《2018版高中数学人教B版必修二学案：第二单元 疑难规律方法 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修二学案：第二单元 疑难规律方法 （22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 直线与方程要点精析 一、直线的倾斜角 x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角 当直线 l 与 x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0，因此，直线的倾斜角 的取值范 围为 00)倍”等条件时，若采用截距式求直线方程， 都要考虑“截距为 0”的情况 四、一般式中系数“缺陷” 例 4 如果直线(m1)x(m24m3)y(m1)0 的斜率不存在，求 m 的值 错解 因为直线的斜率不存在，所以 m24m30. 解得 m3 或 m1. 所以当 m3 或 m1 时，直线的斜率不存在 剖析 由于方程 AxByC0 表示直线，本身隐含着(A，B 不同时为 0)这一条件当 m1 时，方程
2、(m1)x(m24m3)y(m1)0 即为 0x0y0，它不表示直线，应舍去 正解 因为直线的斜率不存在， 所以 m24m30，且 m10.解得 m3. 所以当 m3 时，直线的斜率不存在 评注 方程 AxByC0(A，B 不同时为 0)才叫做直线的一般式方程，才表示一条直线 3 掌握两条直线的位置关系三个突破口 在平面直角坐标系内不同的两条直线有相交和平行两种位置关系，其中垂直是相交的特殊情 况，要想很好地掌握两条直线的位置关系，只需把握以下三种题型下面举例说明 题型一 根据直线平行、垂直求参数值的问题 给出两直线的方程(方程的系数中含有参数)，利用直线平行或垂直的判定或性质求解参数的 取值
3、 例 1 已知直线 l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0.试求 m 为何值时，l1与 l2：(1)平 行；(2)垂直 分析 (1)由“两直线 axbyc0 与 mxnyd0 平行 且 ”或“两直 a b m n c b d n 线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比” ，通过解方程求出 m 的值；(2)由“两 直线 axbyc0 与 mxnyd0 垂直( )( )1”即可求解 a b m n 解 (1)若 l1l2，则 且 ， 1 m m2 3 6 m 2m 3 解得 m1.所以当 m1 时，l1l2. (2)若 l1l2，则( )()1，解得 m . 1 m m2 3 1 2
4、 所以当 m 时，l1l2. 1 2 评注 如何用直线方程的系数来反映两直线的位置关系是解题的切入点利用此法只需把直 线方程化为一般式即可 题型二 有关直线相交的问题 有关直线相交的问题一般有两类：(1)有关直线交点的问题，主要是通过解两直线方程组成的 方程组，得到交点坐标，解决这种问题的关键是求出交点；(2)有关判断两直线是否相交的问 题，只要用两直线方程的一次项系数的关系判断两直线不平行，即可判断相交 例 2 若直线 5x4y2m10 与直线 2x3ym0 的交点在第四象限，求实数 m 的取值 范围 分析 可通过解两直线方程组成的方程组求得两直线的交点坐标由于交点在第四象限，所 以交点的横
5、坐标大于 0，纵坐标小于 0，进而可求出 m 的取值范围 解 根据题意，由Error!Error!可得这两条直线的交点坐标为(，) 2m3 7 m2 7 因为交点在第四象限，所以Error!Error!解得 0 时，表示圆心为，半径 r ( D 2， E 2) 1 2 的圆，叫做圆的一般方程 D2E24F 二者的相同点表现在：(1)二者的实质相同，可以互相转化；标准方程展开后就是一般方程， 而一般方程经过配方后就转化为了标准方程掌握这一点对于更好地理解一般方程是很有帮 助的 (2)不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a、b、r 或 D、E、F)的值需要确定，因 此需要三个独立的条件利用
6、待定系数法得到关于 a、b、r(或 D、E、F)的三个方程组成的 方程组，解之得到待定系数的值 标准方程与一般方程的差别主要反映在以下两点： 一、二者确定圆的条件不同 例 1 圆心 P 在直线 yx 上，且与直线 x2y10 相切的圆，截 y 轴所得的弦长|AB|2， 求此圆的方程 解 圆心 P 在直线 yx 上， 可设 P 的坐标为(k，k)， 设圆的方程为(xk)2(yk)2r2(r0) 作 PQAB 于 Q，连接 AP，在 RtAPQ 中，AQ1， APr，PQk， r. 1k2 又 r， |k2k1| 1222 ， |k2k1| 1222k21 整理得 2k23k20， 解得 k2 或
7、 k . 1 2 当 k2 时，圆的半径为 r， k215 故圆的方程为(x2)2(y2)25. 当 k 时， 1 2 圆的半径为 r， k21 5 2 故圆的方程为 22 . (x 1 2) (y 1 2) 5 4 因此所求圆的方程为(x2)2(y2)25 或 22 . (x 1 2) (y 1 2) 5 4 例 2 已知ABC 的各顶点坐标为 A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)，求其外接圆的方程 分析 可利用待定系数法，设出圆的一般方程，根据所列条件求得系数，进而得到方程 解 设过 A、B、C 三点的圆的方程是 x2y2DxEyF0， 将 A(1,5)，B(2，2)，C(5,5)代入
8、可得 Error!Error!， 解得 D4，E2，F20， 其外接圆的方程为 x2y24x2y200. 评注 圆的标准方程侧重于圆心坐标和半径，因此在题目条件中涉及到圆心坐标时，多选用 标准方程，而已知条件和圆心或半径都无直接关系时，一般采用圆的一般方程，再用待定系 数法求出常数 D，E，F.需要指出的是，应用待定系数法，要尽可能少设变量，从而简化计 算另外对于已知圆上两点或三点求圆的方程，通常情况下利用一般式更简单 二、二者的应用方面不同 例 3 若半径为 1 的圆分别与 y 轴的正半轴和射线 yx(x0)相切，求这个圆的方程 3 3 分析 利用“半径为 1 的圆与 y 轴的正半轴相切”这
9、一条件可以直接求得圆心的横坐标，这 是本题方程求解的一个突破口 解 由题意知圆心的横坐标及半径为 1，设圆心纵坐标为 b，则圆的方程为(x1)2(yb) 21， 圆与射线 yx(x0)相切， 3 3 1，解得 b， | 3 3 b| ( 3 3)213 圆的方程为(x1)2(y)21. 3 评注 圆的标准方程明显带有几何的影子，圆心和半径一目了然，因此结合初中平面几何中 的垂径定理可以使问题的求解简化；而圆的一般方程明显表现出代数的形式与结构，更适合 方程理论的运用 7 探究圆的切线 探究 1 已知点 M(x0，y0)是圆 x2y2r2上一点，l 是过点 M 的圆的切线，求直线 l 的方程 解
10、 设点 P(x，y)是切线 l 上的任意一点，则 OMMP. kOMkMP1，即1. y0 x0 yy0 xx0 整理，得 x0xy0yx y . 2 02 0 x y r2， 2 02 0 切线 l 的方程为 x0xy0yr2. 当点 M 在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用 结论 1 过圆 x2y2r2上一点 M(x0，y0)的切线方程为 x0xy0yr2. 探究 2 求过圆 C：(xa)2(yb)2r2上一点 M(x0，y0)的切线 l 的方程 解 设点 P(x，y)是切线 l 上的任意一点，则 CMMP. kCMkMP1， 即1. y0b x0a yy0 xx0 整理，得(x0a)(
11、xa)(y0b)(yb)(x0a)2(y0b)2.(x0a)2(y0b)2r2， 切线 l 的方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.当点 M 在直线 xa 和 yb 上时，可以验 证上述方程同样适用 结论 2 过圆(xa)2(yb)2r2上一点 M(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb) r2. 探究 3 求过圆 C：x2y2DxEyF0 上一点 M(x0，y0)的切线 l 的方程 解 把圆 C：x2y2DxEyF0 化为标准方程，得 22 (D2E24F) (x D 2) (y E 2) 1 4 由结论 2 可知切线 l 的方程为(x )(y ) (D2E24
12、F) (x0 D 2) D 2 (y0 E 2) E 2 1 4 整理，得 x0xy0yDEF0. xx0 2 yy0 2 切线 l 的方程为 x0xy0yDEF0. xx0 2 yy0 2 结论 3 过圆 x2y2DxEyF0 上一点 M(x0，y0)的切线 l 的方程为 x0xy0yDEF0. xx0 2 yy0 2 8 圆弦长的求法 一、利用两点间的距离公式 若直线与圆相交的两个交点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|. x1x22y1y22 例 1 求过原点且倾斜角为 60的直线被圆 x2y24y0 所截得的弦长 解 设直线与圆相交时的两个交点分别为 A(x1，y
13、1)，B(x2，y2)，由题意可知直线的方程为 yx. 3 解方程组Error!Error!得 Error!Error!或Error!Error! |AB| x1x22y1y22 0 32032 2. 3 评注 解由直线方程与圆方程联立的方程组得弦的两端点的坐标，再由两点间的距离公式求 解这是一种最基本的方法，当方程组比较容易解时常用此法 二、利用勾股定理 若弦心距为 d，圆的半径为 r，则弦长|AB|2. r2d2 例 2 求直线 x2y0 被圆 x2y26x2y150 所截得的弦长|AB|. 解 把圆 x2y26x2y150 化为标准方程为(x3)2(y1)225， 所以其圆心为(3,1)
14、，半径 r5. 因为圆心(3,1)到直线 x2y0 的距离 d， |3 11 2| 12225 所以弦长|AB|24. r2d25 三、利用弦长公式 若直线 l 的斜率为 k，与圆相交时的两个交点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB| |x1x2|. 1k21k2x1x224x1x2 例 3 求直线 2xy20 被圆(x3)2y29 所截得的弦长|AB|. 解 设直线与圆相交时的两个交点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2) 由Error!Error!消去 y，整理，得 5x214x40. 则 x1x2，x1x2 . 14 5 4 5 |AB| 1k2x1x224x1x2 . 122(14 5)24 4 5 2 145 5 评注 通常设出弦的两端点的坐标(不必求出，即设而不求)，联立直线方程与圆方程消去 y(或 x)转化为关于 x(或 y)的一元二次方程，再结合根与系数的关系即可得解 9 圆与圆相交的三巧用 圆与圆的位置关系主要有五种，即外离、相交、外切、内切、内含，圆与圆相交时的简单应 用一般是用于求相交圆的公共弦所在的直线方程、公共弦的垂直平分线方程和通过圆与圆相 交时求公切线的条数 一、圆与圆相交，求公共弦所在的直线方程 例 1 已知两圆 x2y210 和(x1)2(y3)220 相交于 A，B 两点，则直线 AB 的方程
