《2018版高中数学人教B版必修二学案：1.1.1 构成空间几何体的基本元素 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修二学案：1.1.1 构成空间几何体的基本元素 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征 （9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.1 空间几何体空间几何体 1.1.1 构成空间几何体的基本元素构成空间几何体的基本元素 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征棱柱、棱锥和棱台的结构特征 学习目标 1.以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，同时在运动变化的观点 下，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系.2.理解平面的无限延展性，学会判断平 面的方法.3.能根据棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征，掌握它们的相关概念、分类和表 示方法. 知识链接 观察下列图片，你知道这些图片所表示的物体在几何中分别叫什么名称吗？ 答 (1)、(8)为圆柱；(2)为长方体；(3)、(6)为圆锥；(4)、(10)为圆台；(5)、(7)、
2、(9)为棱柱； (11)、(12)为球；(13)、(16)为棱台；(14)、(15)为棱锥. 预习导引 1.几何体 只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一 个几何体. 2.构成空间几何体的基本元素 (1)点、线、面是构成几何体的基本元素.线有直线(段)和曲线(段)之分，面有平面(部分)和曲 面(部分)之分. (2)在立体几何中，平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面；平面一般用 希腊字母 ，来命名，还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名. 3.空间点、线、面的位置关系 (1)空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面. (2)直线和平
3、面的位置关系：平行、相交、在平面内. (3)两个平面的位置关系：平行、相交. 4.多面体 (1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体. (2)把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这 样的多面体就叫做凸多面体. 5.几种常见的多面体 多面体定义图形及表示相关概念 棱柱 有两个面互相平行，其余 各面都是四边形，并且每 相邻两个四边形的公共边 都互相平行，由这些面所 围成的多面体叫做棱柱 如图可记作：棱柱 ABCDEF- ABCDEF 底面(底)：两个互 相平行的面. 侧面：其余各面. 侧棱：相邻侧面的 公共边. 顶点：侧面与底面 的公共顶点 棱锥 有一个面
4、是多边形，其余 各面都是有一个公共顶点 的三角形，由这些面所围 成的多面体叫做棱锥 如图可记作，棱锥 S-ABCD 底面(底)：多边形 面. 侧面：有公共顶点 的各个三角形面. 侧棱：相邻侧面的 公共边. 顶点：各侧面的公 共顶点 棱台 用一个平行于底面的平面 去截棱锥，底面与截面之 间的部分叫做棱台 如图可记作：棱台 ABCD- ABCD 上底面：原棱锥的 截面. 下底面：原棱锥的 底面. 侧面：其余各面. 侧棱：相邻侧面的 公共边. 顶点：侧面与上 (下)底面的公共顶 点 要点一 长方体中基本元素间的位置关系 例 1 如图所示，在长方体 ABCDABCD中，如果把它的 12 条棱延伸为直线
5、，6 个面延 伸为平面，那么在这 12 条直线与 6 个平面中，回答下列问题： (1)与直线 BC平行的平面有哪几个？ (2)与直线 BC垂直的平面有哪几个？ (3)与平面 BC平行的平面有哪几个？ (4)与平面 BC垂直的平面有哪几个？ 解 (1)与直线 BC平行的平面有：平面 AD，平面 AC. (2)与直线 BC垂直的平面有：平面 AB，平面 CD. (3)与平面 BC平行的平面有：平面 AD. (4)与平面 BC垂直的平面有：平面 AB，平面 AC，平面 CD，平面 AC. 规律方法 1.解决此类问题的关键在于识图，根据图形识别直线与平面平行、垂直，平面 与平面平行、垂直. 2.长方体
6、和正方体是立体几何中的重要几何体，对其认识有助于进一步认识立体几何中的 点、线、面的基本关系. 跟踪演练 1 若本例中的题干不变，将问题(1)(2)中的“直线 BC”改为“直线 BC” ，再去 解答前两个小题. 解 (1)与直线 BC平行的平面有：平面 AD. (2)所给 6 个平面中，与直线 BC垂直的平面不存在. 要点二 棱柱的结构特征 例 2 下列关于棱柱的说法： (1)所有的面都是平行四边形； (2)每一个面都不会是三角形； (3)两底面平行，并且各侧棱也平行； (4)被平面截成的两部分可以都是棱柱. 其中正确说法的序号是_. 答案 (3)(4) 解析 (1)错误，棱柱的底面不一定是平
7、行四边形； (2)错误，棱柱的底面可以是三角形； (3)正确，由棱柱的定义易知； (4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4). 规律方法 棱柱的结构特征： (1)两个面互相平行； (2)其余各面是四边形； (3)相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看 是否满足其他特征. 跟踪演练 2 下列关于棱柱的说法错误的是( ) A.所有的棱柱两个底面都平行 B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行 C.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 D.棱柱至少有五个面 答案 C 解
8、析 对于 A、B、D，显然是正确的；对于 C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余 各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何 体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件， 因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱.所以 C 错误. 要点三 棱锥、棱台的结构特征 例 3 下列关于棱锥、棱台的说法： (1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； (2)棱台的侧面一定不会是平行四边形； (3)棱锥的侧面只能是三角形； (4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； (5)棱锥被平面截成的
9、两部分不可能都是棱锥，其中正确说法的序号是_. 答案 (2)(3)(4) 解析 (1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的 部分不是棱台； (2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形； (3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形； (4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； (5) 错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥. 规律方法 判断棱锥、棱台形状的两个方法 (1)举反例法： 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确. (2)直接法： 棱锥棱台 定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的
10、面，即为底面 看侧棱相交于一点延长后相交于一点 跟踪演练 3 棱台不具有的性质是( ) A.两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱长都相等 D.侧棱延长后相交于一点 答案 C 解析 由棱台的概念(棱台的产生过程)可知 A，B，D 都是棱台具有的性质，而侧棱长不一 定相等. 要点四 多面体的表面展开图 例 4 画出如图所示的几何体的表面展开图. 解 表面展开图如图所示： 规律方法 多面体表面展开图问题的解题策略： (1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或 者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底 面画出来，然后依次
11、画出各侧面，便可得到其表面展开图. (2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把 上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多 个表面展开图. 跟踪演练 4 一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A、B、C 是展开图上的三点，则在正方体盒子 中，ABC_. 答案 60 解析 将平面图形翻折，折成空间图形，如图. 1.三棱锥的四个面中可以作为底面的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案 D 解析 由于三棱锥的每一个面均可作为底面，应选 D. 2.棱柱的侧面都是( ) A.三角形 B.四边形 C.五边
12、形 D.矩形 答案 B 解析 由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形. 3.如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现可折成正四面体，不论选哪一 个三角形作底面折叠都不能折成正四面体. 4.下列几何体中，_是棱柱，_是棱锥，_是棱台(仅填相应序号). 答案 解析 结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知是棱柱，是棱锥，是棱台. 5.线段 AB 长为 5 cm，在水平面上向右移动 4 cm 后记为 CD，将 CD 沿铅垂线方向向下移 动 3 cm 后记为 CD，再将 CD沿水平方向向左移动 4 cm 后记
13、为 AB，依次连接构成长方 体 ABCDABCD. (1)该长方体的高为_； (2)平面 ABBA 与平面 CDDC间的距离为_； (3)点 A 到平面 BCCB的距离为_. 答案 (1)3 cm (2)4 cm (3)5 cm 解析 如图，在长方体 ABCDABCD中，AB5 cm，BC4 cm，CC3 cm，长方体 的高为 3 cm；平面 ABBA 与平面 CDDC之间的距离为 4 cm；点 A 到平面 BCCB的距离 为 5 cm. 1.空间几何体的本质 (1)几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分，如长方体形的盒子外表面 不是长方体，而外表面加上它所占据的空间才是长方体.
14、 (2)数学上的几何体是一个抽象概念，只需考虑它的形状和大小，研究它的结构特征和构成 元素间的逻辑关系等. 2.两个特殊的空间位置关系 (1)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形； (2)平面和平面垂直是两个平面相交的特殊情形. 3.(1)点到平面的距离：点与平面内任一点连线中最短的一条线段的长度.特别地，当点在平 面内时，点到平面的距离为 0. (2)两个平行平面间的距离，可转化为其中一个平面内任一点到另一个平面的距离. 4.棱柱、棱锥、棱台的关系 在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱 锥、三棱台为例). 5.各种棱柱之间的关系 (1)棱柱
15、的分类 棱柱Error!Error! (2)常见的几种四棱柱之间的转化关系 6.棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表： 名称底面侧面侧棱高 平行于底面的 截面 斜 棱 柱 平行且全等的 两个多边形 平行四边形平行且相等与底面全等 直 棱 柱 平行且全等的 两个多边形 矩形 平行、相等且 垂直于底面 等于侧棱与底面全等 棱 柱 正 棱 柱 平行且全等的 两个正多边形 全等的矩形 平行、相等且 垂直于底面 等于侧棱与底面全等 正 棱 锥 一个正多边形 全等的等腰三 角形 有一个公共顶 点且相等 过底面中心与底面相似 棱 锥 其 他 棱 锥 一个多边形三角形 有一个公共顶 点 与底面相似 正 棱 台 平行且相似的 两个正多边形 全等的等腰梯 形 相等且延长后 交于一点 与底面相似 棱 台 其 他 棱 台 平行且相似的 两个多边形 梯形 延长后交于一 点 与底面相似
