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1、2019年7月5日,传递函数,2019年7月5日,2.3.1 传递函数的定义和性质 一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系统的结构参数，而与外部施加的信号无关。因而，对于一个控制系统品质好坏的评价可以通过对系统结构参数的分析来达到，而不需要直接对系统输出响应进行分析。 传递函数是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的一种数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数对系统响应的影响。,2019年7月5日,1. 定义 零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数，记为G(s)，即：,意义：,2
2、019年7月5日,传递函数的求法 线性定常系统（环节）的一般表达式（零初始条件）,2019年7月5日,当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为,例2.3 求图示RC电路的传递函数，其中ui(t)是输入电压， uo(t)是输出电压,解 由基尔霍夫电压定律可得,2019年7月5日,2. 关于传递函数的几点补充说明,（1）传递函数只适用于线性定常系统。 （2）传递函数表达式中各项系数的值完全取决于系统的结构和参数，并且与微分方程中各导数项的系数相对应。 （3）实际系统传递函数中分母多项式的阶数n总是大于或等于分子多项式的阶数m ，即nm。通常将分母多项式的阶数为n的系统称为n阶系统。 （
3、4）传递函数只能表示单输入、单输出的关系。,2019年7月5日,上式中 Kg零极点形式传递函数的根轨迹增益 ； -zi 分子多项式M(s)=0的根，称为零点； -pj 分母多项式N(s)的根，称为极点。 N(s)=0是控制系统的特征方程式。zi、pj可为实数、虚数、或复数。若为虚数、或复数，必为共轭虚数、或共轭复数。,（5）零极点表示法,2019年7月5日,（6）时间常数表示法,上式中 i分子各因子的时间常数 ； Tj分母各因子的时间常数 ； K 时间常数形式传递函数的增益；通常称为传递系数。,2019年7月5日,一般形式,2019年7月5日,2.3.2 用复阻抗法求电网络的传递函数,求取无源
4、网络或电子调节器的传递函数，采用阻抗法求取更为方便。下表列出了电路中电阻、电容和电感的阻抗传递函数。,2019年7月5日,解： 令,例2.5 求图示电路的传递函数,则,2019年7月5日,一个系统可看成由一些环节组成的，可能是电气的，机械的，液压的，气动的等等。尽管这些系统的物理本质差别很大，但是描述他们的动态性能的传递函数可能是相同的。如果我们从数学的表达式出发，一般可将一个复杂的系统分为有限的一些典型环节所组成，并求出这些典型环节的传递函数来，以便于分析及研究复杂的系统。 控制系统中常用的典型环节有，比例环节、惯性环节、 微分环节、 积分环节和振荡环节等。以下介绍这些环节的传递函数及其推导
5、。,2.3.3 典型环节及其传递函数,2019年7月5日,方框图：,1. 比例环节（放大环节）,特点：输出量与输入量成正比，不失真也不延时。 举例：这种类型的环节很多，机械系统中略去弹性的杠杆、作为测量元件的测速发电机(输入为角速度，输出为电压时)以及电子放大器等，在一定条件下都可以认为是比例环节。,2019年7月5日,例 如图a所示的电压分压器即为一典型比例环节，当输入量r(t)为阶跃变化信号时，输出量y(t)的变化如图b所示,2019年7月5日,方框图：,2. 惯性环节,特点：惯性环节的特点是其输出量不能立即跟随输入量变化，存在时间上的延迟。其中时间常数越大，环节的惯性越大，则延迟的时间也
6、越长。,2019年7月5日,例 设输入信号为单位阶跃信号，其拉普拉斯变换 ，则得输出量的拉普拉斯变换表达式为,在单位阶跃输入信号的作用下，惯性环节的输出信号是指数函数。当时间t=(34)T时，输出量才接近其稳态值。,2019年7月5日,特点：输出正比于输入对时间的积分。,3. 积分环节,方框图：,2019年7月5日,例 积分调节器电路,在单位阶跃输入信号的作用下，输出量的拉普拉斯变换表达式为,输出量随时间成正比地无限增加,2019年7月5日,4. 二阶振荡环节,2019年7月5日,特点： 1、含有两种形式的储能元件，并能将储存的能量相互转换。如动能与位能、电能与磁能间转换。 2、能量转换过程中
7、使输出产生振荡。,振荡环节阶跃响应,2019年7月5日,例 无源RLC网络，输入r(t) ， 输出y(t) 。,解：,2019年7月5日,5. 微分环节,这些微分环节的传递函数没有极点，只有零点。纯微分环节的零点为零，一阶微分环节和二阶微分环节的零点分别为实数和一对共轭复数。,2019年7月5日,例 具有惯性环节的微分环节,解：,当1时，才近似为纯微分环节。,2019年7月5日,6. 延迟环节,将延迟环节的传递函数展开为泰勒级数：,当延迟时间很小时，可近似为惯性环节：,2019年7月5日,特点： 1、输出和输入相同仅延迟时间；不失真 2、与其他环节同时存在。人体、计算机系统、液压机械传动、气动
8、传动。 原因：延时效应。信号输入环节后，由于环节传递信号的速度有限。输出响应要延迟一段时间才能产生。,2019年7月5日,说明: （1）对应同一元件（或系统），可以取不同的量作为输出量和输入量，所得到的传递函数是不同的。 （2）对于复杂的控制系统，在建立系统或被控对象的数学模型时，将其与典型环节的数学模型对比，即可知其由什么样的典型环节组成。由于典型环节的动态性能和响应是已知的，因而给分析、研究系统性能提供很大的方便。 （3）典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统。,2019年7月5日,控制系统的结构图及其等效变换,2019年7月5日,2.4.1 结构图的基本概念 系统结构图又
9、称方块图，是将系统中所有的环节用方块来表示，按照系统中各个环节之间的联系，将各方块连接起来构成的；方块的一端为相应环节的输入信号，另一端为输出信号，用箭头表示信号传递的方向，并在方块内标明相应环节的传递函数。,表明了系统的组成、信号的传递方向； 表示出了系统信号传递过程中的数学关系； 可揭示、评价各环节对系统的影响； 易构成整个系统，并简化写出整个系统的传递函数； 直观、方便（图解法）。,2019年7月5日,2.4.2 组成, 相加点（综合点、比较点） 相同性质的信号进行去取代数和 （相同量纲的物理量）, 方块：一个元件（环节）, 信号流线：箭头表示信号传递方向, 分支点：信号多路输出且相等,
10、2019年7月5日,2.4.3 建立 步骤： （1）列出描述每个元件的拉普拉斯变换方程。 （2）以构成结构图的基本要素表示每个方程，并将各环节的传递函数填入方块图内；将信号的拉普拉斯变换标在信号线附近。 （3）按照系统中信号传递的顺序，依次将各环节的结构图连接起来，便构成系统的结构图。,一个负反馈系统的结构图,2019年7月5日,2.4.4 结构图的等效变换,1. 环节的合并,（1） 串联,2019年7月5日,（2）并联,2019年7月5日,（3） 反馈,2019年7月5日,2. 信号相加点及分支点的移动,在对系统进行分析时，为了简化系统的结构图，常常需要对信号的分支点或相加点进行变位运算，以
11、便消除交叉，求出总的传递函数。 变位运算的原则是，输入和输出都不变。变换前后的方框图是等效的。,2019年7月5日,（1）相加点（对信号求和）,2019年7月5日,（2）分支点（信号由某一点分开）,2019年7月5日,（3）分支点之间可任意互换， 相加点之间可互换（但注意前后符号一致）。 （4）相加点和分支点之间一般不能互换变位,2019年7月5日,总结：上面这些规则都是根据下列两条原则得到的，即,变换前与变换后前向通道中传递函数的乘积必须保持不变；（前向传函不变） 变换前与变换后回路中传递函数的乘积必须保持不变。（开环传函不变）,2019年7月5日,注意： 有些实际系统，往往是多回路系统，形
12、成回路交错或相套。为便于计算和分析，常将种复杂的方框图简化为较简单的方框图。 结构图简化的关键是解除各种连接之间，包括环路与环路之间的交叉，应设法使它们分开，或形成大环套小环的形式。 解除交叉连接的有效方法是移动相加点或分支点。一般，结构图上相邻的分支点可以彼此交换，相邻的相加点也可以彼此交换。但是，当分支点与相加点相邻时，它们的位置就不能作简单的交换。,2019年7月5日,例2.9 简化下图，求出系统的传递函数。,解 图2.31是具有交叉连接的结构图。为消除交叉，可采用相加点、分支点互换的方法处理。,（1）将相加点a移至G2之后,2019年7月5日,（2）再与b点交换,（3）因 G4与G1G
13、2并联， G3与G2H是负反馈环节,2019年7月5日,（4）上图两环节串联，函数相乘后得系统的传递函数为,注： 以上为原系统的闭环传递函数，不是开环系统的传递函数 是闭环系统简化的结果； 分母中不能看成原闭环系统的开环传递函数，闭环系统开环传递函数应根据定义和具体框图定。,2019年7月5日,归纳规律：,通过上述例子，可以看到如果满足以下两个条件： 所有回路两两相互接触； 所有回路与所有前向通道接触。,则可以得到以下几条简化结构图的规律： 闭环系统传递函数是一个有理分式,负反馈取“+” 正反馈取“”,式中， m是前向通道的条数，n是反馈回路数。,2019年7月5日,例2.10 试简化下图所示
14、系统的结构图，并求系统的传递函数,有一条前向通道：G1G2G3G4 反馈回路开环传递函数：G1G2G3G4 H1， G3G4 H3， G2G3 H2 前向通道与反馈回路两两接触 所以,2019年7月5日,自动控制系统的传递函数,2019年7月5日,输入量、干扰量同时作用于线性系统,反馈控制系统的典型结构,2019年7月5日,2.5.1 开环传递函数,注：开环传递函数并非指开环控制系统的传递函数，而是指闭环系统断开反馈点后整个环路的传递函数。,2019年7月5日,1.给定输入作用下的闭环传递函数 令D(s)=0,2.5.2 闭环系统的传递函数,2019年7月5日,2.扰动作用下的闭环传递函数 令
15、R(s)=0,2019年7月5日,3.总输出,2019年7月5日,2.5.3 闭环系统的偏差传递函数,1.给定输入作用下的偏差传递函数 令D(s) =0,2019年7月5日,2.扰动作用下的偏差传递函数 令R(s)=0,3.总偏差,2019年7月5日,闭环系统的特征多项式,闭环系统的特征方程。其根称为闭环 系统的特征根或闭环系统的极点。 ,2019年7月5日,脉冲响应函数,2019年7月5日,脉冲响应函数也是线性系统的一种数学模型。在零初始条件下，当系统的输入信号为理想单位脉冲函数(t)时，系统的输出信号称为系统的脉冲响应函数，用g(t)表示。,由以上两式可得系统的输出量,2019年7月5日,例2.14 已知系统的脉冲响应函数为,求系统的传递函数G(s)。,
