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1、 1.空间几何体的结构特征 (1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平 行. 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形. 棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的. 这三种几何体都是多面体. (2)圆柱、圆锥、圆台、球是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的， 它们都称为旋转体.在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截 面. (3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基 本几何体. 2.空间几何体的三视图与直观图 (1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何
2、体而画出的图形； 它包括主视图、左视图、俯视图三种.画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则. 注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓 线用虚线画出.熟记常见几何体的三视图.画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验. (2)斜二测画法为： 主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法.它的主要步骤：画轴；画平行于 x、y、z 轴的线段分别为平行于 x、y、z轴的线段；截线段：平行于 x、z 轴的线段 的长度不变，平行于 y 轴的线段的长度变为原来的一半. 三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化，这也是高考考 查的重点；根据三视图
3、的画法规则理解三视图中数据表示的含义，从而可以确定几何体的 形状和基本量. 3.几何体的表面积和体积的有关计算 (1) 面 积体 积 圆柱S侧2rhVShr2h 圆锥S侧rl V Sh r2h r2 1 3 1 3 1 3l2r2 圆台S侧(r1r2)l V (S上S下)h 1 3S上S下 (r r r1r2)h 1 32 12 2 直棱柱S侧ChVSh 正棱锥 S侧 Ch 1 2 V Sh 1 3 正棱台 S侧 (CC)h 1 2 V (S上S下)h 1 3S上S下 球S球面4R2 V R3 4 3 (2)在处理有关体积问题时可以利用等体积变换法. 当所给三棱锥的体积套用公式时某一量(面积或
4、高)不易求出时，利用三棱锥的任一个面可 作为三棱锥的底面，可以转换为底面面积和高都易求的方式来计算. (3)补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法.由台体的定义知，在某种情况下，我们 可以将台体补全成锥体来研究其体积. (4)割补法：在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时，经常要用到 割补法，割补法是割法与补法的总称.补法是把不熟悉的(或复杂的)几何体延伸或补加成熟 悉的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形，如长方体、正方体等.割法是把 复杂的几何体切割成简单的几何体或体积易求的几何体.割与补是对立统一的，是一个问题 的两个方面. 4.球与其他几何体形成的组合
5、体问题 球与其他几何体组成的组合体通常在试题中以相切或相接的形式出现，关键在于仔细观察、 分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地 包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，从而将空间问题转化成平面问 题. 5.线线关系 空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种.两直线垂直有“相交垂直”与 “异面垂直”两种情况. (1)证明线线平行的方法 线线平行的定义； 基本性质 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行； 线面平行的性质定理：a，a，bab； 线面垂直的性质定理：a，bab； 面面平行的性质定理：，a，bab. (2)证明线线垂直
6、的方法 线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移 把异面直线转化为相交直线； 线面垂直的性质：a，bab； 线面垂直的性质：a，bab. 6.线面关系 直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种 . (1)证明直线与平面平行的方法 线面平行的定义； 判定定理：a，b，aba； 平面与平面平行的性质：，aa. (2)证明直线与平面垂直的方法 线面垂直的定义； 判定定理 1：Error!Error!l； 判定定理 2：ab，ab； 面面平行的性质定理：，aa； 面面垂直的性质定理：，l，a，ala. 7.面面关系 两个平面之间的位置关系有且只有平行
7、、相交两种. (1)证明面面平行的方法 面面平行的定义； 面面平行的判定定理：a，b，a，b，abA； 线面垂直的性质定理：垂直于同一条直线的两个平面平行，即 a，a； 基本性质 4 的推广：平行于同一平面的两个平面平行，即 ，. (2)证明面面垂直的方法 面面垂直的定义. 面面垂直的判定定理：a，a. 8.证明空间线面平行或垂直需注意的三点 (1)由已知想性质，由求证想判定. (2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一. (3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论. 9.“升降维”思想 用降维的方法把空间问题转化为平面或直线问题，可以使问题得到解决.用升维的方法把平 面或直线中的
8、概念、定义或方法向空间推广，可以从已知探索未知，是“学会学习”的重 要方法. 平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程. 题型一 三视图与直观图 三视图和直观图是空间几何体的不同表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把 握空间几何体的性质.由空间几何体可以画出它的三视图，同样，由三视图可以想象出空间 几何体的形状，两者之间可以相互转化. 例 1 将正方体如图(1)所示截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的左 视图为( ) 答案 B 解析 还原正方体后，将 D1，D，A 三点分别向正方体右侧面作垂线.D1A 的射影为 C1B， 且为实线，
9、B1C 被遮挡应为虚线. 跟踪演练 1 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( ) 答案 B 解析 所给选项中，A、C 选项的主视图、俯视图不符合，D 选项的左视图不符合，只有 B 选项符合. 题型二 几何体的表面积与体积 几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材 料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算.特别是特殊的柱、锥、 台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、 圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用.割补法、构造法是常用的技巧. 例 2 如图所示，已知三棱柱 ABC
10、ABC，侧面 BBCC的面积是 S，点 A到侧面 BBCC的距离是 a，求三棱柱 ABCABC的体积. 解 连接 AB，AC，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥. 设所求体积为 V，显然三棱锥 AABC 的体积是 V. 1 3 而四棱锥 ABCCB的体积为 Sa， 1 3 故有 V SaV，即 V Sa. 1 3 1 3 1 2 跟踪演练 2 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.168 B.88 C.1616 D.816 答案 A 解析 将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解. 原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为 V422
11、224168. 1 2 题型三 空间中的平行关系 在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种 关系相互渗透.在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即 从“线线平行”到“线面平行” ，再到“面面平行” ；而利用性质定理时，其顺序相反，且 “高维”的性质定理就是“低维”的判定定理.特别注意，转化的方法总是由具体题目的条 件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律.如下图所示是平行关系相互转化 的示意图. 例 3 如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，PB平面 ABCD，MAPB，PB2MA.在 线段 PB 上是否存在一点 F
12、，使平面 AFC平面 PMD？若存在，请确定点 F 的位置；若不 存在，请说明理由. 解 当点 F 是 PB 的中点时，平面 AFC平面 PMD，证明如下：如图连接 AC 和 BD 交于 点 O，连接 FO，那么 PF PB. 1 2 四边形 ABCD 是平行四边形，O 是 BD 的中点. OFPD.又 OF平面 PMD，PD平面 PMD，OF平面 PMD.又 MA 綊 PB，PF 1 2 綊 MA.四边形 AFPM 是平行四边形.AFPM.又 AF平面 PMD，PM平面 PMD.AF平面 PMD.又 AFOFF，AF平面 AFC，OF平面 AFC.平面 AFC平 面 PMD. 跟踪演练 3
13、如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直圆 O 所在的平面，C 是圆 O 上的点. (1)求证：BC平面 PAC； (2)设 Q 为 PA 的中点，G 为AOC 的重心，求证：QG平面 PBC. 证明 (1)由 AB 是圆 O 的直径，得 ACBC，由 PA平面 ABC，BC平面 ABC，得 PABC.又 PAACA，PA平面 PAC，AC平面 PAC，所以 BC平面 PAC. (2)如图，连接 OG 并延长交 AC 于点 M， 连接 QM，QO，由 G 为AOC 的重心，得 M 为 AC 中点. 由 Q 为 PA 中点，得 QMPC， 又 O 为 AB 中点，得 OMBC. 因为 QMMOM
14、，QM平面 QMO，MO平面 QMO，BCPCC，BC平面 PBC，PC平面 PBC， 所以平面 QMO平面 PBC. 因为 QG平面 QMO，所以 QG平面 PBC. 题型四 空间中的垂直关系 空间垂直关系的判定方法： (1)判定线线垂直的方法： 计算所成的角为 90(异面直线所成的角)； 线面垂直的性质(若 a，b，则 ab). (2)判定线面垂直的方法： 线面垂直定义(一般不易验证任意性)； 线面垂直的判定定理(ab，ac，b，c，bcMa)； 平行线垂直平面的传递性质(ab，ba)； 面面垂直的性质(，l，a，ala)； 面面平行的性质(a，a)； 面面垂直的性质(l，l). (3)面
15、面垂直的判定方法： 根据定义； 面面垂直的判定定理(a，a). 例 4 如图，在ABC 中，ACBCAB，四边形 ABED 是边长为 a 的正方形，平面 2 2 ABED平面 ABC，若 G，F 分别是 EC，BD 的中点. (1)求证：GF平面 ABC. (2)求证：平面 EBC平面 ACD. (3)求几何体 ADEBC 的体积 V. (1)证明 如图，取 BE 的中点 H，连接 HF，GH. 因为 G，F 分别是 EC 和 BD 的中点，所以 HGBC，HFDE. 又因为四边形 ADEB 为正方形， 所以 DEAB，从而 HFAB. 所以 HF平面 ABC，HG平面 ABC. 又因为 GHHFH， 所以平面 HGF平面 ABC. 所以 GF平面 ABC. (2)证明 因为四边形 ADEB 为正方形，所以 EBAB. 又因为平面 ABED平面 ABC， 所以 BE平面 ABC.所以 BEAC. 又因为 CA2CB2
