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1、拉氏变换与模拟滤波器设计,北京科技大学,阳建宏,2019/7/5,背景介绍,信号处理：将信号做必要的变换以获得所需信息的过程,信号分析：研究信号的构成与特征,背景介绍,为什么要滤波？ 在传感器获得的信号中，常混有许多其他频率的干扰 有用的信号被淹没在干扰噪声中,为突出有用信号，抑制噪声干扰，要对传感器获得的信号进行滤波,频率成分多，噪声干扰,背景介绍,滤波的实质： 对信号进行频率选择，完成滤波功能的装置称为滤波器 当信号通过滤波器时，信号中某些频率成分得以通过， 其他频率成分的信号受到衰减或抑制 信号通过滤波器的过程，就称为对信号进行滤波。,滤波后,滤波后,背景介绍,滤波器的分类：,背景介绍,
2、简单的模拟滤波器RC滤波器：,电路简单 抗干扰性强 有较好的低频性能 选用标准的阻容元件,设滤波器的输入电压为ex，输出电压为ey，电路的微分方程为：,(克希荷夫电压定律),求微分方程的时域解，可获得系统的运动规律。,背景介绍,一阶微分方程的求解方法： 常规数学积分法：对复杂的方程不易求解，参数设定困难,主要内容,1,2,3,拉氏变换,Z变换,模拟滤波器,4,数字滤波器,信号 f(t）傅里叶变换存在需满足狄利克雷条件，但像阶跃函数、三角函数等实际中应用广泛的信号不满足绝对可积条件，经典意义上的傅里叶变换不存在。 绝对可积： 为了克服傅里叶变换在系统分析中存在的限制，引出了拉普拉斯变换，简称拉氏
3、变换。,拉氏变换的引入,能量有限,阶跃函数不收 敛，能量无限,拉氏变换,对傅里叶变换进行改造： 将函数 f(t) 乘以一个衰减指数函数 ，使得函数函数收敛，满足绝对可积条件，则可以进行傅里叶变换:,双边拉氏变换对,拉氏变换基本性质,线性定理：,延迟定理：,衰减定理：,该定理说明了f(t)在时间域的指数衰减，其拉氏变换在变换域就成为坐标平移,该定理说明了时间域的平移变换在复数域有相对应的衰减变换。,拉氏变换基本性质,时域导数性质：,频域导数性质：,初值定理：,且f()存在，则,即时域函数的终值，也可以由变换域求得。,拉氏变换,S平面,F变换是L变换的特例 L变换是F变换的扩展,拉氏变换的应用-系
4、统函数分析,拉氏变换作为傅氏变换的推广，将信号的频域分析扩展为复频域分析，扩大了信号变换的范围。 连续信号的复频域分析方法也从频域分析方法扩展而来。,频域,对于线性时不变系统： 输入信号为f(t), 系统的冲激响应为h(t)，则输出信号为：,系统函数,复频域,系统函数,简单的模拟滤波器RC滤波器：,令 =RC，称为时间常数，对上式取拉氏变换，有：,其幅频、相频特性公式为:,分析可知: 当f 很小时，A(f)=1，信号不受衰减地通过； 当f 很大时，A(f)=0，信号完全被阻挡，不能通过。,拉氏变换的应用-系统函数分析,拉氏变换,连续系统,拉氏变换,获得系统函数,离散系统如何获得系统函数？,主要
5、内容,1,2,3,拉氏变换,Z变换,模拟滤波器,4,数字滤波器,Z变换的引入,Z变换的作用： z变换是离散信号分析和处理，离散系统设计和实现中一种重要的数学工具,它在离散系统中的地位与作用，相当于连续系统中的拉氏变换。 应用z变换可以把离散系统的数学模型即差分方程转换为简单的代数方程，使求解过程简化。,Z变换两种定义： 定义1:对模拟信号进行冲激抽样经拉氏变换引出,常用于自动控制采样系统的分析。 定义2:直接给出数学定义；常用于数字信号处理中。,Z变换,Step1:若对一模拟信号x(t)作冲激抽样，得到其冲激抽样信号:,Step2：对上式两边进行（双边）拉氏变换：,Step3：将积分与求和的运
6、算次序对调，利用冲激函数抽样性，得：,令,Z变换,Step4：对上式引入复变量 ,得到一个z的函数X(z),Z变换: 离散时间域n 复数域z 的映射，是复变量Z-1 的幂级数，即罗朗级数,上式为双边z变换，单边z变换则可定义为：,考虑起始条件，更易收敛，实际中应用较多,Z变换收敛域,由Z变换的定义式可以看出，Z变换实际上是复函数X(z)在Z平面上，以序列x(n)为系数展开的罗朗级数。 由级数的理论可知，收敛的充要条件是满足条件：,可以证明，收敛域是z平面上的一个环状区域:,Z变换性质,线性,时移性,若：,则：,若：,则：,Z变换性质,Z变换与拉氏变换,在Z变换过程中，,因此，有,三种变换的关系
7、-按计算流程,连续信号,三种变换的关系-按变量关系,主要内容,1,2,3,拉氏变换,Z变换,模拟滤波器,4,数字滤波器,基本概念,滤波：提取所需要的信号,抑制不需要的信号。所用装置称为滤波器。信号通过滤波器的过程，就称为对信号进行滤波。 传统滤波：信号和噪声各占不同频带。 对信号进行频率选择。当信号通过滤波器时，信号中某些频率成分得以通过，其他频率成分的信号受到衰减或抑制。 现代滤波：信号和噪声的频谱相互重叠. 在统计指标最优条件下，利用信号统计特征进行时域估计； Wiener滤波、kalman滤波、线性预测、自适应滤波等。,总体框架,理想滤波器要求： 通带内信号的幅值和相位都不失真，阻带内的
8、频率成分都衰减为零的滤波器，其通带和阻带之间有明显的分界线。 理想滤波器在通带内的幅频特性应为常数，相频特性的斜率为常值；在通带外的幅频特性应为零。,理想滤波器,相频特性：,幅频特性：,物理上不可实现！ 理想滤波器是从一个频带到另一个频带之间的突变。 时域上讲，没有器件能够在一瞬间完成开关过程，都会存在时延和振荡； 频域上讲，矩形脉冲需要无穷带宽，实际中也没有条件提供这么大带宽。,理想滤波器,理想滤波器要物理可实现： 应从一个到另一个带之间设置一个过渡带，且在通带和止带内也不应严格要求为1或0，应给以较小容限。 过渡带越窄越好，即对通带外的频率成分衰减得越快、越多越好。,实际滤波器频域特性,实
9、际滤波器,因此，在设计实际滤波器时，总是通过各种方法使其尽量逼近理想滤波器。,衰减：,阻带截止频率：,性能指标,实际滤波器,描述实际滤波器的主要参数： 纹波幅度：越小越好 截止频率 带宽：决定滤波器分离信号相邻频率成分的能力 品质因数：Q值越大，表明滤波器频率分辨力越高 倍频程选择性：W值越大，衰减越快，则滤波器的选择性越好 滤波器因数：越接近于1，滤波器选择性越好,实际滤波器,纹波幅度d 在一定频率范围内，实际滤波器的幅频特性可能呈波纹变化，其波动幅度d与幅频特性的平均值A0相比，越小越好，一般应远小于-3dB。,截止频率 幅频特性值等于 所对应的频率称为滤波器的截止频率。 对应于-3dB点
10、，即相对衰减3dB。若以信号的幅值平方表示信号功率，则所对应的点正好是半功率点。,实际滤波器的参数,带宽B 上下两截止频率之间的频率范围称为滤波器带宽，或-3dB带宽，单位为Hz。 带宽决定着滤波器分离信号中相邻频率成分的能力频率分辨力。,实际滤波器的参数,品质因数Q 对于带通滤波器，通常把中心频率 和带宽 B之比称为滤波器的品质因数Q。 例如一个中心频率为500Hz的滤波器，带宽为10Hz，则称其Q值为50。 Q值越大，表明滤波器频率分辨力越高。,倍频程选择性W 所谓倍频程选择性，是指在上截止频率fc2与 2fc2之间，或者在下截止频率fc1与fc1/2之间幅频特性的衰减值，即频率变化一个倍
11、频程时的衰减量。 过渡带的幅频曲线倾斜程度表明了幅频特性衰减的快慢，它决定着滤波器对带宽外频率成分的衰阻能力。通常用倍频程选择性来表征。 W值越大，即衰减越快，则滤波器的选择性越好。,或,实际滤波器的参数,滤波器因数（或矩形系数） 滤波器因数是滤波器选择性的另一种表示方式 ，它是利用滤波器幅频特性的 -60dB带宽与-3dB带宽的比值来衡量滤波器选择性，即 理想滤波器=1，常用滤波器 =15，显然， 越接近于1，滤波器选择性越好。,实际滤波器的参数,总体框架,传输特性时域上用单位脉冲响应 表示； 频域上用系统函数 或频率响应 表示。,系统框图,因此，由 即可得出滤波器的系统函数,模拟滤波器,模
12、拟滤波器表示方法：,巴特沃斯(Butterworth)滤波器 切比雪夫(Chebyshev)滤波器 椭圆(Cauer)滤波器 ,模拟滤波器常用类型,幅度平方函数：,巴特沃斯滤波：通频带的频率响应曲线最平滑。 最先由英国工程师Stephen Butterworth在1930年提出。,Butterworth-最平响应特性滤波器,阶数N越大，越接近理想特性,幅度平方函数：,过渡带及阻带内，快速单调减小；,通带内幅度特性平坦，单调减小；,单调性：,Butterworth-最平响应特性滤波器,巴特沃兹滤波器在通带内幅度特性是单调下降的，如果阶次一定，则在靠近截止频率c处，幅度下降3dB。为了使通带内的衰
13、减足够小，需要的巴特沃兹滤波器阶次N很高，采用切比雪夫多项式逼近|Ha(j)|2,可以降低滤波器阶次。,切比雪夫滤波器的提出,Chebychev-通带等波纹滤波器,右图中N=8，在靠 近c处同阶次的 巴特沃兹滤波器 衰减大于切比雪夫 滤波器,切比雪夫滤波：,Chebychev-通带等波纹滤波器,c滤波器截止频率 N 阶数 与通带波纹有关的参量 ， 越大，波纹越大,阶数N越大，越接近理想特性。,过渡带及阻带内，快速单调减小；,通带内具有等波纹，即误差分布均匀；,切比雪夫滤波：,Chebychev-通带等波纹滤波器,切比雪夫滤波器在通带内有起伏，但通带衰减小于3dB， 值越小，通带起伏越小，截止频
14、率点衰减的分贝值也越小。故与巴特沃斯滤波器进行比较，切比雪夫滤波器的通带有波纹，过渡带较陡直，更接近理想情况。 如右图（N=8） 缺点：进入阻带后 衰减特性变化缓慢。,椭圆滤波器,幅值响应在通带 和阻带内都等波纹,Chebychev-通带等波纹滤波器,椭圆滤波器：幅值响应在通带和阻带内都是等波纹的。 对于给定的阶数和波纹要求，椭圆滤波器能获得较其它滤波器为窄的过渡带宽，就这点而言，椭圆滤波器是最优的。,幅度平方函数：,RN（，L）为雅可比椭圆函数； L是一个表示波纹性质的参量。,椭圆滤波器,RN（，L）为雅可比椭圆函数；实际设计中该函数需要查表计算。 L：表示波纹性质的参量。,同等滤波效果要求
15、椭圆滤波器的阶次最低，切比雪夫次之，巴特沃兹最高，参数的灵敏度则恰恰相反。,对比,对比,对同样阶数的滤波器，从 Butterworth Chebyshev Elliptic，其幅频特性逼近得越来越好，但阶跃响应的起伏、超量和振荡也越厉害。系统的复杂程度也越来越高，相应地，实现系统所付出的代价也越来越大。,5阶Butterworth滤波器与5阶Elliptic滤波器的比较,确定技术指标（即滤波器的频率特性要求） 选择滤波器类型：巴特沃斯、切比雪夫、椭圆 确定性能参数： 得滤波器频率特性,模拟滤波器的设计步骤,模拟滤波器的设计步骤,例：给定模拟滤波器技术指标，如下图 通带允许起伏：-1dB，021
16、04rad/s 阻带衰减： -15dB，22104rad/s 求用巴特沃斯滤波器实现时所需阶数N、截止角频率 c和Ha(s)表示式。,解：,(1)求阶数N和截止频率 c ，写出|Ha(j)|在 p和 s两点的方程,取整得N=4，代入式（1）求得 c,由式（1）解得,式（1）,模拟滤波器的设计步骤,解：,(2)求滤波器系统函数Ha(s)，由巴特沃斯多项式表查得N=4的BN(s)即 Ha(s)的分母多项式，令 代入Ha(s)得到滤波器系统函数Ha(s)。,例：给定模拟滤波器技术指标 通带允许起伏：-1dB，02104rad/s 阻带衰减： -15dB，22104rad/s 求用巴特沃斯滤波器实现时所需阶数N、截止角频率 c和Ha(s)表示式。,模拟滤波器,按
