《2018版高中数学人教B版必修二学案：2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修二学案：2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式 （5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式平面直角坐标系中的基本公式 学习目标 1.通过数轴上两点的距离公式的探索,掌握平面直角坐标系中两点的距离公式 和中点公式.2.通过对两点的距离公式的推导过程的探索,体会算法.3.进一步体会“坐标法” 的基本思想,逐步学会用“坐标法”解决有关问题. 知识链接 1.在直角坐标系中,A(1,0),B(3,0)两点的距离为 2；C(0,1),D(0,3)两点的距离为 4. 2.在直角三角形 ABC 中,B90,AB3,BC4,则 AC5. 预习导引 1.两点间距离公式 两点 A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式表示为 d(A,B)； (x2x1)2(y2
2、y1)2 当 AB 垂直于 y 轴时,d(A,B)|x2x1|； 当 AB 垂直于 x 轴时,d(A,B)|y2y1|； 当 B 为原点时,d(A,B). x2 1y2 1 2.坐标法 (1)定义：在解决一些平面上的几何问题时,经常在平面上建立坐标系,以坐标系为桥梁,将几 何问题转化为代数问题,通过代数运算研究几何图形的性质,这种方法称为坐标法.注意在建 立坐标系时,可以建立直线坐标系、直角坐标系等. (2)坐标法解决问题的基本步骤如下： 第一步,根据题中条件,建立恰当的坐标系,用坐标表示有关的量；第二步,进行有关代数运算； 第三步,把代数结果翻译成几何关系. 3.中点坐标公式 已知 A(x1
3、,y1),B(x2,y2),设点 M(x,y)是线段 AB 的中点,则中点坐标公式为. ( x1x2 2 ，y1y2 2 ) 要点一 两点的距离公式的应用 例 1 已知ABC 三个顶点的坐标分别为 A(a,0),B(a,0),C(0,a). 3 求证：ABC 是等边三角形. 证明 由两点的距离公式得 |AB|2|a|, (aa)2(00)2 |BC|2|a|, (0a)2(r(3)a0)2 |CA|2|a|. (0a)2(r(3)a0)2 |AB|BC|CA|, 故ABC 是等边三角形. 规律方法 1.判断多边形的形状或判断点之间的关系时,若已知点的坐标,一般转化为两点的 距离求解. 2.根据
4、边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形 等,在进行判断时,一定要得出最终结果,比如一个三角形是等腰直角三角形,若我们只通过两 边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的. 跟踪演练 1 本例若改为：已知 A(1,1),B(3,5),C(5,3),试判断ABC 的形状. 解 d(A,B) 3(1)25(1)2 2, 42625213 d(A,C) 5(1)23(1)2 2, 62425213 d(B,C)2. (53)2(35)2222282 所以|AB|AC|BC|,且显然三边长不满足勾股定理, 所以ABC 为等腰三角形, 要点二 中点公式的应用 例 2 已知平行
5、四边形 ABCD 的两个顶点坐标分别为 A(4,2),B(5,7),对角线交点为 E(3,4), 求另外两顶点 C、D 的坐标. 解 设 C 点坐标为(x1,y1),则由 E 为 AC 的中点得： Error!Error!得Error!Error!设 D 点坐标为(x2,y2),则由 E 为 BD 的中点得 Error!Error!得Error!Error! 故 C 点坐标为(10,6),D 点坐标为(11,1). 规律方法 1.本题是用平行四边形对角线互相平分这一性质,依据中点公式列方程组求点的 坐标. 2.中点公式常用于求与线段中点,三角形的中线,平行四边形的对角线等有关的问题,解题时一
6、般先根据几何概念,提炼出点之间的“中点关系”,然后用中点公式列方程或方程组求解. 跟踪演练 2 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点坐标分别为 A(0,0),B(2,0),D(1,3),求顶点 C 的坐标. 解 平行四边形的对角线互相平分, 平行四边形对角线的中点坐标相同. 设 C 点坐标为 C(x,y),则 Error!Error! Error!Error!即 C(3,3). 要点三 坐标法的应用 例 3 已知正三角形 ABC 的边长为 a,在平面上求一点 P,使|PA|2|PB|2|PC|2最小,并求此 最小值. 解 以 BC 所在直线为 x 轴,BC 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标
7、系如图. 则 A,B,C (0， 3 2 a) ( a 2，0) ( a 2，0) 设 P(x,y)则|PA|2|PB|2|PC|2 x2 22y22y2 (y 3 2 a) (x a 2) (x a 2) 3x23y2ay3x23 2a2a2,3 5a2 4 (y 3 6 a) 当且仅当 x0,ya 时,等号成立, 3 6 所求最小值为 a2,此时 P 点坐标为 P是正ABC 的中心. (0， 3a 6 ) 规律方法 (1)也可以 B 为原点,BC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,计算也不复杂. (2)配方法求最值是重要方法,应掌握好. (3)选择恰当坐标系的原则是“避繁就简”. 跟踪演练
8、 3 已知ABC 是直角三角形,斜边 BC 的中点为 M,建立适当的直角坐标系.证明： AM BC. 1 2 证明 如图所示,以 RtABC 的直角边 AB 所在直线为 x 轴,AC 所在直线为 y 轴,建立直角坐 标系,设 B、C 两点的坐标分别为(b,0)、(0,c), 点 M 是 BC 的中点,故点 M 的坐标为. ( b 2， c 2) 由两点的距离公式,得 |BC| , (0b)2(c0)2b2c2 |AM| , ( b 20)2( c 20)2 1 2 b2c2 AM BC. 1 2 1.已知 A(8,3),B(5,3),则线段 AB 的中点坐标为( ) A. B. ( 3 2，2
9、) ( 3 2，3) C. D. ( 3 2，3) ( 3 2，3) 答案 B 解析 由中点坐标公式可以求得. 2.已知 A(1,2),B(a,6),且|AB|5,则 a 的值为( ) A.4 B.4 或 2 C.2 D.2 或 4 答案 D 解析 5,解得 a2 或 4. (a1)2(62)2 3.已知线段 AB 的中点在坐标原点,且 A(x,2),B(3,y),则 xy 等于( ) A.5 B.1 C.1 D.5 答案 D 解析 易知 x3,y2,xy5. 4.以 A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三
10、角形 答案 B 5.点 A(2,3),B(5,4)之间的距离为_. 答案 10 解析 |AB|. (52)2(43)29110 1.A,B 两点的距离与 A,B 两点的顺序无关,即 d(A,B)d(B,A).公式中坐标的顺序也可以同时调 换,即 d(A,B). (x2x1)2(y2y1)2(x1x2)2(y1y2)2 2.在平面直角坐标系内,若已知点 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点 M 的坐标为(x,y),则有Error!Error! 对于 A,B,M 三点,只需知道其中两点的坐标,便可求出其余一点的坐标. 3.坐标法应用的注意点： 一些平面几何问题用坐标法解决更简单,但要把坐标系建立在适当的位置上,注意利用图形的 几何性质. (1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上； (2)如果图形中有互相垂直的两条直线,则考虑其作为坐标轴； (3)考虑图形的对称性,可将图形的对称中心作为原点,将图形的对称轴作为坐标轴. 事实上,建立不同的直角坐标系,相关点的坐标不同,但不影响最后的结果.
