《2018版高中数学人教B版必修四学案：第二单元 2.1.1 向量的概念 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修四学案：第二单元 2.1.1 向量的概念 （8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.1.1 向量的概念向量的概念 学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形 中这些相关的概念. 知识点一 向量的概念及表示 思考 1 在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？ 思考 2 向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？ 思考 3 向量可以用有向线段表示，那么能否说向量就是有向线段？ 梳理 (1)向量：具有大小和_的量称为向量.只有大小和
2、方向，而无特定的位置的向量 叫做_. (2)有向线段：从点 A 位移到点 B，用线段 AB 的长度表示位移的距离，在点 B 处画上箭头表 示位移的方向，这时我们说线段 AB 具有从 A 到 B 的方向.具有方向的线段，叫做_线 段.点 A 叫做有向线段的_，点 B 叫做有向线段的_.有向线段的方向表示向量 的_，线段的长度表示位移的_，位移的距离叫做向量的_. (3)以 A 为始点，以 B 为终边的有向线段记作，的长度记作|，如果有向量线段表 AB AB AB AB 示一个向量，通常我们就说向量. AB 知识点二 相等向量 思考 1 已知 A，B 为平面上不同两点，那么向量和向量相等吗？ AB
3、 BA 思考 2 两向量相等需要具备哪些条件？ 梳理 (1)同向且等长的有向线段表示_向量，或_的向量. (2)如果a，那么的长度表示向量 a 的大小，也叫做 a 的长(或模)，记作|a|.两个向量 a AB AB 和 b 同向且等长，即 a 和 b 相等，记作 ab. 知识点三 向量共线或平行 思考 1 共线向量的方向有何特征？ 思考 2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？ 梳理 (1)通过有向线段的直线，叫做向量的_(如图).如果向量的基线互相平行 AB AB 或重合，则称这些向量_或_.向量 a 平行于 b，记作 ab. (2)长度等于零的向量，叫做_，记作 0.零
4、向量的方向不确定，在处理平行问题时，通 常规定零向量与任意向量_. 知识点四 位置向量 任给一定点 O 和向量 a(如图)，过点 O 作有向线段a，则点 A 相对于点 O 的位置被向量 OA a 所唯一确定，这时向量，又常叫做点 A 相对于点 O 的_. OA 类型一 向量的概念 例 1 下列说法正确的是( ) A.向量与向量的长度相等 AB BA B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C.零向量没有方向 D.任意两个单位向量都相等 反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题. 跟踪训练 1 下列说法正确的有_.(填序号) 若|a|b|，则
5、 ab 或 ab； 向量与是共线向量，则 A、B、C、D 四点必在同一条直线上； AB CD 向量与是平行向量. AB BA 类型二 共线向量与相等向量 例 2 如图所示，ABC 的三边均不相等，E、F、D 分别是 AC、AB、BC 的中点. (1)写出与共线的向量； EF (2)写出与的模大小相等的向量； EF (3)写出与相等的向量. EF 反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反.(2)共线的向量不一定相等，但相 等的向量一定共线. 跟踪训练 2 如图所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心. (1)与的模相等的向量有多少个？ OA (2)是否存在与长度相等、方向相反的向
6、量？若存在，有几个？ OA (3)与共线的向量有哪些？ OA 类型三 向量的表示及应用 例 3 一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点，然后又改变方向，向西偏北 50的 方向走了 200 km 到达 C 点，最后又改变方向，向东行驶了 100 km 到达 D 点. (1)作出向量、 、； AB BC CD (2)求|. AD 反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量 的大小确定向量的终点. 跟踪训练 3 在如图的方格纸上，已知向量 a，每个小正方形的边长为 1. (1)试以 B 为终点画一个向量 b，使 ba； (2)在图中画一个以
7、 A 为起点的向量 c，使|c|，并说出向量 c 的终点的轨迹是什么？ 5 1.下列结论正确的个数是( ) 温度含零上和零下温度，所以温度是向量； 向量的模是一个正实数； 向量 a 与 b 不共线，则 a 与 b 都是非零向量； 若|a|b|，则 ab. A.0 B.1 C.2 D.3 2.下列说法错误的是( ) A.若 a0，则|a|0 B.零向量是没有方向的 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 3.如图所示，梯形 ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是( ) AB DC A. B.| AB DC AB DC C. D. AB DC AB DC 4.如图所示，在以 1
8、2 方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中， (1)写出与、相等的向量； AF AE (2)写出与的模相等的向量. AD 1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此 借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故 向量能起到数形结合的桥梁作用. 2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直 线上的向量也是平行向量. 3.注意一个特殊向量零向量，零向量的长度为 0，方向不确定，通常规定零向量与任意 向量平行. 答案精析答案精析 问题导学 知识点一 思考 1 面积、质量只
9、有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向 思考 2 可以用一条有向线段表示 思考 3 向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段向量是规定了大小和方向的量， 有向线段是规定了起点和终点的线段 梳理 (1)方向 自由向量 (2)有向 始点 终点 方向 距离 长度 知识点二 思考 1 因为向量和向量方向不同，所以二者不相等 AB BA 思考 2 需要具备两个条件：长度相等、方向相同 梳理 (1)同一 相等 知识点三 思考 1 共线向量的方向相同或相反 思考 2 不相同我们说到向量，指的都是自由向量，因此向量可以任意移动由于任意一 组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量因
10、此共线向量所在的 直线可以平行，也可以重合 梳理 (1)基线 共线 平行 (2)零向量 平行 知识点四 位置向量 题型探究 例 1 A 跟踪训练 1 例 2 解 (1)因为 E、F 分别是 AC、AB 的中点，所以 EF 綊 BC.又因为 D 是 BC 的中点， 1 2 所以与共线的向量有， ，. EF FE BD DB DC CD BC CB (2)与模相等的向量有，. EF FE BD DB DC CD (3)与相等的向量有，. EF DB CD 跟踪训练 2 解 (1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如 OB)，而每一条线段可以 OA 有两个向量，所以这样的向量共有 23 个 (2)
11、存在由正六边形的性质可知，BCAOEF，所以与长度相等、方向相反的向量有 OA ， ， ，共 4 个 AO OD FE BC (3)由(2)知，BCOAEF，线段 OD，AD 与 OA 在同一条直线上，所以与共线的向量有 OA ， ， ， ，共 9 个 BC CB EF FE AO OD DO AD DA 例 3 解 (1)向量、 、如图所示 AB BC CD (2)由题意易知，与方向相反，故与共线 AB CD AB CD 又|， AB CD 在四边形 ABCD 中，AB 綊 CD， 四边形 ABCD 为平行四边形， ，|200 km. AD BC AD BC 跟踪训练 3 解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量 a 平行，且长度相等(作图略) (2)由平面几何知识可知，所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆心，为半径的圆(作 5 图略) 当堂训练 1B 2.B 3.B 4解 (1)，. AF BE CD AE BD (2)与的模相等的向量有， ，. AD DA CF FC
