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1、1,偏微分方程及有限元,主讲：方玺 博士 联系方式： 电话：13554016042,MCM培训,2,提纲,1.偏微分方程常见类型 2.偏微分方程的求解 3.偏微分方程的计算机求解（MATLAB;ANSYS） 4.有限元基础 5. 算例,偏微分方程定解问题，是表述自然与工程技术领域中各种现象最重要的数学工具之一，应用十分广泛。 遗憾的是，绝大多数偏微分方程的解不能以实用的解析形式来表示，因而其数值解就显得尤为重要。,虽然常微分方程数值方法的历史可以追溯到18世纪，一些偏微分方程的数值方法也在20世纪初得到研究，但是，它们发展成为一门理论上严谨，实用上有效的学科，还是20世纪50年代以来的事，这主
2、要得益于电子计算机的诞生。,偏微分方程的分类,（1）椭圆型方程 （2）抛物型方程（如热传导方程） （3）双曲型方程（如波动方程）,三种类型的边界条件： （1）狄里赫利型边界条件（第一类边界条件）：边界上的函数值已知； （2）纽曼型边界条件（第二类边界条件）：边界上函数的法向导数值已知或是一种连续函数。 （3）混合边界条件：边界条件为第一类边界条件和第二类边界条件的线性组合。,边界条件,数值求解方法,1. 基本思想：,以偏微分方程的近似解来代替其真解，只要近似解与真解足够接近，就可以近似解作为问题的解，并满足足够的精度。,2. 基本方法：,假设一个近似解，该解一组（形式上）简单函数 的线性组合来
3、表示，线性组合的系数就是一组待定系数 然后建立一种考虑了微分方程和边界条件的关于真解 和近似解间误差的目标函数 F 用适当的算法使得该目标函数最小化最小化的过程就确定了待定系数，从而也就得到了问题的近似解。,尝试函数，基函数，形函数,数值求解方法,目标函数最小化的目的：一方面，使得近似解最大程度接近真解；另一方面，求得构成近似解的待定系数。 数学上，构成目标函数的方法很多，不同的构成方法就形成了不同的数值解法，电磁场中就常见的是：加权余量法和变分法。,数值求解偏微分方程定解问题的 主要方法,1.差分方法 2.有限元方法,共同点：都是将连续的偏微分方程进行离散，采取适当形式将其化为线性代数方程组
4、，通过求解代数方程组给出其数值解。,差分方法,无论是常微分方程还是偏微分方程，初值问题或边值问题，椭圆型、双曲型或抛物型二阶线性方程，以及高阶方程或非线性方程，通常均可利用此法将它们转化为代数方程组，再借助计算机求其数值解。,目前，对于线性偏微分方程定解问题，差分方法已经形成了较成熟的算法格式，对于非线性问题，有效的算法正在迅速发展之中。,差分方法的准备工作,（1）把求解的区域划分成网格； （2）把求解区域内连续的函数用网格节点上的离散的数值代替。 网格的划分有不同的方法，有正方形和三角形网格等划分方法。,差分方法的基础，即泰勒级数展开：,差分方法的基本概念 -用差商代替导数,一阶导数的差分表
5、达式： 二阶导数的差分表达式：,随着精度的不断提高，可以推导出无穷无尽的差分表达式。对于高阶精度公式，其优点、缺点： （1）缺点：高阶精度的差分需要更多的网格点，所以计算中的每一步都需要更多的计算时间。 （2）优点：要得到相同精度的解，如果使用高阶差分格式，网格点的总数可以更少一些；高阶差分格式可以给出质量更高的解。,例如，方程 有两个自变量x和t，设t是用于推进求解的变量 。i是x方向的标号，n是t方向的标号。设第n层上的数值已知，求第n+1层上的数值。,差分方程的显式方法与隐式方法,显式方法,时间导数 x方向导数 差分方程：,隐式方法,整理隐式格式，将未知量放在等式左边，已知量放到右边，得
6、 隐式格式可化成三对角形式的方程组。,显式方法：每一个差分方程只包含一个第n+1层的未知数，从而这个未知数可以用直接计算的方式显式地求解。显式方法是最简单的方法。,隐式方法：包含第n+1层上的多个未知量，必须形成一个代数方程组。由于需要求解联立的代数方程组，隐式方法通常涉及大型矩阵的运算。比显式方法需要更多、更复杂的计算。,显示方法和隐式方法的优缺点,1）显式方法 优点：方法的建立及编程相对简单。 缺点：对取定的x，t必须小于稳定性条件对它提出的限制。在某些情形，t必须很小，才能保持稳定性。要将时间推进计算到时间变量的给定值，就需要很长的计算机运行时间 。,2）隐式方法 优点：用大得多的t值也
7、能保持稳定性。要将时间推进计算到时间变量的给定值，需要少得多的时间步，这将使计算机运行时间更短。 缺点：方法的建立和编程更复杂。而且，由于每一时间步的计算通常需要大量的矩阵运算，每一时间步的计算机运行时间要比显式方法长得多。,求解偏微分方程的一些差分方法,有限元方法,有限元方法属于变分法的范畴，是古典的变分法和分片多项式插值相结合的产物。 由于差分法通常采用方形网格，很难适应区域形状的任意性，而有限元方法可以用多种多样的网格对区域作剖分，可以适应各种形状的区域。（见培训之有限元基础简介）,扩散问题的偏微分模型,物质的扩散问题，在石油开采、环境污染、疾病流行、化学反应、新闻传播、煤矿瓦斯爆炸、农
8、田墒情、水利工程、生态问题、房屋基建、神经传导、药物在人体内分布以及超导、液晶、燃烧等诸多自然科学与工程技术领域，十分普遍地存在着。 凡与反映扩散有关的现象，大都能由线性或非线性抛物型偏微分方程作为数学模型来定量或定性地加以解决。,算例一,有衰减的扩散问题：设有一扩散源，某物质从此扩散源向四周扩散，沿 x，y，z 三个方向的扩散系数分别为常数，衰减（例如吸收、代谢等）使质量的减少与浓度成正比，扩散前周围空间此物质的浓度为零，估计物质的分布。,设 u(x, y, z, t) 是 t 时刻点 (x, y, z) 处某物质的浓度。任取一个闭曲面 S，它所围的区域是 ，由于扩散，从 t 到 t + t
9、 时刻这段时间内，通过 S流入 的质量为,其中 a2，b2，c2 分别是沿 x，y，z 方向的扩散系数。,由高斯公式,由于衰减， 内的质量减少为,其中 k2 为衰减系数。 由物质不灭定律，在 t 到 t + t 时刻间 内由于扩散与衰减的合作用，积存于 内的质量为M1 M2。,换一个角度看，在 t 到 t + t 时刻间 内由于浓度的变化引起的质量增加为,显然，M3 = M1 M2，即,由 t，t， 的任意性得：,上述方程是常系数线性抛物型方程，它就是有衰减的扩散过程的数学模型。,设扩散源在点 (x0, y0, z0) 处，则此扩散问题满足 Cauchy 问题：,其中 M 为扩散源的质量。用傅
10、立叶变换可求得Cauchy 问题的解析解为,但值得注意的是，在实际应用中，参数 a，b，c，k 往往是很难获得的，通常都是利用观测取样值进行估计，从而得出 u(x, y, z, t) 的近似表达式。 参数估计：目的是对上式中出现的参数 a，b，c，k 进行估计。 已知条件： 点源（扩散源）的质量 M； 点源（扩散源）的位置：(x0, y0, z0)； t0 时刻的观测取样值 (xi, yi, zi, mi)，mi 为t0 时刻 (xi, yi, zi) 处物质的浓度，i = 1, , n。,首先考虑取样时刻。事实上，取样时刻是未知的，但若设取样时刻为 t0，作变量替换 t = t0，则有 =
11、t/t0，从而,即,上式仍然是常系数线性抛物型方程，与有衰减的扩散过程的数学模型形状完全一致，故可令观测取样值的取样时刻为 t0 = 1。于是，(xi, yi, zi, mi) 满足,其次考虑参数估计。对上式两端取对数，有,令,则有关系式： W = lnu(x, y, z, 1) = X + Y + Z + 由于我们获得的观测取样值 (xi, yi, zi, mi) 可以转化为相应的观测取样值 (Xi, Yi, Zi, Wi)，于是利用多元回归分析可以求出 、 的估计值，从而得到参数 a，b，c，k的估计值。 最后，将参数 a，b，c，k 的估计值代入，就得到 u(x, y, z, t) 的近
12、似表达式。,电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法加权余量法,电磁场问题总可以用位函数的偏微分方程和相应的边界条件表述,两个偏微分方程形式相同，故以电位方程的求解过程为例。磁位矢量的方程可以分解到个分量上变为标量方程。,算例2,在求解场域内，偏微分方程的真解为 ，近似解为 它由一组简单函数 的线性组合表达，表达中有待定系数 即：,电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法加权余量法,加权余量法,简单函数，一般选用简单形式的函数，一旦选定就是已知的了,待定系数是真正的求解目标,问题的自由度,近似解,3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法加权余量法,加权余量法就是一种定义近似解与真解之间误差（即余数），
13、并设法使其最小的方法。,加权余量法误差（即余数）的定义：,注意：一般余数并不表示近似解与真解间的差（场域内），加权余量法的采用拉普拉斯算子作用后的差别（即余数），来代表近似解接近偏微分方程真解的程度。,问题的自由度,3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法加权余量法,当余数小于要求的精度时，就可以认为近似解就是偏微分方程的解。 要减少余数，我们可以通过寻求适当的待定系数来实现。 为有效表达减小余数的效果，还选取适当的加权函数，以使余数和该加权函数的积分为0。“加权余量法”的来由。,3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法加权余量法,加权余数的定义：,加权函数的选取方法很多：如点重合、子域重合、
14、最小二乘法、迦辽金法。 效果较好的、运用较多的是迦辽金法：,即：迦辽金法选取尝试函数本身为加权函数,3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法加权余量法,由此构建加权量法的目标函数：,上述过程中，已经将偏微分方程转化为j个代数方程组，便于计算机求解。,关于函数是函数，称为：泛函数，或泛函,3. 加权余量法例,例1.两极电容板内部电场分布问题： 根据问题特点将3维问题简化为2维， 进一步简化为1维。 该问题是静态电场问题， 偏微分方程和边界条件：,加权余量法求解： 1.选取尝试函数、构造近似解：,2.结合问题，写出余数表达式：,3. 加权余量法例,理论上任意选取，操作中越简单越好,2.结合问题，写
15、出余数表达式：,3. 加权余量法例,3. 加权余数表达式：,3. 加权余量法例,3. 加权余数表达式：,3. 加权余量法例,4. 求解上述两个代数方程组，得到待定系数，从而确定近似解,3. 加权余量法例,加权余量法求解流程： 1.选取尝试函数、构造近似解 2.结合问题，写出余数表达式 3. 写出加权余数表达式 4. 令各加权余数表达式为0，得到代数方程组，解之得到待定系数，从而确定近似解,该静态电场问题的真解（解析解：）,3. 加权余量法例,真解与近似解相同是由于尝试函数选择的刚好，通常是有差别的，如选用三角函数，但求解过程会复杂，可见尝试函数的选取是有技巧的。,4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳,一般化偏微分方程： 线性微分算子,则其余数为：,令加权余数为0，构建代数方程：,4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳,由于是线性微分算子，故微分、求和、积分次序可调换,代数方程变形：,有j个代数方程，通常等于待定系数个数,4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳,代数方程写成矩阵形式：,系数,激励,边界条件,系数矩阵nn,待定系数矩阵、源矩阵、边界矩阵n1,矩阵元素值：,虽然元素值还需要积分、微分的求得，还难以借助计算机求解，但至少化为了代数方程组。,通过选择合适的加权函数和尝试函数可以大大简化矩阵元素的矩阵方程。 有限元方法
