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1、2.2.2 直线方程的几种形式直线方程的几种形式 第第 1 课时课时 直线的点斜式方程直线的点斜式方程 学习目标 1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.2.结合具体实例理解直线的方程 和方程的直线概念及直线在 y 轴上的截距的含义. 预习导引 1.直线方程的几种形式 名称已知条件示意图方程使用范围 点斜式点 P(x0，y0) 和斜率 k yy0k( xx0) 斜率存在 斜截式斜率 k 和在 y 轴上的截距 bykxb斜率存在 2.直线的截距 如果直线 l 的斜率为 k，且与 y 轴的交点为(0，b)，代入直线点斜式方程化简得 ykxb， 则称 b 为直线 l 在 y 轴上的截距. 要点一
2、 直线的点斜式方程 例 1 求满足下列条件的直线的点斜式方程. (1)过点 P(4,3)，斜率 k3； (2)过点 P(3，4)，且与 x 轴平行； (3)过 P(2,3)，Q(5，4)两点. 解 (1)直线过点 P(4,3)，斜率 k3， 由直线方程的点斜式得直线方程为 y33(x4)， (2)与 x 轴平行的直线，其斜率 k0，由直线方程的点斜式可得直线方程为 y(4) 0(x3)， 即 y40. (3)过点 P(2,3)，Q(5，4)的直线的斜率 kPQ1. 43 5(2) 7 7 又直线过点 P(2,3)， 直线的点斜式方程为 y3(x2). 规律方法 (1)求直线的点斜式方程的步骤：
3、定点(x0，y0)定斜率 k写出方程 yy0k(xx0). (2)点斜式方程 yy0k(xx0)可表示过点 P(x0，y0)的所有直线，但 xx0除外. 跟踪演练 1 过点(1,2)，且倾斜角为 135的直线方程为_. 答案 xy10 解析 ktan 1351， 由直线的点斜式方程得 y2(x1)，即 xy10. 要点二 直线的斜截式方程 例 2 根据条件写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率为 2，在 y 轴上的截距是 5； (2)倾斜角为 150，在 y 轴上的截距是2； (3)倾斜角为 60，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3. 解 (1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为
4、y2x5. (2)倾斜角 150，斜率 ktan 150. 3 3 由斜截式可得方程为 yx2. 3 3 (3)直线的倾斜角为 60， 其斜率 ktan 60， 3 直线与 y 轴的交点到原点的距离为 3， 直线在 y 轴上的截距 b3 或 b3. 所求直线方程为 yx3 或 yx3. 33 规律方法 1.本题(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解“yx3”. 3 2.截距是直线与 x 轴(或 y 轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零. 跟踪演练 2 写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是 3，在 y 轴上的截距是3； (2)倾斜角是 60，在 y 轴上的
5、截距是 5； (3)倾斜角是 30，在 y 轴上的截距是 0. 解 (1)由直线方程的斜截式可得，所求直线方程为 y3x3. (2)由题意可知，直线的斜率 ktan 60，所求直线的方程为 yx5. 33 (3)由题意可知所求直线的斜率 ktan 30， 3 3 由直线方程的斜截式可知，直线方程为 yx. 3 3 要点三 直线过定点问题 例 3 求证：不论 m 为何值，直线 l：y(m1)x2m1 总过第二象限. 证明 方法一 直线 l 的方程可化为 y3(m1)(x2)， 直线 l 过定点(2,3)， 由于点(2,3)在第二象限，故直线 l 总过第二象限. 方法二 直线 l 的方程可化为 m
6、(x2)(xy1)0. 令Error!Error!解得Error!Error! 无论 m 取何值，直线 l 总经过点(2,3). 点(2,3)在第二象限，直线 l 总过第二象限. 规律方法 本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，方法一体现了点斜式的应用，方 法二体现代数方法处理恒成立问题的基本思想. 跟踪演练 3 已知直线 y(32k)x6 不经过第一象限，求 k 的取值范围. 解 由题意知，需满足它在 y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则Error!Error!得 k . 3 2 所以，k 的取值范围是Error!Error!. 1.已知直线的方程是 y2x1，则( ) A.直线经过
7、点(1,2)，斜率为1 B.直线经过点(2，1)，斜率为1 C.直线经过点(1，2)，斜率为1 D.直线经过点(2，1)，斜率为 1 答案 C 解析 方程变形为 y2(x1)， 直线过点(1，2)，斜率为1. 2.直线 y2(x1)的倾斜角及在 y 轴上的截距分别为( ) 3 A.60，2 B.120，2 3 C.60，2 D.120，2 3 答案 B 解析 该直线的斜率为，当 x0 时，y2， 33 其倾斜角为 120，在 y 轴上的截距为 2. 3 3.直线 ykxb 通过第一、三、四象限，则有( ) A.k0，b0 B.k0，b0 D.k0，b0. 4.斜率为 4，经过点(2，3)的直线
8、方程是_. 答案 y4x11 5.已知直线 l 的倾斜角是直线 yx1 的倾斜角的 2 倍，且过定点 P(3,3)，则直线 l 的方程 为_. 答案 x3 解析 直线 yx1 的斜率为 1，所以倾斜角为 45，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜 角的 2 倍，所以所求直线的倾斜角为 90，其斜率不存在.又直线过定点 P(3,3)，所以直线 l 的方程为 x3. 1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故 有k，此式是不含点 P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为 yy1k(xx1)才 yy1 xx1 是整条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为 xx1. 2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为 k 的直线 ybk(x0)， 即 ykxb，其特征是方程等号的一端只是一个 y，其系数是 1；等号的另一端是 x 的一次 式，而不一定是 x 的一次函数.如 yc 是直线的斜截式方程，而 2y3x4 不是直线的斜截 式方程.
