《2018版高中数学人教B版必修五学案：第一单元 §1.2 应用举例（二） 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修五学案：第一单元 §1.2 应用举例（二） （11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习目标 1.能够运用正弦、余弦定理解决航海测量中的实际问题.2.了解解三角形在物理中 的应用.3.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用 知识点一 航海中的测量问题 思考 在浩瀚无垠的海面上航行，最重要的是定位和保持航向阅读教材，看看船只是如何 表达位置和航向的？ 梳理 方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角如南偏西 60，即以正南方向为始边，顺 时针方向向西旋转 60. 知识点二 解三角形在物理中的应用 思考 我们知道，如图中的向量.那么物理中的哪些量可以解释 AB AD AC 为向量？ 梳理 数学在物理学中的应用非常广泛，某种角度上说，
2、物理题实际上是数学应用题，解物 理题就是先把实际问题抽象成数学问题，解决后再还原成实际问题的答案 知识点三 三角形面积公式的拓展 思考 如果已知底边和底边上的高，可以求三角形面积那么如果知道三角形两边及夹角， 有没有办法求三角形面积？ 梳理 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，则ABC 的面积 S absin 1 2 C bcsin A acsin B. 1 2 1 2 类型一 航海中的测量问题 例 1 如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B，然后从 B 出发，沿北偏东 32的方向航行 54.0 n mile 后到达海岛
3、 C.如果下次航行直接从 A 出发到达 C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到 0.1，距离精确到 0.01 n mile) 反思与感悟 解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根 据条件，画出示意图，转化为解三角形问题 跟踪训练 1 甲船在 A 点发现乙船在北偏东 60的 B 处，乙船以每小时 a 海里的速度向北行 驶，已知甲船的速度是每小时a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？ 3 类型二 解三角形在物理中的应用 例 2 如图所示，对某物体施加一个大小为 10 N 的力 F，这个力被分解到 OA，OB 两个方向上，已知
4、AOB120，力 F 与 OA 的夹角为 45，求分力 的大小 反思与感悟 解决物理等实际问题的步骤 (1)把实际问题受力平衡用图示表示 (2)转化为数学问题，通过正余弦定理解三角形 (3)把数学问题的解转化为实际问题的解 跟踪训练 2 有一两岸平行的河流，水速为 1 m/s，小船的速度为 m/s，为使所走路程最短， 2 小船应朝_方向行驶( ) A与水速成 45 B与水速成 135 C垂直于对岸 D不能确定 类型三 三角形面积公式的应用 命题角度 1 求面积 例 3 在ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积 S(精确到 0.1 cm2)： (1)已知 a14.8 cm，c23.5 cm，B
5、148.5； (2)已知 B62.7，C65.8，b3.16 cm； (3)已知三边的长分别为 a41.4 cm，b27.3 cm， c38.7 cm. 反思与感悟 三角形面积公式 S absin C，S bcsin A，S acsin B 中含有三角形的边角 1 2 1 2 1 2 关系因此求三角形的面积，与解三角形有密切的关系首先根据已知，求出所需，然后求 出三角形的面积 跟踪训练 3 在ABC 中，AB，AC1，B30，求ABC 的面积 3 命题角度 2 已知三角形面积 例 4 在ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 a，b，c，已知 c2，C .若ABC 3 的面积等于，求
6、a，b. 3 反思与感悟 题目条件或结论中若涉及三角形的面积，要根据题意灵活选用三角形的面积公 式 跟踪训练 4 如图所示，已知半圆 O 的直径为 2，点 A 为直径延长线上的一点，OA2，点 B 为半圆上任意一点，以 AB 为一边作等边三角形 ABC，求 B 在什么位置时，四边形 OACB 的面积最大 1一艘海轮从 A 处出发，以 40 n mile/h 的速度沿南偏东 40方向直线航行，30 min 后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B 处观察灯塔，其 方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是( ) A10 n mile B10
7、 n mile 23 C20 n mile D20 n mile 23 2已知三角形面积为 ，外接圆面积为 ，则这个三角形的三边之积为( ) 1 4 A1 B2 C. D4 1 2 3作用于同一点的三个力 F1，F2，F3平衡，已知|F1|30 N，|F2|50 N，F1和 F2之间的夹 角是 60，求 F3的大小与方向(精确到 0.1) 1在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应 用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 2解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况： (1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定
8、理解之 (2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐 步在其余的三角形中求出问题的解 答案精析答案精析 问题导学 知识点一 思考 用方向角和方位角 知识点二 思考 力、速度、加速度、磁场强度等 知识点三 思考 在ABC 中，如果已知边 AB、BC 和角 B，边 BC 上的高记为 ha，则 haABsin B从 而可求面积 题型探究 类型一 例 1 解 在ABC 中， ABC1807532137， 根据余弦定理， AC AB2BC22AB BC cosABC 67.5254.022 67.5 54.0 cos 137 113.15. 根据正弦定理， BC
9、sinCAB AC sinABC sinCAB0.325 5， BCsinABC AC 54.0sin 137 113.15 所以CAB19.0，75CAB56.0. 所以此船应该沿北偏东 56.0的方向航行，需要航行 113.15 n mile. 跟踪训练 1 解 如图所示设经过 t 小时两船在 C 点相遇， 则在ABC 中， BCat(海里)，ACat(海里)， 3 B9030120， 由，得 BC sinCAB AC sin B sinCAB BCsin B AC at sin 120 3at ， 3 2 3 1 2 0CAB90，CAB30， DAC603030， 甲船应沿着北偏东 3
10、0的方向前进，才能最快与乙船相遇 类型二 例 2 解 如图，作F，F1，F2，作OGFC，由题设知 OF OG OC |10，FOG45，AOB120， OF 则FOCAOBFOG 1204575， 由OGFC 知，GFOFOC75， 在FOG 中， FGO180754560， 由正弦定理得 ， OG sinGFO OF sinFGO 即， OG sin 75 10 sin 60 解得 OG5， 2(1 3 3) 由正弦定理得， OF sinOGF FG sinFOG 即，解得 FG. 10 sin 60 FG sin 45 10 6 3 所以 OA 方向的力大小为 5N，OB 方向的力大小为
11、N. 2(1 3 3) 10 6 3 跟踪训练 2 B 如图，设为水速，为船在静水中的速度，为. AB AD AC AB AD 依题意，当时，所走路程最短， AC CD 现需求BAD，只要求CAD 即可， 在 RtCAD 中， |1，|， CD AB AD 2 sinCAD，且CAD 为锐角 |CD | |AD | 2 2 CAD45， BAD4590135. 即小船应朝与水速成 135的方向行驶 类型三 命题角度 1 例 3 解 (1)应用 S casin B， 1 2 得 S 23.514.8sin 148.5 1 2 90.9(cm2) (2)根据正弦定理， b sin B c sin
12、C 得 c， bsin C sin B S bcsin A b2， 1 2 1 2 sin Csin A sin B A180(BC) 180(62.765.8) 51.5， S 3.162 1 2 sin 65.8sin 51.5 sin 62.7 4.0 (cm2) (3)根据余弦定理的推论，得 cos B c2a2b2 2ca 0.769 7， 38.7241.4227.32 2 38.7 41.4 sin B 1cos2B 10.769 72 0.638 4. 应用 S casin B， 1 2 得 S 38.741.40.638 4 1 2 511.4 (cm2) 跟踪训练 3 解
13、由正弦定理， 得， 1 sin 30 3 sin C sin C. 3 2 0C180，且 ABAC，CB， C60或 120. 当 C60时，A90， SABC 1； 1 23 3 2 当 C120时，A30， SABC 1sin 30. 1 23 3 4 命题角度 2 例 4 解 由余弦定理及已知条件，得 a2b2ab4，又因为ABC 的面积等于，所以 3 absin C，得 ab4， 1 23 联立方程组Error!Error! 解得Error!Error! 跟踪训练 4 解 设AOB， 在ABO 中，由余弦定理，得 AB21222212cos 54cos ，(0，)， SSAOBSABC OAOBsin AB2 1 2 3 4 2sin. ( 3) 5 4 3 当 ， 3 2 5 6 即AOB时，四边形的面积最大 5 6 当堂训练 1A 2.A 3.解 F3应和 F1，F2的合力 F 平衡，所以 F3和 F 在同一直线上，并且大小相等， 方向相反 如图，在OF1F 中，由余弦定理，得 |F| 3025022 30 50cos 120 70(N)， 再由正弦定理，得 sinF1OF， 50sin 120 70 5 3 14 所以F1OF38.2， 从而F1OF3141.8. 所以 F3为 70 N，F3和 F1间的夹角为 141.8.
