《2018版高中数学人教B版必修二学案：第一单元 疑难规律方法 》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版高中数学人教B版必修二学案：第一单元 疑难规律方法 （18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 学习空间几何体要“三会” 一、会辨别 例 1 下列说法：一个几何体有五个面，则该几何体可能是球、棱锥、棱台、棱柱；若 一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台；直角三角形绕其任意 一条边旋转一周都可以围成圆锥其中说法正确的个数为_ 分析 可根据柱体、锥体、台体和球体的概念进行判断 解析 一个几何体有五个面，可能是四棱锥、三棱台，也可能是三棱柱，但不可能是球，所 以错；由于棱台的侧棱是原棱锥侧棱的一部分，所以棱台的各侧棱的延长线相交于一点， 而中的几何体其侧棱延长线并不一定会交于一点，所以错；中如绕直角边旋转可以形 成圆锥，但绕斜边旋转形成的是由两个圆锥组成的组合体，所以错
2、故填 0. 答案 0 评注 要准确辨别各种几何体，可从轴、侧面、底面、母线、平行于底面的截面等方面入手， 当然掌握定义是大前提 二、会折展 例 2 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北现在沿该正 方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“”的面的 方位是_ 分析 将平面展开图按要求折叠成正方体，根据方位判断即可 解析 将平面展开图折叠成正方体，如图所示，标“”的面的方位应为北故填北 答案 北 评注 将空间几何体展开成平面图形，或将展开图折叠成空间几何体，在后面的计算或证明 中经常用到，应引起重视解决这类问题的关键是充分发挥空间想象能力或亲自
3、动手制作模 型进行实践 三、会割补 例 3 如图所示是一个三棱台 ABCA1B1C1.试用一个平面把这个三棱台分成一个三棱柱和一 个多面体，并用字母表示 分析 三棱柱要求两个底面为平行且全等的三角形，其余三个面为四边形，且相邻两个四边 形的公共边都相互平行 解 作 A1DBB1，C1EBB1，连接 DE，则三棱柱为 A1B1C1DBE，多面体为 ADECC1A1(如 图所示) 评注 正确理解各类几何体的概念是将几何体进行割补的前提，在后面的空间几何体的体积 或面积计算中经常要通过线、面，将不规则的几何体通过割补的方法转化为规则的几何体， 从而可以利用公式求解 2 三视图易错点剖析 一、棱锥的视
4、图易出错 我们在画正三棱锥、正四棱锥时要注意从不同角度得到的三视图实际上，在上述几何体的 三视图中，左视图最容易出错，在画这些常见锥体的三视图时，可做出几何体的高线，有了 高线的衬托，自然就可以得到正确的三视图 如图，对于正三棱锥 PABC 来说，它的主视图中，从前面向后面看，点 B 到了点 D 的位置， 点 P 到了点 P的位置，故主视图为等腰三角形 PAC(包含高线 PD)，从左侧向右侧看， 点 A 到了点 D 的位置，故左视图为三角形 PBD，从上面向下面看，俯视图中，点 P 到了点 O 的位置，故俯视图为等边三角形 ABC(外加三条线段 OA、OB、OC) 如图，对于正四棱锥 PABC
5、D 来说，它的主视图和左视图分别为等腰三角形 PEF 和等腰三 角形 PGH，俯视图为正方形 ABCD(包含两条对角线 AC 和 BD)对于此三视图，左视图和主 视图易出错，但有了高线 PO 的衬托，便可降低出错率 二、画三视图时，没有把不可见的轮廓线用虚线表示而出错 作几何体的三视图的过程中，可见的边界轮廓线用实线表示，不可见的边界轮廓线用虚线表 示这一点不能忽视，否则易出错 例 1 画出如图所示零件的三视图 错解 如图零件可看作是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱的组合，其三视图如图所示 剖析 错误原因是图中各视图都没有画出中间的柱体和圆柱的交线，画图时应画出其交线 正解 三、不能由三视图还原
6、正确的直观图而出错 当已知几何体的三视图，而需要我们去还原成直观图时，要充分关注图形中关键点的投影， 重要的垂直关系等，综合三个视图，想象出直观图，然后画出直观图，再通过已知的三视图 验证直观图的正确性 例 2 如图，通过三视图还原物体的直观图 解 通过三视图可以画出直观图，如图所示： 注 其中 PC 为垂直于底面 ABCD 的直线 跟踪训练 由下面的三视图还原物体的直观图 解 通过三视图可以看出直观图如图所示： 3 直观图与原图形的互化知多少 在高考中常借助于求平面图或直观图的面积来考查斜二测画法中角度和长度的变化，也实现 了原图形与直观图的互化关于两者的互化，关键是要抓住它们之间的转化规则
7、“斜” 和“二测” “斜”也即是直角坐标系到斜 45坐标系之间的相互转化， “二测”也即是两者在转化时，要 做到“水平长不变，垂直倍半化” 现通过例题讲述一下两者之间的具体转化策略 一、原图形到直观图的转化 例 1 已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么ABC 的平面直观图ABC的面积为( ) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 3 4 3 8 6 8 6 16 分析 先根据题意，在原图形中建立平面直角坐标系(以 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 边上的 高所在直线为 y 轴)，然后完成由原图形到直观图的转化，然后根据直观图ABC的边 长及夹角求解 解析 根据题意，建立如图所示的平面直
8、角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如 图所示 易知，ABABa，OC OCa.作 CDAB于点 D，则 1 2 3 4 CDOCa. 2 2 6 8 SABC ABCD aaa2. 1 2 1 2 6 8 6 16 答案 D 评注 通过斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积与实物图的面积之比为1.在求解 2 4 中注意面积中的水平方向与垂直方向的选择与定位 二、直观图到原图形的转化 例 2 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，得到一个边长为 1 的正方体，则原来图形 的形状是( ) 解析 由直观图知，原图形在 y 轴上的对角线长应为 2. 2 答案 A 评注 当由直观图向原图形转化时，
9、关键是在直观图中建立斜 45坐标系，有了斜 45坐标系， 便可按“二测”的画图规则逆推回去，而在正方形中建立 45坐标系是很容易的(正方形的对 角线与任一边所成的角均为 45)，从而实现了由直观图向原几何图形的转化 例 3 如图所示，四边形 ABCD 是一平面图形水平放置的斜二测直观图，在斜二测直观图中， ABCD 是一直角梯形，ABCD，ADCD，且 BC 与 y 轴平行，若 AB6，DC4，AD2，则这个平面图形的实际面积是_ 分析 由BCx45，先计算 BC 的长度 解析 由斜二测直观图画法规则知该平面图形是梯形，且 AB 与 CD 的长度不变，仍为 6 和 4，高为 4，故平面图形的实
10、际面积为 (64)420. 2 1 222 答案 20 2 4 柱、锥、台的表面积求法精析 由于柱、锥、台的表面积是各个面的面积之和，因此计算的关键在于对几何体各个面的正确 认识以及对表面积公式的正确运用 一、锥体的表面积 例 1 正三棱锥的底面边长为 4 cm，它的侧棱与高所成的角为 45，求正三棱锥的表面积 分析 本题的关键在于求正三棱锥的斜高 解 如图所示，过 S 点作 SO平面 ABC 于 O 点，则 O 为ABC 的中心，连接 AO 并延长与 BC 相交于 D 点由正三角形的性质得 D 为 BC 的中点，连接 SD，则 SD 为正三棱锥的斜 高 在 RtASO 中，ASO45， AO
11、4(cm)，SOAO(cm) 3 3 4 3 3 4 3 3 在 RtSOD 中，OD4(cm)， 3 6 2 3 3 故 SD(cm) SO2OD2 16 3 4 3 20 3 2 15 3 根据正棱锥的侧面积公式： S侧 344(cm2)， 1 2 2 15 315 又ABC 的面积为 4 cm2， 3 故正三棱锥的表面积为(44) cm2. 153 评注 有关棱锥、棱台的表面积问题，常常涉及到侧棱、高、斜高、边心距和底面外接圆半 径五个量之间的关系解决问题时，往往把它们转化为平面图形，即由侧棱、高、底面外接 圆半径所组成的直角三角形或由高、斜高、边心距所组成的直角三角形，求出所需要的量，
12、 从而使问题得以解决 二、柱体的表面积 例 2 如图，已知直三棱柱 ABCA1B1C1，其底面是等腰直角三角形，且 ABBC，ACA1A2. 2 (1)求该几何体的表面积； (2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求拼得的棱柱表面积的最小值 解 (1)该几何体有 5 个面，两个底面的面积和为 2 2，三个侧面面积和为 2( 1 222 2)4(1)，故其表面积 S64. 2222 (2)设两个这样的直三棱柱重合的面的面积为 S1，则组合后的直棱柱的表面积为 2S2S1，故 当且仅当重合的面的面积最大时，拼得的棱柱的表面积最小 又侧面 AA1C1C 的面积最大，此时拼得的棱柱的表面积最小值为
13、 2S2S 四边形 AA1C1C48. 2 评注 本例中(1)的关键在于准确识别几何体的各个面的形状；(2)的关键在于找到影响拼合后 的面积变化量，当然也可以分类讨论，列举出各种拼合的办法，一一计算表面积，再进行比 较 三、台体的表面积 例 3 已知一个正三棱台的两底面边长分别为 20 cm 和 30 cm，且其侧面积等于两底面面积之 和，求棱台的高 分析 求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特殊直角梯形，转化为平面问题来求解 所需的几何元素 解 如图所示，正三棱台 ABCA1B1C1中，O，O1分别为两底面中心，D，D1分别为 BC 和 B1C1中点，则 DD1为棱台的斜高 由 A1B1
14、20 cm，AB30 cm， 则 O1D1 cm，OD5 cm， 10 3 33 由 S侧S上S下，得 (2030)3DD1(202302)， 1 2 3 4 DD1 cm.棱台的斜高为 cm. 13 3 3 13 3 3 在直角梯形 O1ODD1中， O1O4(cm) DD2 1ODO1D123 棱台的高为 4 cm. 3 评注 本题的关键是找到正棱台中的特殊直角梯形 5 空间几何体体积的求解“三法” 空间几何体的体积公式在实际生活中有着广泛的应用，但在具体求解过程中，仅仅记住公式 是远远不够的，还要把握图形的内在因素，掌握一些常见的求解策略，灵活选择恰当的方法 进行求解 一、直接用公式求解
15、 根据柱体、锥体、台体、球体的体积公式，明确公式中各几何量的值，把未知的逐个求出， 再代入公式进行求解 例 1 已知圆锥的表面积为 15 cm2，侧面展开图的圆心角为 60，求该圆锥的体积 分析 根据锥体的体积公式 V Sh r2h，知应分别求出圆锥的底面半径和高，代入公式 1 3 1 3 计算 解 设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l，根据题意可得Error!Error! 解得Error!Error! 所以 h l2r26r2r235r2 r5. 3535 15 73 所以 V 25 (cm3) 1 3 ( 15 7)3 25 3 7 评注 直接利用几何体的体积公式求体积时，需牢固掌握公式，明确各几何量之间的关系， 准确进行计算 二、分割补形求解 当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用时，可以采用“分割”或“补形”的方 法，化复杂的几何体为简单的几何体(柱、锥、台、球)，利用各简单几何体的体积和或差求 解 例 2 如图所示，在三棱台 ABCA1B1C1中，ABA1B112，求三棱锥 A1ABC、三棱锥 BA1B1C、三棱锥 CA1B1C1的体积之比 分析 如图，三棱锥 BA1B1C 可以看作棱台减去三棱锥 A1ABC
