性质解答.解:(1)i2 006+(+i)8-()50=i4501+2+2(1+i)24-25=i2+(4i)4-()25=-1+256-i25=255-i;(2)=+i,-i=-,(-i)6=(-)6=(3)2=1
6、.【例10】 已知复数z=,若z2+az+b=1+i,试求实数a、b的值.思路分析:要求实数a、b的值,需先确定复数z的值,而要确定复数z,需对复数z进行化简,主要通过复数乘方,加减运算,最后通过分母实数化,从而化得结果.解:z=1+i,z2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b=(a+b)+(2+a)i,由已知z2+az+b=1+i,实数a、b的值分别为-1,2.【例11】 已知f(z)=2z+-3i,f(z+i)=6-3i,求f(-z)的值.思路分析:需要先利用已知式求出z,再将-z代入f(z)=2z+-3i中计算.解:f(z)=2z+-3i,f(+i)=2(+i)+-3i=2+2i+
7、z-i-3i=2+z-2i,又知f(+i)=6-3i,2+z-2i=6-3i,即2+z=6-i,设z=a+bi,则=a-bi,于是有2(a-bi)+a+bi=6-i,所以,解得a=2,b=1,z=2+i,f(-z)=f(-2-i)=2(-2-i)+(-2+i)-3i=-6-4i.【例12】 计算:(i)12+()8.思路分析: i=i(+i),1-i=(-2)(+i)，由此,原式可以化简.“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。说文解字中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长
8、值得学习者。“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老”“师”连用最初见于史记，有“荀卿最为老师”之说法。慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。解:原式=i12(+i)12+=11+=1+16(+i)=-7+8i.【例13】 已知复数z1=i(1-i)3.(1)求|z1|;(2)若|z|=1,求|
9、z-z1|的最大值.思路分析:(1)求模应求出复数的实部与虚部，再利用|a+bi|= 得出.(2)是考查复数几何意义的应用.解:(1)z1=i(1-i)3i(-2i)(1-i)=2(1-i),|z1|.(2)|z|=1可看成半径为1、圆心为(,)的圆,而点Z1可看成在坐标系中的点(2,-2),|z-z1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上点距离的最大值,由右图可知|z-z1|max=2+1.【例14】 证明:在复数范围内,方程|z|2+（1-i）-（1+i）z=(i为虚数单位)无解.思路分析:将已知条件化简后再由复数相等来解.证明：原方程化简为|z|2+（1-i）z-（1+i）z=1-3i.
10、设z=x+yi(x、yR）,代入上述方程得x2+y2-2xi-2yi=1-3i.将(2)代入(1),整理得8x2-12x+5=0.=-160,方程f(x)无实数解,原方程在复数范围内无解.“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。孟子中的“先生何为出此言也？”；论语中的“有酒食，先生馔”；国策中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实国策中本身就有“先生长者，有德之称”的说
11、法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师”为“先生”的记载，首见于礼记?曲礼，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。高手支招5思考发现1.利用某些特殊复数的运算结果,如(1i)2=2i,(i)3=1,=-i,=i,=-i,i的幂的周期性,对于简化复数的运算大有好处,在计算上经常用的结论最好能熟记,以便加快解题速度.2.在化简运算中,要注意运用i、的性质,如当=+i时有:单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧
12、。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。=2，3=1，=，n+n+1+n+2=0(nN*),in+in+1+in+2+in+3=0(nN*一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）春秋谷梁传疏曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。韩非子也有云：“今有不才之子师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。3.在解题过程中,若能充分利用共轭复数的性质对问题进行等价变形、化简,可使复杂问题简单化,事半功倍.第 5 页
