力学基础cai11第4章节空间任意力系

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1、第四章 空间力系,空间力系：空间汇交（共点）力系，空间力偶系,空间任意力系,空间平行力系。,41空间汇交力系,平面汇交力系合成的力多变形法则对空间汇交力系是否适用？, 动画,第4章 空间基本力系,空间共点力系合成的几何法, 动画,平行六面体规则,第4章 空间基本力系, 动画,空间力在轴上的投影,第4章 空间基本力系,对空间多个汇交力是否好用？ 用解析法,直接投影法,1、力在直角坐标轴上的投影, 动画,空间力在正交轴上的投影,第4章 空间基本力系, 动画,空间力在平面上的投影,第4章 空间基本力系,间接（二次）投影法, 动画,二次投影法,当力与坐标轴之间的夹角不易确定时，为了计算力在坐标轴上的投

2、影，可先将力投影到对应的坐标面上，然后再投影到相应的坐标轴上，这种方法称为二次投影法。,第4章 空间基本力系,2、空间汇交力系的合力与平衡条件,合矢量（力）投影定理,空间汇交力系的合力, 动画,合力投影定理,第4章 空间基本力系,空间汇交力系平衡的充分必要条件是：,称为空间汇交力系的平衡方程。,(4-2),该力系的合力等于零，即 由式（41）,方向余弦,1、 力对点的矩以矢量表示 力矩矢,42 力对点的矩和力对轴的矩,(3)作用面：力矩作用面。,(2)方向:转动方向,(1）大小:力F与力臂的乘积,三要素：,力对点O的矩 在 三个坐标轴上的投影为,（44）,（45）,又,则,（43）, 动画,第

3、5章 空间任意力系,力对点的矩,2.力对轴的矩,力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零。,（46）, 动画,力对轴的矩,第5章 空间任意力系, 动画,力对轴的矩,在两种情形下，力对轴的矩等于零： 1.力和轴平行； 2.力的作用线通过 矩轴。,第5章 空间任意力系, 动画,力对轴的矩,力对任一z轴的矩，等于这力在z轴的垂直面上的投影对该投影面和z轴交点的矩。,第5章 空间任意力系,=0,= （4-7）,3、 力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系,已知：力 ,力 在三根轴上的分力 ， ， ，力 作用点的坐标 x, y, z,求：力 对 x, y, z轴的矩,= （4-8）,=

4、 （4-9）,比较（4-5）、（4-7）、（4-8）、（4-9）式可得,即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于 力对该轴的矩。, 动画,力矩关系定理,第5章 空间任意力系,例 题 5, 例题,如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力Fn的作用。已知斜齿轮的啮合角(螺旋角) 和压力角，试求力Fn沿x，y 和 z 轴的分力。, 空间基本力系,例 题 5, 例题,运 动 演 示, 空间基本力系,例 题 5, 例题,将力Fn向 z 轴和Oxy 平面投影,解：, 空间基本力系,例 题 5, 例题,沿各轴的分力为,将力Fxy向x，y 轴投影, 空间基本力系,例 题 6, 例题,如图所示，用起重机吊起重物。起

5、重杆的A端用球铰链固定在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。已知CE=EB=DE,角=30o ，CDB平面与水平面间的夹角EBF= 30o ,重物G=10 kN。如不计起重杆的重量,试求起重杆所受的力和绳子的拉力。, 空间基本力系,例 题 6, 例题,1. 取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。,解：,x,z,y,30o,A,B,D,G,C,E,F,其侧视图为, 空间基本力系,例 题 6, 例题,3.联立求解。,2. 列平衡方程。, 空间基本力系,43 空间力偶,1、力偶矩以矢量表示 力偶矩矢,空间力偶的三要素,（1） 大小：力与力偶臂的乘积

6、；,（3） 作用面：力偶作用面。,（2） 方向：转动方向；,力偶矩矢 （410）,2、力偶的性质,力偶矩,因,（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。,(1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。,（3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。,=,=,=,(4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。,=,=,=,=, 动画,力偶作用面的平移,第4章 空间基本力系,(5)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。,定位矢量,力偶矩相等的力偶等效,

7、力偶矩矢是自由矢量,自由矢量（搬来搬去，滑来滑去）,滑移矢量,3力偶系的合成与平衡条件,=,=,有,为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。,如同右图,合力偶矩矢的大小和方向余弦,称为空间力偶系的平衡方程。,简写为 （411）,有,空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零，即, 动画,空间力偶系的合成,第4章 空间基本力系,例 题 10, 例题,工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为80 Nm。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。, 空间基本力系,例 题 10, 例题,将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示

8、，并平移到A点。（单击图面演示平移动画）,可得,所以合力偶矩矢的大小,合力偶矩矢的方向余弦,解：, 空间基本力系,A,44 空间任意力系向一点的简化主矢和主矩,1 空间任意力系向一点的简化,其中，各 ，各,一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系。,称为空间力偶系的主矩,称为力系的主矢,空间力偶系的合力偶矩,由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有,对 ， ， ,轴的矩。,空间汇交力系的合力, 动画,空间力向任一点的简化,第5章 空间任意力系, 动画,空间力系向任一点的简化,第5章 空间任意力系, 动画,空间力系向任一点的简化意义,第5章 空间任意力系,1） 合力,最后结果为一合力。合力作用线距

9、简化中心为,2 空间任意力系的简化结果分析（最后结果）,当 时，,当 最后结果为一个合力。,合力作用点过简化中心。, 动画,空间力系合成结果,主矢FR0 ，主矩MO0，若主矢FR垂直于主矩MO ，则原空间任意力系合成为一个力FR。,第5章 空间任意力系,合力矩定理：合力对某点之矩等于各分力对同一点之矩的矢量和。,合力对某轴之矩等于各分力对同一轴之矩的代数和。,（2）合力偶,当 时，最后结果为一个合力偶。此时与简化 中心无关。,（3）力螺旋,当 时,力螺旋中心轴过简化中心,当 成角 且 既不平行也不垂直时,力螺旋中心轴距简化中心为, 动画,空间力系合成结果,主矢FR0 ，主矩MO0 ，若主矢FR

10、与主矩MO既不平行也不垂直 ，则原空间任意力系合成为一个力螺旋。,第5章 空间任意力系,（4）平衡,当 时，空间力系为平衡力系,45 空间任意力系的平衡方程,空间任意力系平衡的充分必要条件：该力系的主矢、主矩分别为零。,1.空间任意力系的平衡方程,（412）,空间平行力系的平衡方程,（413）,2.空间约束类型举例,3.空间力系平衡问题举例,第5章 空间任意力系, 例 题,例 题 1, 例题,在直角弯杆的C端作用着力F，试求这力对坐标轴以及坐标原点O的矩。已知OA =a = 6 m，AB=b=4m, BC=c=3m ,=30, =60。, 空间任意力系,例 题 1, 例题,由图示可以求出力F

11、在各坐标轴上的投影和力F 作用点C 的坐标分别为：,解：,x= a = 4 m y= b = 6 m z= c =3 m, 空间任意力系,例 题 1, 例题,则可求得力F 对坐标轴之矩以及对原点O之矩的大小和方向。,力F 对坐标轴之矩为：,力F 对原点O之矩大小：, 空间任意力系,例 题 1, 例题,力F 对原点O之矩方向余弦：, 空间任意力系,例 题 2, 例题,如图所示三轮小车，自重G = 8 kN，作用于E点，载荷F1 = 10 kN，作用于C点。求小车静止时地面对车轮的约束力。, 空间任意力系,例 题 2, 例题,以小车为研究对象，主动力和约束反力组成空间平行力系，受力分析 如图。,列

12、平衡方程,解方程得,解：, 空间任意力系,例 题 3, 例题,如图所示匀质长方板由六根直杆支持于水平位置，直杆两端各用球铰链与板和地面连接。板重为G，在A处作用一水平力F，且F = 2G。求各杆的内力。, 空间任意力系,例 题 3, 例题,2. 列平衡方程。,1. 取工件为研究对象，受力分析如图。,解：, 空间任意力系,例4,求：三根杆所受力。,已知：P=1000N ,各杆重不计。,解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受力图建坐标系如图。,由,解得 （压）,（拉）,圆盘面O1垂直于z轴，,求:轴承A,B处的约束力。,例5,已知：,F1=3N，,F2=5N，,构件自重不计。,两盘面上作用有力偶，,圆

13、盘面O2垂直于x轴，,AB =800mm,两圆盘半径均为200mm，,解：取整体，受力图如图b所示。,解得,由力偶系平衡方程,例4-3,已知：,求：,解：把力 分解如图,例6,求：正方体平衡时，,不计正方体和直杆自重。,力 的关系和两根杆受力。,已知：正方体上作用两个力偶,解：两杆为二力杆，,取正方体，,画受力图建坐标系如图b,以矢量表示力偶，如图c,有,解得,设正方体边长为a ,有,有,解得,杆 受拉， 受压。,46 重 心,1 重心的概念及其坐标的公式,不变形的物体(刚体)在地表面无论怎样放置，其平行分布重力的合力作用线，都通过此物体上一个确定的点，这一点称为物体的重心。,重心在工程实际中

14、具有重要的意义。 下面通过平行力系的合力推导物体重心的坐标公式。,对y轴用合力矩定理,有,对x轴用合力矩定理,有,整个物体的重量，即,再对x轴用合力矩定理,则计算重心坐标的公式为,（414）,对均质物体，有,称为重心或形心公式,均质等厚板状物体，有,这时的重心称为面积的重心。曲面的重心一般不在曲面上，而相对于曲面位于确定的一点。,均质等截面的细长线段，其截面尺寸与其长度相比是很小时，如图4-29所示。则其重心公式为:,这时的重心称为线段的重心，曲线的重心一般不在曲线上。,由上可见,均质物体的重心就是几何中心，通常也称形心。,(1)简单几何形状物体的重心.积分法 如均质物体有对称面，或对称轴，或

15、对称中心，不难看出，该物体的重心必相应地在这个对称面，或对称轴，或对称中心上。例如:正圆锥体或正圆锥面、正棱柱体或正棱柱面的重心都在其轴线上;椭球体或椭圆面的重心在其几何中心上，平行四边形的重心在其对角线的交点上，等等。简单形状物体的重心可从工程手册上查到，表4-2列出了常见的儿种简单形状物体的重心。工程中常用的型钢(如T字钢、角钢、槽钢等)的截面的形心，也可以从型钢表中查到。 表4-2中列出的重心位置，均可按前述公式积分求得，如下例。,2 确定重心的方法,例4-11 试求图4-30所示半径为R、圆心角为2的扇形面积的重心。,解:取中心角的平分线为y轴。由于对称关系，重心必在这个轴上，即xc=0,现在只需求出yc。把扇形面积分成无数无穷小的面积素(可看作三角形)、每个小三角形的重心都在距顶点O为(2/3)R处。,任一位置处的微小面积,其重心的y坐标为,扇形总面积为,由形心坐标公式(4-37)，可得,如以代入，,即得半圆形的重心,(2)