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1、案例（二）精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一 双曲线的定义平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数(小于且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。注意 （1）在此定义中“常数要大于0且小于”这一限制条件十分重要,不可去掉。（2）如果定义中常数改为等于,此时动点轨迹是以、为端点的两条射线(包括端点)。（3）如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段的垂直平分线。(4)如果定义中常数改为大于,此时动点轨迹不存在。(5)若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。(6)设为双曲线上的任意一点,若点在双曲线右支上,
2、则；若在双曲线的左支上,则,因此得,这是与椭圆不同的地方。知识点二 双曲线的标准方程1.如何正确理解双曲线的标准方程的两种形式（1）通过比较两种不同类型的双曲线方程(焦点在轴上)和(焦点在轴上),可以看出,如果项的系数是正的,那么焦点就在轴上；如果项的系数是正的,那么焦点就在轴上。对于双曲线，不一定大于,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。焦点在轴上的方程，只要将互换就能得到焦点在轴上的方程。(2)无论双曲线的焦点在哪个坐标轴上，标准方程中的三个量都满足所以恰好构成一个直角三角形的三边,且为斜边,如图所示。2.求双曲线标准方程的方法(1)定义法若由题设条件能判断出动
3、点的轨违是双曲线,可根据双曲线的定义确定其方程,这样可以减少计算量。(2)待定系数法作判断：根据条件判断双曲线的焦点在轴上还是在轴上,还是两个坐标轴都有可能。设方程：根据上述判断设方程为或。寻找关系：根据已知条件列出关于的方程组。得方程：解方程组代入所设方程即为所求。(3)特别提醒与椭圆情况类似,方程表示的曲线为双曲线,它包含焦点在轴上或在轴上两种情形。若将方程变形为,则当，时,方程为，它表示焦点在轴上的双曲线,此时；当时,方程为,它表示焦点在轴上的双曲线,此时。 因此,在求双曲线的标准方程时,若焦点的位置不确定,则常考虑上述设法。曲型例题分析题型1 双曲线的定义及应用【例1】 双曲线上一点到
4、右焦点的距离是5,则下列结论正确的是 （ ）A.到左焦点的距离为8B.到左焦点的距离为15C.到左焦点的距离不确定D.这样的点不存在答案和易判断是错误的,对B而言,若,则,面,即有,这与“三角形的两边之和大于第三边”相矛盾,可见这样的点不存在,因此选D。 错因分析 （1）易产生如下错解:设双曲线的左、右焦点分别为、,由定义.因为,所以,故选B。错解的原因在于忽视了双曲线定义中的限制条件,即除了考虑,还要考虑这一条件；（2）对双曲线定义的理解并掌握需全面,有些表面上似乎是“微小的”,但在具体问题中可能就是关键。 【变式训练1】双曲线上一点到左焦点的距离,求点到右焦点的距离。 答案 点在双曲线上,
5、由题意可得。,解之得或,故所求的的长为4或16。 【例2】双曲线的左、右焦点分别为、,点在双曲线上,且,求的面积。 解析 知道的值,若用来求,只需出的大小。 答案 双曲线的方程可化为,则，由双曲线的定义知：,又,所以在中,由余弦定理,得：规律总结 （1）利用双曲线的定义和解三角形知识来解。在其过程中并没有单独解出和,而是将看成一个整体，这有利于优化计算，这一一点值得同学们体会;（2）一般地,对于双面线,若，是其两个焦点，队则三角形的面积为,利用这个结论可以很方便地解决一些问题。 【变式训练2】（1）双曲线,过焦点的直线与该双曲线的同一支交于、两点,且，另一焦点为,则的周长为 （ ） A. B.
6、 C. D. （2）设与是双曲线的两个焦点,点在双曲线上,且满足,则的面积是 （ ）A.1 B. C.2 D.答案 (1)如右图所示,由双曲线的定义知:，所以，从而的周长为,故选C。 (2)由例2的结论可知的面积是1,选A。 题型2判断曲线类型 【例3】（1）已知方程表示焦点在轴上的双曲线,求的取值范围； （2）研究方程表示何种曲线。 答案（1）方程表示焦点在轴上的双曲线，。 （2）当即时,方程无解,不表示任何曲线； 当,即时,表示点在算轴上的双曲线； 当即时,表示焦点轴上的双曲线；当,不存在；当,不存在；当，即时，不表示任何曲线。规律总结 方程或不能易认为它们分别表示椭圆或双曲线,因为这里、
7、的符号及大小关系都不确定。正确判断应是(仅针对作回答)当(或)时,其表示焦点在轴(或轴)上的椭圆；当时,其表示圆；当时（或）,其表示焦点在轴(或轴)上的双曲线；当时,其不表示任何曲线。【变式训练3】已知曲线。1)求为何值时,曲线分别为椭圆、双曲线；(2)求证;不论为何值,曲线有相同的焦点。答案（1）当时,曲线为椭圆；当时,曲线为双曲线。(2)当时,曲线是椭圆,且,因而，焦点为、。当时,双曲线的方程为。，焦点为、。综上所述,无论为何值,曲线有相同的焦点。题型3 定义法求双曲线的标准方程【例4】 平面的两个顶点、分别为椭圆的焦点,且三内角、满足与，试求顶点的轨迹方程。解析 将三角等式化简并利用正弦
8、定理将其转化为边的关系是解决问题的关键。答案 把椭圆方程化成标准形式，。则、，。由正弦定理得。这表明动点到两定点、的距离之差为定值,所以动点轨迹是双曲线的右支,且其方程为标准方程。设双曲线方程为。,半焦距。 所求点的轨迹为双曲线。规律总结 在运用双曲线定义确定标准方程时,要紧扣定义即符合条件的动点的轨迹是一支还是两支，还要注意将满足方程，但不在轨迹上的点除去,本题所求的轨迹就是双曲线的一支,且除去顶点。 【变式训练4】 已知圆和圆，动圆同时与圆,及圆相外切,求动圆圆心的轨迹方程。 答案 如右图所示,设动圆与圆及圆分别外切于点和,根据两圆外切的条件,得，即。 这表明动点与两定点、的距离的差是常数
9、2。根据双曲线的定义,动点的轨迹为双曲线的左支(点与的距离大,与的距离小),这里,则，设点的坐标为,其轨迹方程为：。 题型4 待定系数法求双曲线方程 【例5】 求适合下列条件的双曲线的标准方程: （1），经过点； （2）经过点、。 解析 已知曲线的类型,可用待定系数法来解。 答案 （1）若所求双曲线方程为,把点坐标代入,得,解得，可见这样的双曲线不存在； 若所求双曲线方程为,把点坐标代入，得，解得。故所求双曲线方程为。 (2)设双曲线方程为,将已知点坐标代入，得解得。 所以所求方程为。 规律总结 （1）题由于焦点的位置不确定,因此在设双曲的标准方程的时候要分两种情况讨论。 （2）题也可仿（1）
10、题讨论求解,但是已知两点求双曲线方程，一般设方程的形式为,这样得到方程后自然就知道了焦点的位置,这种方法不仅避免了分类讨论而且运算简洁。【变式训练5】（1）已知双曲线的焦点为,且经过点.求该双曲线的标准方程。 （2）已知双曲线经过点和点，求双曲线的标准方程。答案 （1）设所求的双曲线标准方程为，则有解得故所求的双曲线标准方程为。（2）设所求的双曲线方程为，又双曲线过、两点,解得所以所求方程为。规律 方法 总结（1）双曲线两种标准方程形式的统一式:双曲线， （*）当时,方程（*）表示焦点在轴上的双曲线；当时,方程（*）表示焦点在轴上的双曲线。（2）由含参数的方程判断动点轨迹时,对参数取值的讨论不
11、可遗漏。(3)求双曲线标准方程的方法:定义法:若由题设条件能判断出动点的轨迹是双曲线,可根据双曲线的定义确定其方程,以减少运算量。待定系数法,其步骤为：a.作判断:根据条件判断双曲线的焦点在轴上还是在轴上,还是两个坐标轴都有可能；b.设方程:根据上述判断设标准方程为或；c.寻关系:根据已知条件列出关于的方程组；d.得方程:解方程组代入所设方程即为所求。(4)由方程的形式判断曲线的类型。解决这类问题的方法是选择适当的分界点,依据曲线标准方程的形式对参数的取值进行分类讨论。定时 巩固 检测基础训练1.已知，当和4时，点轨迹分别为 （ ）A.双曲线和一条直线 B.双曲线和两条射线C.双曲线一支和一条
12、直线 D.双曲线一支和一条射线【答案】D（点拨：依据双曲线的定义处理。）2.已知方程,且,则它表示的曲线是（ ）A.焦点在轴上的双曲线 B.圆C.焦点在轴上的双曲线 D.椭圆【答案】C（点拨：原方程可变形为，即。）3.设双曲线上的点到点的距离为15,则到的距离为（ ）A.7 B.25 C.5或25 D.7或23【答案】D(点拨:根据双曲线的定义,点可以在左支,也可能在右支。)4.方程表示双曲线,则的取值范围（ ）A. B.C. D.或【答案】A(点拨:题意应有。)5若双曲线的一个焦点是(-4.0),则k= 。【答案】(点拨：据题意知,于是。)能力提升若椭圆与双曲线有相同的焦点,实数的值为（ ）
13、A.1 B.1或3C.1或3或-2 D.3【答案】A(点拨:显然,于是焦点都在轴上,故有。)7.若方程表示焦点在轴上的双曲线,则实数的取值范围是 。【答案】(点拨:。)8求焦点分别是(0,3)和(0,-3),且经过点的双曲线的标准方程。【答案】 据题意设双曲线方程为,由条件知，从而。由双曲线经过点,所以有，解得,故所求的双曲线方程为。9.已知是双曲线的焦点,是过焦点的弦,且的倾斜角为60,那么的值为 。【答案】16(点拨:依据双曲线的定义处理,此外此处的的倾斜角为60是多余的条件)10.双曲线的两个焦点为,点在双曲线上，若,求点到轴的距离。【答案】由题意知,设点,则由得,与双曲线方程联立得解得,即点到轴的距离为。 第 12 页
