《2018版高中数学人教B版必修一学案：第二单元 疑难规律方法 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修一学案：第二单元 疑难规律方法 （22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 函数解析式求解的常用方法 一、换元法 例 1 已知 f(1)x2，求 f(x) xx 分析 采用整体思想，可把 f(1)中的“1”看做一个整体，然后采用另一参数替代 xx 解 令 t1，则 x(t1)2(t1)， x 代入原式有 f(t)(t1)22(t1)t21. f(x)x21(x1) 评注 将接受对象“1”换作另一个元素(字母)“t” ，然后从中解出 x 与 t 的关系，代入 x 原式中便求出关于“t”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量 取值范围的变化，否则就得不到正确的表达式此法是求函数解析式时常用的方法 二、待定系数法 例 2 已知 f(x)为二次函数，
2、且 f(x1)f(x1)2x24x，求 f(x)的表达式 解 设 f(x)ax2bxc(a0)，则 f(x1)f(x1) a(x1)2b(x1)ca(x1)2b(x1)c 2ax22bx2a2c 2x24x. 故有Error!Error!解得Error!Error! 所以 f(x)x22x1. 评注 若已知函数是某个基本函数，可设表达式的一般式，再利用已知条件求出系数 三、方程消元法 例 3 已知：2f(x)f( )3x，x0，求 f(x) 1 x 解 2f(x)f( )3x， 1 x 用 去代换式中的 x 得 2f( )f(x) . 1 x 1 x 3 x 由2得 f(x)2x ，x0. 1
3、 x 评注 方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的. 2 解读分段函数 分段函数是一类特殊的函数，有着广泛的应用，课本中并没有进行大篇幅的介绍，但是它是 高考的必考内容，下面就分段函数的有关知识进行拓展，供同学们学习时参考 一、分段函数解读 在定义域中，对于自变量 x 的不同取值范围，相应的对应法则不同，这样的函数称之为分段 函数分段函数是一个函数，而不是几个函数，它只是各段上的解析式(或对应法则)不同而 已 二、常见的题型及其求解策略 1求分段函数的定义域、值域 例 1 求函数 f(x)Error!Error!的值域 解 当 x2 时，yx24x(x2)24，y4
4、； 当 x2 时，y ，y1. x 2 2 2 函数 f(x)的值域是y|y4 解题策略 分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集；分段函数的值域 是各段函数值集合的并集 2求分段函数的函数值 例 2 已知 f(x)Error!Error!求 f(5)的值 解 510，f(5)f(f(56)f(f(11)， 1110，f(f(11)f(9)， 又910，f(9)f(f(15)f(13)11.即 f(5)11. 解题策略 求分段函数的函数值时，关键是判断所给出的自变量所处的区间，再代入相应的 解析式；另一方面，如果题目中含有多个分层的形式，则需要由里到外层层处理 3画出分段函数的图
5、象 例 3 已知函数 f(x)Error!Error!，作出此函数的图象 解 由于分段函数有两段，所以这个函数的图象应该由两条线组成，一条是抛物线的左侧， 另一条是射线，画出图象如图所示 解题策略 分段函数有几段，其图象就由几条曲线组成，作图的关键是根据定义域的不同分 别由表达式作出其图象，作图时一要注意每段自变量的取值范围，二要注意判断函数图象每 段端点的虚实 4求解分段函数的解析式 例 4 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间 x(分钟)与相应话费 y(元)之间 的函数图象如图所示则：(1)月通话为 50 分钟时，应交话费多少元；(2)求 y 与 x 之间的函 数关系式 解
6、(1)由题意可知当 0x100 时，设函数的解析式 ykx，又因过点(100,40)，得解析式为 y x，当月通话为 50 分钟时，050100， 2 5 所以应交话费 y 5020 元 2 5 (2)当 x100 时，设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykxb，由图知 x100 时，y40；x200 时，y60. 则有Error!Error!，解得Error!Error!， 所以解析式为 y x20， 1 5 故所求函数关系式为 yError!Error!. 解题策略 以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在试题中，解决此类问题的关 键是正确地理解题目(或图象)给出的信息，确定合适的
7、数学模型及准确的自变量的分界点 3 合理变形突破单调性的证明 由定义证明函数 f(x)在区间 D 上的单调性，其步骤为：取值作差变形定号其中变形 是最关键的一步，合理变形是准确判断 f(x1)f(x2)的符号的关键所在本文总结了用定义证 明函数单调性中的变形策略 一、因式分解 例 1 求证：函数 f(x)x24x 在(，2上是减函数 证明 设 x1，x2是(，2上的任意两个实数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)(x 4x1) 2 1 (x 4x2) 2 2 (x1x2)(x1x24) 因为 x1x22，所以 x1x20，x1x240. 所以 f(x1)f(x2)0， 即 f(x1)f(x
8、2) 故函数 f(x)在(，2上是减函数 评注 因式分解是变形的常用策略，但必须注意，分解时一定要彻底，这样才利于判断 f(x1) f(x2)的符号 二、配方 例 2 求证：函数 f(x)x31 在 R 上是增函数 证明 设 x1，x2是 R 上的任意两个实数，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2)x 1x 1 3 13 2 x x 3 13 2 (x1x2)(x x1x2x ) 2 12 2 (x1x2). (x1 x2 2)2 3 4x2 2 因为 x1x2，所以 x1x20， 2 x 0. (x1 x2 2) 3 4 2 2 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2) 故函
9、数 f(x)在 R 上是增函数 评注 本题极易在(x1x2)(x x1x2x )处“止步”而致误而实际上当我们不能直接判断 x 2 12 2 x1x2x 的符号，又不能因式分解时，采用配方则会“柳暗花明” 2 12 2 三、通分 例 3 已知函数 f(x)x ，求证：函数 f(x)在区间(0,1上是减函数 1 x 证明 设 x1，x2是区间(0,1上的任意两个实数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x1x2 1 x1 1 x2 (x1x2)(x1x2) ( 1 x1 1 x2) x2x1 x1x2 (x1x2)(x1x2). (1 1 x1x2) ( x1x21 x1x2 ) 因为 x1x
10、2，且 x1，x2(0, 1， 所以 x1x20,0x1x21. 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2) 故函数 f(x)在(0,1上是减函数 评注 同样，我们可以证明 f(x)x 在区间1，)上是增函数 1 x 四、有理化 例 4 已知函数 f(x)，求证：函数 f(x)在区间1，)上是增函数 x1 证明 设 x1，x2是区间1，)上的任意两个实数，且 x1x2，则 f(x1)f(x2) x11 x21 . x1x2 x11 x21 因为 x1x2，且 x1，x21，)， 所以 x1x20，0. x11x21 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2) 故函数 f
11、(x)在1，)上是增函数 评注 对于根式函数常采用分子或分母有理化变形手段以达到判断 f(x1)f(x2)符号的目的 4 谈复合函数的单调性 设 yf(t)是 t 的函数，tg(x)是 x 的函数，若 tg(x)的值域是 yf(t)定义域的子集，则 y 通 过中间变量 t 构成 x 的函数，称为 x 的复合函数，记作 yf(t)f g(x) 如函数 y，若设 t1x，则 y.这里 t 是 x 的函数，y 是 t 的函数，所以 y 1xt 是 x 的复合函数，把 t 称为中间变量 1x 思考 1 已知函数 yf(t)的定义域为区间m，n，函数 tg(x)的定义域为区间a，b，值域 Dm，n若 y
12、f(t)在定义域内单调递增，tg(x)在定义域内单调递增，那么 yfg(x)是 否为a，b上的增函数？为什么？ 答 yfg(x)是区间a，b上的增函数 证明如下： 任取 x1，x2a，b，且 x10) 1 t 当 x(，1)时，t 是 x 的减函数，y 是 t 的减函数， 所以(，1)是 y的递增区间； 1 x12 当 x(1，)时，t 是 x 的增函数，y 是 t 的减函数， 所以(1，)是 y的递减区间 1 x12 综上知，函数 y的递增区间为(，1)，递减区间为(1，) 1 x12 变式 求 y的单调区间 1 x22x3 解 由 x22x30，得 x1 或 x3， 令 tx22x3(t0
13、)，则 y ， 1 t 因为 y 在(，0)，(0，)上为减函数， 1 t 而 tx22x3 在(，1)，(1,1)上为减函数， 在(1,3)，(3，)上是增函数，所以函数 y的递增区间为(，1)，(1,1)， 1 x22x3 递减区间为(1,3)，(3，). 5 函数单调性的应用 一、比较大小 例 1 若函数 f(x)x2mxn，对任意实数 x 都有 f(2x)f(2x)成立，试比较 f(1)，f(2)， f(4)的大小 解 依题意可知 f(x)的对称轴为 x2，f(1)f(5) f(x)在2，)上是增函数， f(2)0，函数 f(x)x3ax 是区间1，)上的单调函数，求实数 a 的取值范
14、围 解 任取 x1，x21，)，且 x10. yf(x2)f(x1)(x ax2)(x ax1) 3 23 1 (x2x1)(x x1x2x a) 2 12 2 1x13. 2 12 2 显然不存在常数 a，使(x x1x2x a)恒为负值 2 12 2 又 f(x)在1，)上是单调函数， 必有一个常数 a，使 x x1x2x a 恒为正数， 2 12 2 即 x x1x2x a. 2 12 2 当 x1，x21，)时，x x1x2x 3， 2 12 2 a3.此时，xx2x10，y0， 即函数 f(x)在1，)上是增函数， a 的取值范围是(0,3 四、利用函数单调性求函数的最值 例 4 已知函数 f(x)，x1，) x22xa x (1)当 a4 时，求 f(x)的最小值； (2)当 a 时，求 f(x)的最小值； 1 2 (3)若 a 为正常数，求 f(x)的最小值 解 (1)当 a4 时，f(x)x 2，易知，f(x)在1,2上是减函数，在2，)上是增函数， 4 x f(x)minf(2)6. (2)当 a 时，f(x)x2. 1 2 1 2x 易知，f(x)在1，)上为增函数 f(x)minf(1) . 7 2 (3)函数 f(x)x 2 在(0，
